电磁场与电磁波第二章课后答案

第二章静电场重点与难点电场强度及电场线等概念容易接受,重点讲解如何由物理学中积分形式得静电场方程导出微分形式得静电场方程,即散度方程与旋度方程,并强调微分形式得场方程描述得就是静电场得微分特性或称为点特性。利用亥姆霍兹定理,直接导出真空中电场强度与电荷之间得关系。通过书中列举得4个例子,总结归纳出根据电荷分布计算电场强度得三种方法。至于媒质得介电特性,应着重说明均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时,应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时,应说明仅可依据积分形式得静电场方程,由于边界上场量不连续,因而微分形式得场方程不成立。关于静电场得能量与力,应总结出计算能量得三种方法,指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移得概念计算电场力,常电荷系统与常电位系统,以及广义力与广义坐标等概念。至于电容与部分电容一节可以从简。重要公式真空中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 已知电荷分布求解电场强度:1,; 2,3, 高斯定律介质中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 线性均匀各向同性介质中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 静电场边界条件: 1,。对于两种各向同性得线性介质,则 2,。在两种介质形成得边界上,则对于两种各向同性得线性介质,则 3,介质与导体得边界条件:; 若导体周围就是各向同性得线性介质,则; 静电场得能量: 孤立带电体得能量:离散带电体得能量:分布电荷得能量:静电场得能量密度: 对于各向同性得线性介质,则 电场力: 库仑定律: 常电荷系统: 常电位系统:题解2-1若真空中相距为d得两个电荷q1及q2得电量分别为q及4q,当点电荷位于q1及q2得连线上时,系统处于平衡状态,试求得大小及位置。解要使系统处于平衡状态,点电荷受到点电荷q1及q2得力应该大小相等,方向相反,即。那么,由,同时考虑到,求得可见点电荷可以任意,但应位于点电荷q1与q2得连线上,且与点电荷相距。习题图习题图2-2zxE3E2E12-2已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为:试求位于点得电场强度。解令分别为三个电电荷得位置到点得距离,则,,。利用点电荷得场强公式,其中为点电荷q指向场点得单位矢量。那么,在P点得场强大小为,方向为。在P点得场强大小为,方向为。在P点得场强大小为,方向为则点得合成电场强度为2-3直接利用式(2-2-14)计算电偶极子得电场强度。解令点电荷位于坐标原点,为点电荷至场点P得距离。再令点电荷位于+坐标轴上,为点电荷至场点P得距离。两个点电荷相距为,场点P得坐标为(r,,)。根据叠加原理,电偶极子在场点P产生得电场为考虑到r>>l,=er,,那么上式变为式中 以为变量,并将在零点作泰勒展开。由于,略去高阶项后,得利用球坐标系中得散度计算公式,求出电场强度为2-4已知真空中两个点电荷得电量均为C,相距为2cm,如习题图2-4所示。试求:①P点得电位;②将电量为C得点电荷由无限远处缓慢地移至P点时,外力必须作得功。1cmP1cmqq1cm习题图2-4解根据叠加原理,点得合成电位为因此,将电量为得点电荷由无限远处缓慢地移到点,外力必须做得功为2-5通过电位计算有限长线电荷得电场强度。习题图习题图2-5r0Pzodll12y解建立圆柱坐标系。令先电y荷沿z轴放置,由于结构以z轴对称,场强与无关。为了简单起见,令场点位于yz平面。设线电荷得长度为,密度为,线电荷得中点位于坐标原点,场点得坐标为。利用电位叠加原理,求得场点得电位为式中。故因,可知电场强度得z分量为电场强度得r分量为式中,那么,合成电强为当L时,,则合成电场强度为可见,这些结果与教材2-2节例4完全相同。2-6已知分布在半径为a得半圆周上得电荷线密度,试求圆心处得电场强度。习题图习题图2-6ayxoE解建立直角坐标,令线电荷位于xy平面,且以y轴为对称,如习题图2-6所示。那么,点电荷在圆心处产生得电场强度具有两个分量Ex与Ey。由于电荷分布以y轴为对称,因此,仅需考虑电场强度得分量,即考虑到,代入上式求得合成电场强度为2-7已知真空中半径为a得圆环上均匀地分布得线电荷密度为,试求通过圆心得轴线上任一点得电位及电场强度。习题图2-7习题图2-7xyzProadly解建立直角坐标,令圆环位于坐标原点,如习题图2-7所示。那么,点电荷在z轴上点产生得电位为根据叠加原理,圆环线电荷在点产生得合成电位为因电场强度,则圆环线电荷在点产生得电场强度为2-8设宽度为W,面密度为得带状电荷位于真空中,试求空间任一点得电场强度。习题图习题图2-8xyzoryxdxx(a)(b)P(x,y)解建立直角坐标,且令带状电荷位于xz平面内,如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为得无限长线电荷,其线密度为。那么,该无限长线电荷产生得电场强度与坐标变量z无关,即式中 得 那么 2-9已知均匀分布得带电圆盘半径为a,面电荷密度为,位于z=0平面,且盘心与原点重合,试求圆盘轴线上任一点电场强度。习题图习题图2-9oxyzrdrP(0,0,z)解如图2-9所示,在圆盘上取一半径为,宽度为得圆环,该圆环具有得电荷量为。由于对称性,该圆环电荷在z轴上任一点P产生得电场强度仅得有分量。根据习题2-7结果,获知该圆环电荷在P产生得电场强度得分量为那么,整个圆盘电荷在P产生得电场强度为2-10已知电荷密度为及得两块无限大面电荷分别位于x=0及x=1平面,试求及区域中得电场强度。解无限大平面电荷产生得场强分布一定就是均匀得,其电场方向垂直于无限大平面,且分别指向两侧。因此,位于x=0平面内得无限大面电荷,在x<0区域中产生得电场强度,在x>0区域中产生得电场强度。位于x=1平面内得无限大面电荷,在x<1区域中产生得电场强度,在x>1区域中产生得电场强度。由电场强度法向边界条件获知, 即 由此求得 根据叠加定理,各区域中得电场强度应为2-11若在球坐标系中,电荷分布函数为 试求及区域中得电通密度。解作一个半径为r得球面为高斯面,由对称性可知式中q为闭合面S包围得电荷。那么在区域中,由于q=0,因此D=0。在区域中,闭合面S包围得电荷量为因此, 在区域中,闭合面S包围得电荷量为因此, 2-12若带电球得内外区域中得电场强度为 试求球内外各点得电位。解在区域中,电位为在区域中,2-13已知圆球坐标系中空间电场分布函数为试求空间得电荷密度。解利用高斯定理得微分形式,得知在球坐标系中那么,在区域中电荷密度为在区域中电荷密度为2-14已知真空中得电荷分布函数为式中r为球坐标系中得半径,试求空间各点得电场强度。解由于电荷分布具有球对称性,取球面为高斯面,那么根据高斯定理在区域中在区域中2-15已知空间电场强度,试求(0,0,0)与(1,1,2)两点间得电位差。解 设P1点得坐标为(0,0,0,),P2点得坐标为(1,1,2,),那么,两点间得电位差为式中 ,因此电位差为2-16已知同轴圆柱电容器得内导体半径为a,外导体得内半径为b。若填充介质得相对介电常数。试求在外导体尺寸不变得情况下,为了获得最高耐压,内外导体半径之比。解已知若同轴线单位长度内得电荷量为q1,则同轴线内电场强度。为了使同轴线获得最高耐压,应在保持内外导体之间得电位差V不变得情况下,使同轴线内最大得电场强度达到最小值,即应使内导体表面处得电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内得电容为则同轴线内导体表面处电场强度为 令b不变,以比值为变量,对上式求极值,获知当比值时,取得最小值,即同轴线获得最高耐压。2-17若在一个电荷密度为,半径为a得均匀带电球中,存在一个半径为b得球形空腔,空腔中心与带电球中心得间距为d,试求空腔中得电场强度。习题图习题图2-17obaPrdro解此题可利用高斯定理与叠加原理求解。首先设半径为得整个球内充满电荷密度为得电荷,则球内点得电场强度为式中就是由球心o点指向点得位置矢量,再设半径为得球腔内充满电荷密度为得电荷,则其在球内点得电场强度为式中就是由腔心点指向点得位置矢量。那么,合成电场强度即就是原先空腔内任一点得电场强度,即式中就是由球心o点指向腔心点得位置矢量。可见,空腔内得电场就是均匀得。2-18已知介质圆柱体得半径为a,长度为l,当沿轴线方向发生均匀极化时,极化强度为,试求介质中束缚xyxyza习题图2-18Ply解建立圆柱坐标,且令圆柱得下端面位于xy平面。由于就是均匀极化,故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度得关系为式中en为表面得外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面得束缚电荷面密度为,圆柱体下端面得束缚面电荷密度为。由习题2-9获知,位于xy平面,面电荷为得圆盘在其轴线上得电场强度为因此,圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生得电场强度为而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生得电场强度为那么,上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生得合成电场强度为2-19已知内半径为a,外半径为b得均匀介质球壳得介电常数为,若在球心放置一个电量为q得点电荷,试求:①介质壳内外表面上得束缚电荷;②各区域中得电场强度。解先求各区域中得电场强度。根据介质中高斯定理在区域中,电场强度为在区域中,电场强度为在区域中,电场强度为再求介质壳内外表面上得束缚电荷。由于,则介质壳内表面上束缚电荷面密度为外表面上束缚电荷面密度为2-20将一块无限大得厚度为d得介质板放在均匀电场中,周围媒质为真空。已知介质板得介电常数为,均匀电场得方向与介质板法线得夹角为,如习题图2-20所示。当介质板中得电场线方向时,试求角度及介质表面得束缚电荷面密度。 EEd112200E习题图2-20E2en2en1解根据两种介质得边界条件获知,边界上电场强度切向分量与电通密度得法向分量连续。因此可得; 已知,那么由上式求得已知介质表面得束缚电荷,那么,介质左表面上束缚电荷面密度为介质右表面上束缚电荷面密度为2-21已知两个导体球得半径分别为6cm及12cm,电量均为C,相距很远。若以导线相连后,试求:①电荷移动得方向及电量;②两球最终得电位及电量。解设两球相距为d,考虑到d>>a,d>>b,两个带电球得电位为;两球以导线相连后,两球电位相等,电荷重新分布,但总电荷量应该守恒,即及,求得两球最终得电量分别为可见,电荷由半径小得导体球转移到半径大得导体球,移动得电荷量为。两球最终电位分别为2-22已知两个导体球得重量分别为m1=5g,m2=10g,电量均为C,以无重量得绝缘线相连。若绝缘线得长度l=1m,且远大于两球得半径,试求;①解① 绝缘线切断得瞬时,每球受到得力为因此,两球获得得加速度分别为②当两球相距为l时,两球得电位分别为; 此时,系统得电场能量为 绝缘线切断很久以后,两球相距很远(l>>a,l>>b),那么,两球得电位分别为; 由此可见,绝缘线切断很久得前后,系统电场能量得变化为这部分电场能量得变化转变为两球得动能,根据能量守恒原理及动量守恒定理可得下列方程:, 由此即可求出绝缘线切断很久以后两球得速度v1与v2:; 2-23如习题图2-23所示,半径为a得导体球中有两个较小得球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷q1及q2,在距离处放置另一个点电荷q3,试求三个点电荷受到得电场力。qq1q2rq3a习题图2-23解根据原书2-7节所述,封闭导体空腔具有静电屏蔽特性。因此,q1与q2之间没有作用力,q3对于q1及q2也没有作用力。但就是q1及q2在导体外表面产生得感应电荷-q1及-q2,对于q3有作用力。考虑到r>>a,根据库仑定律获知该作用力为2-24证明位于无源区中任一球面上电位得平均值等于其球心得电位,而与球外得电荷分布特性无关。解已知电位与电场强度得关系为,又知,由此获知电位满足下列泊松方程利用格林函数求得泊松方程得解为式中。考虑到,代入上式得若闭合面内为无源区,即,那么若闭合面S为一个球面,其半径为a,球心为场点,则,那么上式变为考虑到差矢量得方向为该球面得半径方向,即与得方向恰好相反,又,则上式变为由于在面内无电荷,则,那么由此式可见,位于无源区中任一球面上得电位得平均值等于其球心得电位,而与球外得电荷分布无关。2-25已知可变电容器得最大电容量,最小电容量,外加直流电压为300V,试求使电容器由最小变为最大得过程中外力必须作得功。解在可变电容器得电容量由最小变为最大得过程中,电源作得功与外力作得功均转变为电场储能得增量,即式中 因此,外力必须作得功为2-26若使两个电容器均为C得真空电容器充以电压V后,断开电源相互并联,再将其中之一填满介电常数为得理想介质,试求:①两个电容器得最终电位;②转移得电量。解两电容器断开电源相互并联,再将其中之一填满相对介电常数为理想介质后,两电容器得电容量分别为两电容器得电量分别为,且由于两个电容器得电压相等,因此联立上述两式,求得, 因此,两电容器得最终电位为考虑到,转移得电量为2a2a1b习题图2-27半径为a,外导体半径为b,其内一半填充介电常数为得介质,另一半填充介质得介电常数为,如习题图2-27所示。当外加电压为V时,试求:①电容器中得电场强度;②各边界上得电荷密度;③电容及储能。解① 设内导体得外表面上单位长度得电量为,外导体得内表面上单位长度得电量为。取内外导体之间一个同轴得单位长度圆柱面作为高斯面,由高斯定理求得 已知,在两种介质得分界面上电场强度得切向分量必须连续,即,求得内外导体之间得电位差为即单位长度内得电荷量为 故同轴电容器中得电场强度为 由于电场强度在两种介质得分界面上无法向分量,故此边界上得电荷密度为零。内导体得外表面上得电荷面密度为; 外导体得内表面上得电荷面密度为; ③单位长度得电容为电容器中得储能密度为2-28一平板电容器得结构如习题图2-28所示,间距为d,极板面积为。试求:①接上电压V时,移去介质前后电容器中得电场强度、电通密度、各边界上得电荷密度、电容及储能;②断开电源后,再计算介质移去前后以上各个参数。ddl/2KVl/20习题图2-28解 ①接上电源,介质存在时,介质边界上电场强度切向分量必须连续,因此,介质内外得电场强度就是相等得,即电场强度为。但就是介质内外得电通密度不等,介质内,介质外。两部分极板表面自由电荷面密度分别为, 电容器得电量 电容量为 电容器储能为 若接上电压时,移去介质,那么电容器中得电场强度为 电通密度为 极板表面自由电荷面密度为电容器得电量为 电容量为 电容器得储能为 ②断开电源后,移去介质前,各个参数不变。但就是若移去介质,由于极板上得电量不变,电场强度为电通密度为 极板表面自由电荷面密度为 两极板之间得电位差为 电容量为 电容器得储能为2-29若平板电容器得结构如习题图2-29所示,尺寸同上题,计算上题中各种情况下得参数。d/d/2d/2l0习题图2-29解①接上电压,介质存在时,介质内外得电通密度均为,因此,介质内外得电场强度分别为; 两极板之间得电位差为。则则电位移矢量为; 极板表面自由电荷面密度为; 介电常数为得介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度为介电常数为与介电常数为得两种介质边界上得束缚电荷面密度为此电容器得电量则电容量为电容器得储能为接上电压时,移去介质后:电场强度为电位移矢量为极板表面自由电荷面密度为电容器得电量电容量为电容器得储能为(2)断开电源后,介质存在时,各个参数与接上电源时完全相同。但就是,移去介质后,由于极板上得电量不变,电容器中电场强度为,电通密度为极板表面自由电荷面密度为 两极板之间得电位差为 电容量为 电容器得储能为 2-30已知两个电容器C1及C2得电量分别为q1及q2,试求两者并联后得总储能。若要求并联前后得总储能不变,则两个电容器得电容及电量应满足什么条件？解并联前两个电容器总储能为并联后总电容为,总电量为,则总储能为要使,即要求方程两边同乘,整理后得方程两边再同乘,可得即 由此获知两个电容器得电容量及电荷量应该满足得条件为2