《构造与论证(二)》配套练习题

《构造与论证（二）》配套练习题一、解答题1、如图，在3×3的方格表中已经填入了9个整数．如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作．问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？

2、某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书A、B、C，使得甲读过A、B，没读过C，乙读过B、C，没读过A？3、平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选取红线或蓝线连接．小红说：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形．她说的对吗？4、4个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．小明说：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．他说的对吗？5、在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？6、有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言．小刚说：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈．他说的对吗？7、有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

(1)某2堆石子全部取光？

(2)3堆中的所有石子都被取走？8、若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克．那么最少需要多少辆载重量为1.5吨的汽车，才能保证把这些箱货物一次全部运走？答案部分一、解答题1、【正确答案】不能【答案解析】2与其他数的奇偶性不同加上同一个数，得到的数的奇偶性也不同，所以不可能变成相同的数。【答疑编号10304525】2、【正确答案】可以【答案解析】首先从读书数最多的学生中找一人甲．由题设，甲至少有一本书未读过，记为C．设B是甲读过的书中一本，由题意知，可找到学生乙，乙读过B、C．由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C书，甲未读过C书，所以一定可以找出一本书A，使得甲读过而乙未读过，否则乙就比甲至少多读过一本书．这样一来，甲读过A、B，未读过C；乙读过B、C未读过A．因此可以找到满足要求的两个学生．【答疑编号10304526】3、【正确答案】对【答案解析】①先考虑A和其他5个点的连线，由抽屉原理，其中必定有3条同色，不妨如图设AB、AD和AE都是红色；②再考虑B、D、E三点间的连线：如果BD、BE、DE同色，则三角形BDE已经是三边同色．如果BD、BE、DE不同色，则其中必定至少有某两点间的连线是红色，于是这两点和A点则构成了一个三边同色的三角形．因此，不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形．

【答疑编号10304527】4、【正确答案】对【答案解析】设这4个人是A、B、C、D．把他们两两搭配成6组：AB、AC、AD、BC、BD、CD．下面计算每组中赠送礼品数：如果互相之间没有赠礼品，则为0；如果一方给了另一方礼品，另一方没有回赠，则为1；如果双方都给了对方礼品，则为2．另一方面，共有礼品2×4＝8件．因为每件礼品都会在某一组计算赠送礼品数时被计算一次，所以8还等于这6组刚才计算出的赠送礼品数之和．于是本题变为“6个小于等于2的自然数之和等于8，证明其中至少有2个2”．反证：如果只有一个2，则总和最大是2＋1＋1＋1＋1＋1＝7＜8，矛盾！得证．【答疑编号10304528】5、【正确答案】16【答案解析】因为8×8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶数格．而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格．由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格．其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意．此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示．

【答疑编号10304529】6、【正确答案】对【答案解析】假设任意三位数学家都没有共同会的语言，这表明每种语言至多有两人会说．设这九位数学家为A、B、C、D、E、F、G、I．由于一位数学家最多会三种语言，而每种语言至多有两人会说，所以一位数学家至多能和另外三人通话，即至少与五人语言不通．不妨设A不能与B、C、D、E、F通话．同理，B也至多能和三人通话，因此在C、D、E、F中至少有一人与B语言不通，设为C．则A、B、C三人中任意两人都没有共同语言，与题意矛盾．这表明假设不成立，结论得证．【答疑编号10304530】7、【正确答案】(1)可以；(2)不可以【答案解析】（1）可以，如（1989，989，89）→（1900，900，0）→（950，900，950）→（50，0，50）→（25，25，50）→（0，0，25）．

（2）因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989＋989＋89＝3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答疑编号10304531】8、【正确答案】16【答案解析】15辆车不一定能一次运完．例如这批货物共有65只箱子，64只箱子都是301千克，1只箱的重量是236千克，那么总重量为301×64＋236＝19500（千克），恰好符合19.5吨的要求．由于301×5＝1505（千克）．超过1.5吨．因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装4×15＝60（只）重量为301千克的箱子．这样，必然有4只重量为30l千克的箱子无法再装运了．16辆汽车一定能一次运完全部箱子．首先让12辆汽车装到刚刚超过1.5吨，即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨．再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4箱总重量不超过4×353＝1412（千克）因此