2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国Ⅱ卷 含解析

2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题全国Ⅱ卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．)

1．(1-3i)2=（）

A．-8+6iB．-8-6iC．8+6iD．8-6i

【答案】B

【详解】根据复数的乘法运算，(1-3i)2=12-2⋅1⋅3i+(3i)2=1-6i-9=-8-6i．

2．已知集合A={0,1,3,6,9},B={x∣x=x},则A∩B=（）

A．{0,1}B．{3,6}C．{0,1,9}D．{0,3,9}

【答案】A

【详解】由题意需先满足x≥0,且x=x⇒x2=x⇒x(x-1)=0,

所以x=0或x=1,即B={0,1},从而A∩B={0,1,3,6,9}∩{0,1}={0,1}．

3．已知向量a,b满足|a+b|=1,|a-b|=3,则a⋅b=（）

1111

A．B．C．-D．-

2332

【答案】D

2222

【详解】将已知条件平方，得|a+b|=|a|2+2a⋅b+|b|=1,|a-b|=|a|2-2a⋅b+|b|=3．

两式相减得4a⋅b=1-3=-2⇒a⋅b=-1．

2

x2y27

4．双曲线C：-=1(a>0,b>0)过点(1,0)和,3，则C的渐近线方程是()

a2b22

32

A．y=±32xB．y=±23xC．y=±xD．y=±x

66

【答案】B

【详解】将点代入双曲线方程，得1=1 ⇒ a=1．

(1,0)a2

2

77(3)2

将点代入，得2-=1 

,32

21b

解得b2=12⇒ b=23．

双曲线的渐近线方程为y=±23x．

5．棱台上下底面均有一个内角为60∘的菱形，上、下底边长分别为2和3，该棱台的高为

3,则该棱台的体积为（）

19191919

A．B．C．D．

12642

【答案】D

2∘

【详解】上底面面积为S1=2sin60=23,

3

下底面面积为S=32sin60∘=9．

22

棱台体积公式为V=1h．

3(S1+S2+S1S2)

93

其中S1S2=23⋅=33．

2

13119

代入h=3,得V=323+9+33=⋅32+9+3=．

32322

6．甲、乙、丙、丁等8人分成A,B两技术小组，要求每组4人，甲乙必须在同一组，丙丁不

能在同一组，共有多少种分组方案（）

A．10B．12C．16D．24

【答案】C

【详解】由于A,B两组是有标号的，我们先考虑甲、乙所在小组．

若甲、乙在A组，则A组还需选2人，且丙、丁不能同时在A组．

分两类：

1

丙在A组、丁在B组：从其余4人中选1人进入A组，有C4=4种；

1

丁在A组、丙在B组：同理有C4=4种．

故甲、乙在A组时共有8种方案．甲、乙在B组时同理也有8种方案，所以总数为8+8=16．

1+sinα

7．已知α为第二象限角，且3sin2αcosα=8sinαcos2α,则=（）

2-cosα

3315

A．B．C．D．

45212

【答案】C

【详解】利用倍角公式sin2α=2sinαcosα,代入原式：3(2sinαcosα)cosα=8sinαcos2α,

即6sinαcos2α=8sinαcos2α．

因为α为第二象限角，所以sinα>0,等式两边除以2sinα,得3cos2α=4cos2α．

又cos2α=2cos2α-1,于是3cos2α=4(2cos2α-1) ⇒5cos2α=4．

21

在第二象限中cosα<0故cosα=-, sinα=1-2=

,5cosα5．

1+1

55

代入求得1+sinα==+1=1．

2-cosα2--225+22

5

3

8．已知f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)+f(x-2)=0．当x∈,3时，f(x)=x2+ax+b,则

2

（）

A．a=-2,b=-3B．a=-2,b=3C．a=-4,b=-3D．a=-4,b=3

【答案】D

【详解】由f(x)+f(x-2)=0

可得f(x)=-f(x-2),即f(x-2)=-f(x), f(x-4)=f(x)．

所以f(x)是以4为周期的周期函数．又因为f是偶函数，所以f(x-2)=f(2-x)．

由f(x-2)+f(x)=0得f(2-x)=-f(x)=f(2+x)．

3

由此可知，f(x)关于直线x=2对称．于是二次函数x2+ax+b在区间,3上的对称轴为x=2,即

2

a

-=2⇒a=-4．

2

另外，由周期为4得f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1)．

根据f(1)+f(1-2)=f(1)+f(-1)=2f(1)=0,得f(1)=0,所以f(3)=0．代入x=3,

得f(3)=32-4⋅3+b=0 ⇒b=3．

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的

得部分分，有选错的得0分．)

9．已知⊙O:x2+y2=1,A:x2+y2-6x-8y+k=0,则（）

A．点A的坐标为(-3,-4)

B．当k=9时，⊙A与x轴相切

C．当k=-11时，⊙A与⊙O相切；

D．当⊙O与⊙A相交时，两交点所在直线的方程是6x+8y-k-2=0

【答案】BC

【详解】将圆A的方程配方：x2+y2-6x-8y+k=0 ⇒(x-3)2+(y-4)2=25-k．

⊙2

圆心为A(3,4),故A错误．若A与x轴相切，则半径RA=|yA|=4,所以RA=16=25-k ⇒k=9,故

222

B正确．若k=-11,则RA=36,RA=6．又RO=1,圆心距d=|OA|=3+4=5．

因为|RA-RO|=|6-1|=5=d,两圆内切，所以C正确．

两圆相交时，公共弦所在直线由两圆方程相减得到：

(x2+y2-1)-(x2+y2-6x-8y+k)=0,即6x+8y-k-1=0,故D错误．

10．等比数列{an}的公比q≠1，a1>0,2a3=a2+a1,记前n项和为Sn,则（）

12a2na

A．q=-;B．>1C．2=+D．∑n>1

2Sn3Sn+2Sn+1Snk=1Sk3

【答案】AD

2

【详解】由2a3=a2+a1得2a1q=a1q+a1．

2

由于a1>0,约去a1,得2q-q-1=0 ⇒(2q+1)(q-1)=0．

1

又q≠1,所以q=-,

2

故A正确．

n

a1--12an

1211

前n项和为Sn==1--．

1+132

2

n

2a

当n为偶数时，-1>0,故S<1,B错误．

2n3

直接代入可知C不恒成立．

2ak2ak

对前n项和求和：∑nS=1∑n1--1=1n-∑n-1．

k=1k3k=123k=12

k1n

又∑n-1=-1--1,

k=1232

2an

所以∑nS=1n+11--1．

k=1k332

n

12na

因为对任意n≥1,均有1-->0,所以∑nS>1，D正确．

2k=1k3

11．已知抛物线E:y2=8x,斜率k(k>0)的直线l过点(-1,0),△ABC为等边三角形，A在y轴上，B

,C在l上，则（）

A．抛物线准线方程为x=-2

B．l与y轴交点为(0，-k)

C．若l与E相交于唯一点B,则抛物线焦点在直线AB上

3

D．当k=2时，△ABC面积最小值为

2

【答案】AB

p

【详解】对抛物线2=8x有2p=8所以p=4准线方程为x=-=-2故A正确．

y,,,2,

直线l过点(1,0)且斜率为k,方程为y=k(x-1)=kx-k,

令x=0,得与y轴交点为(0,-k),故B正确．

若直线l与抛物线相切，则切点附近的直线不能直接推出焦点在AB上，C错误．题设中BC为

定长弦时，△ABC面积的最小值并不等于选项所给数值，D错误．

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12．Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=-1,a4=5,则S6=．

【答案】24

【详解】根据等差数列通项公式，a4=a1+3d→5=-1+3d→d=2．

6

求前6项和：==3×=24．

S62(2a1+5d)(-2+10)

13．若函数f(x)=2x+2-x-m有两个零点，则m的取值范围是．

【答案】(2,+∞)

【详解】令f(x)=0,得2x+2-x=m．

设t=x>0则方程化为t+1=m．

2,t

对t>0有t+1≥2

,t,

等号在t=1(即x=0)时成立．为了使原方程有两个不同实根，水平直线y=m必须与函数y=t+

1有两个不同交点，因此m>2．

t(t>0)

14．球O的体积为43π，A,B,C,D四点均在球O的球面上，△ABC为等边三角形，DA=DB=

DC=2,则△ABC的面积为．

【答案】53

4

4

【详解】首先由球的体积求得外接球半径R:V=πR3=43π ⇒R=3．

O3

由于DA=DB=DC=2且△ABC为等边三角形，四面体D-ABC为正三棱锥．设等边三角

a

形ABC的外接圆半径为r,边长为r=3．

则正三棱锥的高为h=DA2-r2=2-r2．

222

球心O在底面外接圆中心与顶点D的连线上，利用几何关系可得R=r+(h±z0)．

5

代入R2=3并化简，可得r2=, ⇒a2=3r2=5．

3

3253

因此S△=a=．

ABC44

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15．某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制如下的频率分

布直方图．

频率分布直方图数据如下：

区间[345,355)[355,365)[365,375)[375,385)[385,395)[395,405)[405,415)[415,425]

频率0．0050．0150．0200．0250．0150．0100．0050．005

密度

频率0．050．150．200．250．150．100．050．05

(1)求第一四分位数和中位数；

(2)设p为首次故障时间小于365天的概率估计值．

(a)求p;

(b)工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品中首次出现故障时间小于365天的

件数，若X∼B(100,p),求E(X),D(X)．

【答案】见详解

【详解】根据频率分布直方图，组距为10，各区间频率为：

区间[345,355)[355,365)[365,375)[375,385)[385,395)[395,405)[405,415)[415,425]

频率0．050．150．200．250．150．100．050．05

前两个区间累计频率为0．05+0．15=0．20<0．25,前三个区间累计频率为0．40>0．25,

0．25-0．20

所以第一四分位数Q在[365,375)内．由线性插值得Q=365+×10=367．5天

110．20()

设中位数为M，前三组累计频率为0．40<0．50,前四组累计频率为0．65>0．50,

0．50-0．40

故M∈[375,385),所以M=375+×10=379(天)．

0．25

(2)(a)首次故障时间小于365天的频率估计为p=0．05+0．15=0．20．

(b)已知X∼B(100,0．20),

则E(X)=np=100×0．20=20,

D(X)=np(1-p)=100×0．20×0．80=16．

16．在三棱锥A-BCD中，E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD．

(1)证明：CD⊥AB;

(2)若DE=2,BE=1,AE=2,CD=23,求AD与平面ABC所成角的正弦值．

【答案】见详解

【详解】(1)因为AE⊥CE且AE⊥DE,而CE∩DE=E,所以AE⊥平面BCD．

又CD⊂平面BCD,故CD⊥AE．由已知CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE,AD⊂平面ADE,

所以CD⊥平面ADE．由于点E在直线BD上，所以直线AB在平面ADE内，故CD⊥AB．

(2)以AE⊥平面BCD,且E,B,D三点共线为依据，建立空间直角坐标系．取直线BD为x轴，过点

E在平面BCD内垂直于BD的直线为y轴，直线EA为z轴．根据已知DE=2, BE=1, AE=2

, CD=23,

可设E(0,0,0), D(2,0,0), B(-1,0,0), A(0,0,2)．

由(1)知CD⊥平面ADE(即xz平面)，所以直线CD∥y轴，则点C的横坐标与点D相同．因为CD

=23,不失一般性，可取C(2,23,0)．

于是AD=(2,0,-2), AB=(-1,0,-2), AC=(2,23,-2)．

n⋅AB=0,

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则

n⋅AC=0．

-x-2z=0,

即

2x+23y-2z=0．

取z=2,得x=-22，y=6,所以可取n=(-22,6,2),其模长为|n|=(-22)2+(6)2+22=3

2．

|AD⋅n||2-22+0⋅6+-2⋅2|6

设AD与平面ABC所成角为θ,则sinθ==2=．

|AD||n|22+2⋅323

因此AD与平面ABC所成角的正弦值为6．

3

3

17．在△ABC中，已知cosB=,2+sinAsinC=1．

4cos(A+C)

(1)证明：△ABC为钝角三角形；

7

(2)若△ABC面积为,求△ABC周长．

4

【答案】见详解

3

【详解】(1)在△ABC中，A+B+C=π,所以A+C=π-B, cos=-cosB=-．

(A+C)4

27

代入已知等式，得-3+sinAsinC=1⇒sinAsinC=．

416

利用余弦的加法公式展开：cosB=-cos=sinAsinC-cosAcosC=3．

(A+C)4

7712

代入sinAsinC=,得-cosAcosC=⇒cosAcosC=-5<0．

16161616

因为cosAcosC<0,所以A与C中必有一个角的余弦为负值，即必有一个角是钝角．因此△ABC

为钝角三角形．

37

(2)因为cosB=,且B∈(0,π),所以sinB=1-cos2B=1-9=．

4164

由面积公式S=1acsinB

2

可得7=1ac⋅7 ⇒ac=2．

424

ac

根据正弦定理，设外接圆半径为R,则sinA=, sinC=, sinB=b．

2R2R2R

从sinAsinC=7

16

2

可得acsinB=7．

b216

72⋅77

代入ac=2、sin2B=,得16= ⇒ b2=2,

16b216

即b=√2．在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB．

33

代入2=2,ac=2,cosB=,得2=2+2-2⋅2⋅ ⇒2+2=5．

b4ac4ac

于是(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,

所以a+c=3．因此周长为a+b+c=3+2．

x2

18．已知椭圆E:+y2=1(),过右焦点垂直于x轴的弦被E所截线段长为2．

a2a>1

(1)求E的离心率；

(2)O为坐标原点，给定点G(t0,0)(t0≠0),A(x0,y0)(y0≠0)在E上．过A作y轴的垂线交于点B,AO与

GB交于点P．当A在E上运动时，P的轨迹为M．

(a)求M的方程；

''

(b)M是否有中心点？当t0为何值时，M有中心点？当M有中心点时，平移M到M,使O为M的

中心点，说明M'为何形状．

【答案】见详解

2

【详解】(1)因为椭圆E的方程为x+y2=1,所以半焦距c=a2-1．

a2

右焦点为F(c,0),过F垂直于x轴的直线为x=c，其与椭圆交点满足

c2a2-11

+y2=1⇒y2=1-=．

a2a2a2

焦点弦长为2由题意2=2⇒a=2．

a,a

c2

于是c=1,离心率为e==．

a2

x2

(2)()由(1)可知椭圆方程为+y2=1．

a2

．

设P(x,y)．因为B是A在y轴上的垂足，所以B(0,y0)直线AO的方程为y0x-x0y=0．

xy

直线GB过G(t,0)与B(0,y),方程为+=1,即y0x+t0y=t0y0．

00t0y0

t0y

由P(x,y)在GB上，得y0=．

t0-x

t0x

再由P在AO上，得x0=．

t0-x

x2

由于A()在椭圆上，代入0+y2=1

x0,y020

22

可得1t0x+t0y=1．

2t0-xt0-x

M22+4x+222-22=0

整理，得轨迹的方程为t0-2xt0t0yt0．

2

2t4

(b)对M的方程配方．若t2≠2,则2x+2t0+2t2y2=0．

0t0-220t2-2

t0-20

2

若t0=2,即t0=±2,方程化为抛物线，无中心点．若t0≠±2,M存在唯一中心点，其坐标为

2t0．

-2,0

t0-2

2t4

'22220

当t0≠±2时，将M平移至中心在原点的M,其方程形式为