2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷含解析

2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷

一、填空题(本大题共12题,满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分)

1．若集合A={2,a+1},且-1∈A,则a=_____．

【答案】-2

【解析】a+1=-1,所以a=-2

2．已知数列{an}为等比数列,且a1=2,a2=6,则a4=_____．

【答案】54

3

【解析】公比q=6÷2=3, a4=a1⋅q=54

1

3．已知sinα=,则cos2α=_____．

5

23

【答案】

25

1223

【解析】cos2α=1-2sin2α=1-2×()=

525

4．已知事件A和事件B互斥,且P(A)=0.2,P(B)=0.5,则P(A∪B)=_____．

【答案】0.7

【解析】A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.5=0.7

5．函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=√x-a,若f(-4)=3,a=_____．

【答案】-1

【解析】f(-4)=f(4)=√4-a=2-a=3,则a=-1

6．在(x2+x)5的二项展开式中,x7项的系数为_____．

【答案】10

r2-5-rrr10-2rrr0-r

【解析】二项展开式中,第r+1项为Tr+1=C5(x)x=C5xx=C5x,10-r=7,

3

则r=3,系数为C5=10

22

7．已知a+4b=1,(ab)max=_____．

1

【答案】

4

1

【解析】a2+4b2≥2⋅a⋅(2b)=4ab,即1≥4ab,ab≤,当且仅当a=2b时,等号成立

4

-101

8．已知X的分布为(),E[X]=0.5,则b=_____．

a0.3b

【答案】0．6

-a+b=0.5a=0.1

【解析】根据题意得{⇒{

a+0.3+b=1b=0.6

9．已知等差数列a1=0,d为公差,Sn为前n项和,至少两项介于(0,1),则d的取值范围为_____．

1

【答案】(0,)

3

d>0

d2d1

【解析】S=n-n,由S至少有两项介于(0,1)可得{S2=d∈(0,1)⇒d∈(0,)

n22n3

S3=3d∈(0,1)

10．已知k∈R,⃗a,b⃗,c两两不平行,已知a⃗+3b⃗∥b+c,2⃗a+kc∥b+c,k=_____．

【答案】6

【解析】由平面向量共线定理可得

1

a+3b=m(b+c)a=(m-3)b+mcm-3=n

2

{⇒{111⇒{⇒k=-6

11

2a+kc=n(b+c)a=nb+(n-k)cm=n-k

22222

11．已知三角函数f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,B∈R,ω>0,0≤φ<2π),若v=f(t),当v=0

或v=4时其导数为0,初始速度为0,且速度第一次达到4时用时为0.1秒,

求f(t)=_____．

【答案】-2cos(10πt)+2

【解析】由三角函数在最高点和最低点处导数为0,且当v=0或4时其导数为0,

所以最低点取得v=0,最高点取得v=4,

又初始速度为0及速度第一次达到4时用时为0.1秒,

2π

可得周期T=2×0.1=0.2,则T=⇒ω=10π,

ω

4-04+0

又最低点取得v=0,最高点取得v=4,所以A==2,B==2,

22

所以f(t)=2sin(10πt+φ)+2,

π3π

又f(0.1)=4⇒2sin(π+φ)+2=4⇒sin(π+φ)=1⇒φ=-+2kπ,k∈Z,由题设可得φ=

22

3π

所以f(t)=2sin(10πt+)+2=-2cos(10πt)+2.

2

12．已知A,B,C为一椭圆4个顶点和2个焦点中任意三个,AB=3,BC=√14,AC=5,则该椭圆的离

心率为_____．

2

【答案】

3

【解析】由椭圆对称性可得三点必为上下顶点、左右顶点、两焦点各取其一,

所以AB、BC、AC=a+c、a√a2+b2或者AB、BC、AC=a-c、a√a2+b2

又AB=5、BC=√14、AC=3,且在椭圆中a>b、c,

a+c=5

c2

所以①{a=3⇒e==

a3

√a2+b2=√14

a+c=5

②{a=√14⇒b2=-5(舍)

√a2+b2=3

a-c=3a=√14

2

③{a=√14⇒{b=√11(不满足a2=b+c2舍)

√a2+b2=5c=√14-3

a-c=√14

④{a=3⇒c=3-√14<0(舍)

√a2+b2=5

2

所以e=．

3

二、选择题(本大题共4小题,满分18分,第13、14题各4分,第15、16题各5分)

13．a为不为1的任意实数,则a⋅√3a=()

3455

A．a2B．a3C．a2D．a3

【答案】B

14

3

【解析】a⋅√a=a⋅a3=a3,故选B．

14．已知事件A、事件B为独立随机事件,事件C表示为事件A、B至少有一件发生,则C⃐⃗⃗=()

A．A∩BB．A∪BC．A⃐⃗⃗∩B⃐⃗⃗D．A⃐⃗⃗∪B⃐⃗⃗

【答案】C

【解析】事件C为事件A、B至少发生一个,意味着事件A发生,或者事件B发生,或者二者都发生,

这对应于事件A和事件B的并集,因此事件C可表示为:C=A∪B,那么C⃐⃗⃗=A∪B．根据德摩根定律,

两个集合并集的补集等于它们各自补集的交集．即:A∪B=A⃐⃗⃗∩B⃐⃗⃗．故选C．

15．对于任意两个复数z,w,如果满足“z-w∈R”或“z-⃐w⃗⃗∈R”,那么就称z与w伴随,如果z与w伴

随,则w-i与z+i伴随的充要条件是()

A．Rez+Rew=0B．Rez-Rew=0

C．Imz+Imw=0D．Imz-Imw=0

【答案】C

【解析】设z=a+bi,w=c+di,已知z和w伴随,则b-d=0或b+d=0,若w-i与z+i伴随,则b+d=0,或者

b-d+2=0,故选C．

16．如图,在一个空间直角坐标系中,存在一个正方体ABCD-A1B1C1D1,其中,A为坐标原点,将该

正方体绕体对角线AC1为旋转轴旋转一周,点C将经过()个卦限

A．1B．3C．4D．7

【答案】A

【解析】当点C绕AC1旋转一周后,其轨迹为一个倾斜的圆,设圆心为O,因此判断其边界是否跨

过面xAy,面xAz,面yAz即可．设正方体边长为a取P(2a,0,0),

Q(0,2a,0),R(0,0,2a),连接P、Q、R,AC⊥PQ,CC1⊥PQ,易知PQ为轨迹圆的切线,

同理,PR、QR同为轨迹圆的切线．轨迹圆是三角形PQR的内切圆,在空间直角坐标系中,x轴、

y轴、z轴两两确定的三个坐标面将空间分为八个区域,统称为卦限．其中含x轴、y轴和z轴正

半轴的是第一卦限,三角形PQR内的点均在第一卦限,故答案为A．

三、解答题

17．某工厂为进行环境保护与改善,对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监

测与记录，数据如下:

(1)为进一步研究,从这9年间随机抽取一年,该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是

多少？

(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性,该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的

哪一种进行分析,并请你判断相关系数在(-1,0),(0,1),(1,2)哪个区间内？(直接写结论)

(3)2023年前9年的年份(x)的平均数为2018,y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟采用

y=106.544e-0.461(x-2014),或y=a(x-2014)+83.743．已知2023年实际颗粒物浓度为3.88,则哪个回

归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.

7

【答案】(1);

9

(2)散点图,(0,1);

(3)y=106.544e-0.461(x-2014)对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小。

【解析】

1

C77

(1)9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度,故概率为1=．

C99

(2)统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时,颗粒物密度的变化趋势,故需要散点图进

行呈现。随着二氧化硫密度增加,颗粒物密度呈现增加趋势,故二者正相关,相关系数为正,又

因为相关系数|r|≤1,故相关系数在(0,1)区间上.

(3)采用方程y=106.544e-0.461(x-2014)时,

2023年预测值为106.544e-0.461(2023-2014)≈1.681,

预测值与实际值差值绝对值为2.199;

101.02+87.02+57.47+21.85+11.76+8.86+5.03+4.63+3.86

∵x⃐=2018,y⃐=≈33.499,

9

故33.499=a(2018-2014)+83.743,可得a≈-12.561．

故采用方程y=a(x-2014)+83.743时,

2023年预测值为y=-12.561(2023-2014)+83.743≈-29.306,

预测值与实际值差值绝对值为33.186;

2.199<33.186,故方程y=106.544e-0.461(x-2014)对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小

18。如图,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,PH⊥底面,AH=1,HD=4,AB=2．

(1)证明:HC⊥PB;

105

(2)若四棱锥体积V=√,求二面角C-PB-H的大小

P-ABCD3

【答案】(1)证明见解析;

2√21

(2)arctan2√2/arcsin/arccos

33

【解析】(1)由PH⊥底面⇒HB为PB在平面ABCD上的投影,

由勾股定理,计算得HC=2√5,BH=√5,BC=5;

满足BH2+HC2=BC2⇒BH⊥HC⇒HC⊥PB(三垂线定理);

11010√5

(2)V=PH×S=PH=⇒PH=√5;

P-ABCD3ABCD33

作HQ⊥PB于点Q,连接QC;

由HC⊥平面PHB⇒QH为QC在平面PHB上的投影;

HQ⊥PB⇒CQ⊥PB(三垂线定理);∠CQH为所求二面角的平面角;

√10

由PH=√5,BH=√5,PH⊥BH⇒QH=;

2

1

19．已知a∈R,函数f(x)=x2+ax+3,g(x)=4x+

x2

1

(1)已知f(1)=4,求f(x)+>g(x)的解集;

x2

(2)a≠0,l1是f(x)在点(0,3)处的切线,l2是过点(0,3)且垂直于l1的直线,g(x)与l1、l2在第一象限内

均无公共点,求a的取值范围。

【答案】(1)(-∞,0)∪(0,1)∪(3,+∞);

1

(2)(-∞,-)∪(0,2)

2

【解析】

(1)由f(1)=1+a+3=4+a=4,可得:a=0,因此f(x)=x2+3

111

所以f(x)+=x2+3+>4x+,即x2-4x+3>0且x≠0,(x-1)(x-3)>0,

x2x2x2

所以x<1或x>3且x≠0,故所求不等式的解集为:(-∞,0)∪(0,1)∪(3,+∞)

1

(2)f'(x)=2x+a,f'(0)=a,故直线l的方程为:y=ax+3,直线l的方程为:y=-x+3,

12a

111

由题意可知:g(x)=4x+=ax+3无正实数解,且g(x)=4x+=-x+3无正实数解

x2x2a

13113

参变分离可得:a=4+-,-=4+-,

x3xax3x

113

即直线y=a及y=-与曲线y=4+-在(0,+∞)内均无交点;

ax3x

13333x2-33(x+1)(x-1)

设函数h(x)=4+-,h'(x)=-===0,x=1,

x3xx2x4x4x4

故函数h(x)在(0,1)范围内严格减,在(1,+∞)范围内严格减,

x→0时,h(x)→+∞,极小值h(1)=2,x→+∞时,h(x)→+∞,绘制出h(x)的函数图像,

111

可得:a<2,且-<2,解得:a<-或0<a<2,所以a∈(-∞,-)∪(0,2)

a22

22

20．定义Γ:x-y=1,F1、F2为Γ的左右焦点.

(1)求点(2,0)到Γ渐近线的距离;

(2)P为Γ上一点,P⃗⃗⃗⃗F⃗⃗⃗1⋅P⃗⃗⃗⃗F⃗⃗⃗2=1,求△PF1F2的面积;

x<0x>0

(3)设Ω:x2-y2=1,其中{或{,过点F的直线l交Ω于P、Q两点(分别位于一、四象限),过点

y≤-1y≥-12

F2直线m交Ω于M、N两点(分别位于三、四象限),是否存在正数λ,对于任意的l,都存在唯一的

m,使|MN|=λ|PQ|成立,若存在,求出所有的λ,若不存在,请说明理由.

9

【答案】(1)√2;(2)√2;(3)λ≥

7

【解析】

(1)因为点(2,0)到两条渐近线的距离相同,不妨取Γ渐近线方程:x-y=0,

|2-0|

点(2,0)到x-y=0的距离d==√2

√2

22

(2)设P(x,y),则x-y=1①,由于F1(-√2,0),F2(√2,0),

22

所以P⃗⃗⃗⃗F⃗⃗⃗1=(-√2-x,-y),P⃗⃗⃗⃗F⃗⃗⃗2=(√2-x,-y),因为P⃗⃗⃗⃗F⃗⃗⃗1⋅P⃗⃗⃗⃗F⃗⃗⃗2=1,所以x+y=3②,

x2=21

由①②得{,所以△PFF的面积S=|FF||y|=√2

y2=112212

x=ty+√2

(3)设l:x=ty+√2,t∈[0,1),联立{得(t2-1)y2+2√2y+1=0,

x2-y2=1

2(t2+1)

则|PQ|=√1+t2|x-x|=,t∈[0,1),得|PQ|的范围是:[2,+∞)

PQ1-t2

2(n2+1)4

设m:x=ny+√2,n∈(1,2√2],同理,得|MN|==2+,n∈(1,2√2],

n2-1n2-1

18

得|MN|的范围是[,+∞),且|MN|关于n是严格减函数,

7

即每一个|MN|的值都是唯一的。

对于任意的l,因为λ>0,所以λ|PQ|的范围是[2λ,+∞),

18189

要存在唯一的m,使|MN|=λ|PQ|成立,只需[2λ,+∞)⊆[,+∞)即可,即≤2λ,得λ≥

777

．是的一个排列对函数对于任意都有且

21(i,j,k)1,2,3,f1(x),f2(x),f3(x),x∈I,f1(x)≤fi(x)f1(x)+f2(x)

则称是关于的一个排列关于的排列总数记

≤fi(x)+fj(x),(i,j,k)f1(x),f2(x),f3(x)I,f1(x),f2(x),f3(x)I

为nI．

对2判断是否为排列？

(1)I=[3,+∞),f1(x)=x,f2(x)=0,f3(x)=x+1,(3,1,2)I

对2满足条件的求的取值范围？

(2)I=(0,+∞)f1(x)=x-1,f2(x)=x+m,f3(x)=xnl=6,m

对且对任意令

(3)x∈[0,+∞),x∈[0,+∞),0<F(x)<1,I=[a,+∞),f1(x)=F(x),

1

f(x)=(F(x+a)+F(x-a)),f(x)=1-e-x,证明:若F(x)严格减,则存在a>0,使n≥4;若F(x)严格增,则

223l

存在a∈(0,1)ni≠2;

【答案】(1)是;

1

(2)m∈[-1,-];

4

(3)详见解析

123

【解析】(1)因为f(x)≤f(x)⇔x≤x2+1⇔(x-)+≥0,

1324

2

f1(x)+f2(x)≤f3(x)+f1(x)⇔0≤x+1

所以(i,j,k)=(3,1,2)时满足条件,即(3,1,2)是I排列！

(2)1,2,3的全排列共有6个,则当nI=6时,

f1(x)≤f2(x)x-1≤x+m

则一方面有{⇒{2⇒m≥-1;

f1(x)≤f3(x)x-1≤x

f(x)+f(x)≤f(x)+f(x)

另一方面,有{1223

f1(x)+f2(x)≤f1(x)+f3(x)

x-1≤x2