2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷含解析

第页，共页2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷一、填空题(本大题共12题,满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分)1．若集合A={2,a+1},且-1∈A,【答案】-2【解析】a+1=-1,所以2．已知数列an为等比数列,且a1=2,a2【答案】54【解析】公比q3．已知sinα=15,【答案】23【解析】cos24．已知事件A和事件B互斥,且PA=0.2,PB=0.5【答案】0.7【解析】A与B互斥,则P5．函数fx是偶函数,当x≥0时,fx=x-a【答案】-1【解析】f-4=f6．在x2+x5的二项展开式中,【答案】10【解析】二项展开式中,第r+1项为T则r=3,系数为7．已知a2+4b2【答案】1【解析】a2+4b2≥2⋅a⋅2b8．已知X的分布为-101a0.3【答案】0．6【解析】根据题意得-9．已知等差数列a1=0,d为公差,Sn为前n项和,至少两项介于0,1,则【答案】0,【解析】Sn=d2n2-10．已知k∈R,a,b【答案】6【解析】由平面向量共线定理可得a11．已知三角函数ft=Asinωt+或v=4时其导数为0,初始速度为0,且速度第一次达到4时用时为0.1秒求ft=【答案】-2cos【解析】由三角函数在最高点和最低点处导数为0,且当v=0或4时其导数为0所以最低点取得v=0,最高点取得v又初始速度为0及速度第一次达到4时用时为0.1秒,可得周期T=2×0.1=0.2,则T又最低点取得v=0,最高点取得v=4,所以所以ft又f0.1=4⇒2sinπ所以f12．已知A,B,C为一椭圆4个顶点和2个焦点中任意三个,AB【答案】2【解析】由椭圆对称性可得三点必为上下顶点、左右顶点、两焦点各取其一,所以AB、BC又AB=5、BC=所以①a②a③a-c=3a=④a-c=所以e=二、选择题(本大题共4小题,满分18分,第13、14题各4分,第15、16题各5分)13．a为不为1的任意实数,则a⋅A．a32 B．a43 C．a52 【答案】B【解析】a⋅3a=14．已知事件A、事件B为独立随机事件,事件C表示为事件A、B至少有一件发生,A．A∩B B．A∪B C．A∩B【答案】C【解析】事件C为事件A、B至少发生一个,意味着事件A发生,或者事件B发生,或者二者都发生,这对应于事件A和事件B的并集,因此事件C可表示为:C=A∪B,那么C=A∪B．根据德摩根定律15．对于任意两个复数z,w,如果满足“z-w∈R”或“z-w∈R”,那么就称z与w伴随,如果zA．Rez+Rew=0 C．Imz+Imw=0 【答案】C【解析】设z=a+bi,w=c+di,已知z和w伴随,则b-d=0或b+d=016．如图,在一个空间直角坐标系中,存在一个正方体ABCD-A1B1C1D1,其中,A为坐标原点,A．1 B．3 C．4 D．7【答案】A【解析】当点C绕AC1旋转一周后,其轨迹为一个倾斜的圆,设圆心为O,因此判断其边界是否跨过面xAy,面xAz,面yAz即可．设正方体边长为aQ0,2a,0,R0,0,2a,连接P同理,PR、QR同为轨迹圆的切线．轨迹圆是三角形PQR的内切圆,在空间直角坐标系中,x轴、y轴、z轴两两确定的三个坐标面将空间分为八个区域,统称为卦限．其中含x轴、y轴和z轴正半轴的是第一卦限,三角形PQR内的点均在第一卦限,故答案为三、解答题17．某工厂为进行环境保护与改善,对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下:(1)为进一步研究,从这9年间随机抽取一年,该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性,该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析,并请你判断相关系数在-1,0,0,1,1,2(3)2023年前9年的年份x的平均数为2018,y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟采用y=106.544e-0.461x-2014,或y=ax-2014+83.743．已知【答案】(1)79(2)散点图,0,1;(3)y=106.544e-0.461【解析】(1)9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度,故概率为C7(2)统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时,颗粒物密度的变化趋势,故需要散点图进行呈现。随着二氧化硫密度增加,颗粒物密度呈现增加趋势,故二者正相关,相关系数为正,又因为相关系数r≤1,故相关系数在0,1区间上(3)采用方程y=106.544e2023年预测值为106.544e预测值与实际值差值绝对值为2.199;∵故33.499=a2018-2014+83.743,故采用方程y=a2023年预测值为y=-12.561预测值与实际值差值绝对值为33.186;2.199<33.186,故方程y=106.544e-0.46118。如图,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,PH⊥底面(1)证明:HC⊥(2)若四棱锥体积VP-ABCD=【答案】(1)证明见解析;(2)arctan2【解析】(1)由PH⊥底面⇒HB为PB在平面ABCD由勾股定理,计算得HC=2满足BH2+H(2)VP作HQ⊥PB于点Q,连接由HC⊥平面PHB⇒QH为QC在平面HQ⊥PB⇒CQ⊥PB(由PH=19．已知a∈R,(1)已知f1=4,求f(2)a≠0,l1是fx在点0,3处的切线,l2是过点0,3且垂直于l1的直线,gx【答案】(1)-∞,0∪(2)-∞,-【解析】(1)由f1=1+a+3=4+a=4,所以fx+1x2=所以x<1或x>3且x≠0,(2)f'x=2x+a,f'0=a,由题意可知:gx=4x+1参变分离可得:a=4+即直线y=a及y=-1a与曲线设函数hx故函数hx在0,1范围内严格减,在1,+∞范围内严格减x→0时,hx→+∞,极小值h1=2,x→+∞可得:a<2,且-1a<2,解得:a<-20．定义Γ:x2-y(1)求点2,0到Γ渐近线的距离;(2)P为Γ上一点,PF1⋅PF(3)设Ω:x2-y2=1,其中x<0y≤-1或x>0y≥-1,过点F2的直线l交Ω于P、Q两点(分别位于一、四象限),过点F2直线m交Ω于M、N两点(分别位于三、四象限),是否存在正数λ,【答案】(1)2;(2)2;(3)λ【解析】(1)因为点2,0到两条渐近线的距离相同,不妨取Γ渐近线方程:x-点2,0到x-y(2)设Px,y,则x2-所以PF1=-2-x,-由①②得x2=2y2(3)设l:x=ty+则PQ=1+t2x设m:x=ny+得MN的范围是187,+∞,且MN关于即每一个MN的值都是唯一的。对于任意的l,因为λ>0,所以λPQ的范围是要存在唯一的m,使MN=λPQ成立,只需[2λ,+∞)⊆18721．i,j,k是1,2,3的一个排列,对函数f1x,f2x,f3x,对于任意x∈I,都有f1x(1)对I=[3,+∞),f1x=x(2)对I=0,+∞f1x=(3)对x∈[0,+∞),且对任意x∈[0,+∞),0<Fxf2x=12Fx+a+Fx-a,f3x=1-e【答案】(1)是;(2)m(3)详见解析【解析】(1)因为ff所以i,j,k=3,1,2时满足条件(2)