2023-2024学年河北省唐山市滦南县高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年河北省唐山市滦南县高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的。）1．（5分）已知函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则limΔx→0A．﹣36 B．﹣4 C．4 D．362．（5分）函数f（x）＝x2﹣lnx的单调递减区间是（）A．（0，22] B．[22C．（﹣∞，−22]，（0，22） D．[−3．（5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星，北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线．若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（）A．30 B．31 C．34 D．354．（5分）（1+2x+x2）5的展开式中x6的系数为（）A．200 B．210 C．220 D．2405．（5分）数形结合是非常重要的数学思想，以函数为例，数是解析式，形是图像．现有函数f（x）＝（x2﹣x）ex，则它的图像大致是（）A． B． C． D．6．（5分）某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（）A．51种 B．45种 C．48种 D．42种7．（5分）函数f（x）＝ax3+x2+5x﹣1恰有3个单调区间的必要不充分条件是（）A．（﹣∞，115） B．(0，C．（﹣∞，0）∪(0，1158．（5分）若函数f(x)=sinxx，且0＜x1＜x2＜1，设a=sinx1x1A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a，b的大小不能确定二、多选题：本题共3小题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）下列求导运算正确的是（）A．(x+1B．An+1C．C100D．f（x）＝cos（2x﹣1），则f'（x）＝﹣sin（2x﹣1）（多选）10．（6分）若x5=a0+aA．a0＝0 B．a3＝﹣10 C．a1+a3+a5＝﹣16 D．a1+a2+…+a5＝1（多选）11．（6分）观察图象，下列结论错误的有（）A．若图中为f（x）图象，则f（x）在x＝﹣2处取极小值 B．若图中为f'（x）图象，则f（x）有两个极值点 C．若图中为y＝（x﹣2）f'（x）图象，则f（x）在（0，2）上单调递增 D．若图中为y＝（x+2）f（x）图象，则f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤2}三、填空题：本题共3小题（每小题5分，共15分）12．（5分）若函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+lnx，则f'（12）＝13．（5分）（1﹣ax）（1+x）6的展开式中，x3项的系数为﹣10，则实数a＝．14．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个命题：①0＜x0＜1e；②x0＞1e；③f（x0）+x0＜0；④f四、解答题：本题共5小题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．（13分）（1）一场班级元旦晚会有2个唱歌节目a和b；2个相声节目1和2．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目．列出所有可能的排列；（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示）（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）16．（15分）从①第4项的系数与第2项的系数之比是7：4；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，再解决补充完整的题目．已知(2x−1)n=a0+（1）求n的值；（2）①求二项展开式的中间项；②求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值．17．（15分）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t（单位：百万元），可增加销售额约为﹣t2+5t（单位：百万元）（0≤t≤3）．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（单位：百万元），可增加的销售额约为−13x3+x2+3请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．（收益＝销售额﹣投入）18．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣kx，（k∈R，x∈R）．（1）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）令g（x）＝ex﹣2lnx，若至少存在一个实数x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0）成立，求实数k的取值范围．19．（17分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

2023-2024学年河北省唐山市滦南县高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的。）1．（5分）已知函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则limΔx→0A．﹣36 B．﹣4 C．4 D．36【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【答案】C【分析】根据导数的定义及极限的运算即可得解．【解答】解：f′（x0）＝12，∴limΔx→0故选：C．2．（5分）函数f（x）＝x2﹣lnx的单调递减区间是（）A．（0，22] B．[22C．（﹣∞，−22]，（0，22） D．[−【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】A【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝2x−1令f′（x）≤0，解得：0＜x≤2故函数f（x）的递减区间是（0，22故选：A．3．（5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星，北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线．若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（）A．30 B．31 C．34 D．35【考点】排列组合的综合应用．【答案】B【分析】利用间接法计算可得．【解答】解：从这七个点中任意三个点作三角形有C7其中B，D，E，F共线，有C4则所作的不同三角形的个数为C7故选：B．4．（5分）（1+2x+x2）5的展开式中x6的系数为（）A．200 B．210 C．220 D．240【考点】二项式定理．【答案】B【分析】变形给定式子，再利用二项式定理求解作答．【解答】解：依题意，（1+2x+x2）5＝[（1+x）2]5＝（1+x）10，而（1+x）10展开式中x6的系数为C10所以（1+2x+x2）5的展开式中x6的系数为210．故选：B．5．（5分）数形结合是非常重要的数学思想，以函数为例，数是解析式，形是图像．现有函数f（x）＝（x2﹣x）ex，则它的图像大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】根据题意，用排除法分析，先分析f（x）与x轴的交点坐标，排除AC，再分析函数图象的变化趋势，排除B，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝（x2﹣x）ex，若f（x）＝（x2﹣x）ex＝0，解可得x＝0或1，即f（x）与x轴有两个交点（0，0）和（1，0），排除AC，当x→﹣∞时，f（x）→0，排除B，故选：D．6．（5分）某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（）A．51种 B．45种 C．48种 D．42种【考点】排列组合的综合应用．【答案】A【分析】由题至少两人报名数学竞赛，故可分为：两人报名数学竞赛和三人报名数学竞赛两种情况来解题．【解答】解：若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有C3若这两个人选报的另外的学科不同，则共有C3若三个人全部都报名数学竞赛，则共有A3所以不同的参赛方案有：C3故选：A．7．（5分）函数f（x）＝ax3+x2+5x﹣1恰有3个单调区间的必要不充分条件是（）A．（﹣∞，115） B．(0，C．（﹣∞，0）∪(0，115【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】由题意得f′（x）＝3ax2+2x+5，然后对a分类讨论求出使f′（x）＝0有两个不等根的a的范围，结合充分必要条件的判定方法得答案．【解答】解：由f（x）＝ax3+x2+5x﹣1，得f′（x）＝3ax2+2x+5，当a＝0时，由f′（x）＝0，得x=−52，函数f（当a＞0时，由Δ＝4﹣60a＞0，得a＜115，即0＜a＜115，此时函数f（x）＝ax3+x当a＜0时，由Δ＝4﹣60a＞0，得a＜115，即a＜0，此时函数f（x）＝ax3+x2+5∴函数f（x）＝ax3+x2+5x﹣1恰有3个单调区间的必要不充分条件是A．故选：A．8．（5分）若函数f(x)=sinxx，且0＜x1＜x2＜1，设a=sinx1x1A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a，b的大小不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】A【分析】求出函数的导函数，判断f（x）的单调性，利用单调性即可判断a与b的大小．【解答】解：∵f(x)=sinxx，∴f′（x）∵0＜x≤1＜π2时，x＜tan∴f′（x）＜0，故函数单调递减，∴当0＜x1＜x2＜1时，f（x1）＞f（x2），即a＞b．故选：A．二、多选题：本题共3小题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）下列求导运算正确的是（）A．(x+1B．An+1C．C100D．f（x）＝cos（2x﹣1），则f'（x）＝﹣sin（2x﹣1）【考点】基本初等函数的导数；组合及组合数公式．【答案】AC【分析】利用导数计算公式，排列数和组合数的运算及性质分析各选项可得答案．【解答】解：A选项，(x+1x)′=(x)′+(B选项，因为An+1m+1=(n+1)n(n−1)⋯(n−m+1)，(m+1)C选项，C10098+2D选项，f（x）＝cos（2x﹣1），则f'（x）＝﹣2sin（2x﹣1），D错误．故选：AC．（多选）10．（6分）若x5=a0+aA．a0＝0 B．a3＝﹣10 C．a1+a3+a5＝﹣16 D．a1+a2+…+a5＝1【考点】二项式定理．【答案】BC【分析】根据已知条件，结合赋值法，以及二项式定理，即可求解．【解答】解：x5对于A，令1﹣x＝0，则x＝1，则a0＝1，故A错误；对于B，因为x5＝[1﹣（1﹣x）]5，所以展开式中含（1﹣x）3的系数为C53⋅(−1对于C，令1﹣x＝1，则x＝0，则a0+a1+a2+…+a5＝0，令1﹣x＝﹣1，则x＝2，则a0所以a1+a对于D，a1+a2+…+a5＝0﹣a0＝﹣1，故D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）观察图象，下列结论错误的有（）A．若图中为f（x）图象，则f（x）在x＝﹣2处取极小值 B．若图中为f'（x）图象，则f（x）有两个极值点 C．若图中为y＝（x﹣2）f'（x）图象，则f（x）在（0，2）上单调递增 D．若图中为y＝（x+2）f（x）图象，则f（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤2}【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用．【答案】ABD【分析】选项A：若图为f（x）图象，f（x）在x＝﹣2左右单调性一致，不是极值；选项B：若图为f'（x）图象，根据导数与0的大小判断单调性，判断极值；选项C：若图为y＝（x﹣2）f'（x）图象，根据图像的正负判断y＝f'（x）的正负，判断单调性；选项D：若图为y＝（x+2）f（x）图象，根据图像的正负判断y＝f（x）的正负，解出f（x）≤0的解集．【解答】解：选项A：若图为f（x）图象，则f（x）在x＝﹣2两边单调性一致，不是极值，故A错误；选项B：若图为f'（x）图象，x∈（﹣∞，﹣2），f'（x）＜0，函数单调递减；x∈（﹣2，0），f'（x）＞0，函数单调递增；x∈（0，2），f'（x）＜0，函数单调递减；x∈（2，+∞），f'（x）＞0，函数单调递增；故函数有﹣2，0，2三个极值点，选项B错误；选项C：若图为y＝（x﹣2）f'（x）图象，则x﹣2＜0时，单调性相反，即x∈（﹣∞，﹣2），f'（x）＞0，函数单调递增；x∈（﹣2，0），f'（x）＜0，函数单调递减；x∈（0，2），f'（x）＞0，函数单调递增；当x∈（2，+∞），单调性一致，f'（x）＞0，函数单调递增；故C正确；选项D：若图为y＝（x+2）f（x）图象，x+2＜0，图像正负相反，x+2＞0时图像正负一致，f（x）≤0的解集为{x|0≤x≤2}，故D错误；故答案为：ABD．三、填空题：本题共3小题（每小题5分，共15分）12．（5分）若函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+lnx，则f'（12）＝1【考点】基本初等函数的导数．【答案】1．【分析】先求出f'（x），再令x＝1可求出f'（1）的值，进而得到f（x）的解析式，求出导函数f'（x），令x=12即可求出f'（【解答】解：∵函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+lnx，∴f'（x）＝2f'（1）x+1令x＝1得，f'（1）＝2f'（1）+1，解得f'（1）＝﹣1，∴f（x）＝﹣x2+lnx，∴f'（x）＝﹣2x+1∴f'（12）＝﹣2×故答案为：1．13．（5分）（1﹣ax）（1+x）6的展开式中，x3项的系数为﹣10，则实数a＝2．【考点】二项式定理．【答案】2．【分析】根据（1+x）6中x2、x3项的系数，再根据展开式中x3的系数为﹣10，求得a的值．【解答】解：（1+x）6的展开式中通项公式Tr+1=∁6r•令r＝3或2，则x3项的系数为：1×∁63−a故答案为：2．14．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+x2，且x0是函数f（x）的极值点．给出以下几个命题：①0＜x0＜1e；②x0＞1e；③f（x0）+x0＜0；④f（x【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】①③．【分析】求导数f′（x0）＝lnx0+2x0+1＝0，可得0＜x0＜1e；f（x0）+x0＝x0（lnx0+x0+1），2x【解答】解：f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝lnx+2x+1，所以f′（x0）＝lnx0+2x0+1＝0，所以2x0＝﹣（lnx0+1）＞0，即x0＜﹣1，即lnx0＜lnf(x因为2x0＝﹣（lnx0+1），所以有f(x故答案为：①③．四、解答题：本题共5小题（共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．（13分）（1）一场班级元旦晚会有2个唱歌节目a和b；2个相声节目1和2．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目．列出所有可能的排列；（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示）（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）【考点】部分元素不相邻的排列问题．【答案】（1）排列为：a12b，a21b，b12a，b21a．（2）432；（3）80．【分析】（1）先排第一个与最后一个，再排剩下的节目即可求解；（2）运用捆绑法与插空法可求解．（3）分选2名男教师与2名女教师与选3名男教师与1名女教师，由此即可求解．【解答】解：（1）歌唱节目记为a，b，相声节目记为1，2，满足条件的排列为：a12b，a21b，b12a，b21a．（2）甲，乙，丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有A3（3）选2名男教师与2名女教师，共有C42C16．（15分）从①第4项的系数与第2项的系数之比是7：4；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，再解决补充完整的题目．已知(2x−1)n=a0+（1）求n的值；（2）①求二项展开式的中间项；②求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值．【考点】二项式系数与二项式系数的和．【答案】（1）n＝8．（2）①T5＝1120x4；②38﹣1．【分析】（1）由题意，根据二项式系数的定义，列出等式，解出n的值．（2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断a0、a2、a4、a6、a8为正数，a1、a3、a5、a7为负数，再给x赋值，从而求出|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值．【解答】解：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是7：4，则有2n−3化简可得n2﹣3n﹣40＝0，求得n＝8或n＝﹣5（舍去）．若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有Cn2化简可得n2+n﹣72＝0，求得n＝8或n＝﹣9（舍去）．（2）由（1）可得n＝8，①（2x﹣1）8的二项展开式的中间项为T5=C84•（2x）4•（﹣1）4＝1120②易知，a0、a2、a4、a6、a8为正数，a1、a3、a5、a7为负数．在（2x﹣1）8＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8中，令x＝0，可得a0＝1．再令x＝﹣1，可得38＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8＝1+|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|，∴|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|＝38﹣1．17．（15分）某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t（单位：百万元），可增加销售额约为﹣t2+5t（单位：百万元）（0≤t≤3）．（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（单位：百万元），可增加的销售额约为−13x3+x2+3请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．（收益＝销售额﹣投入）【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．（2）将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．【分析】（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）根据收益为销售额与投放的差可建立收益模型为：f（t）＝（﹣t2+5t）﹣t＝﹣t2+4t，再由二次函数法求得最大值．（2）根据题意，若用技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3﹣x）（百万元），则收益模型为：g（x）＝（−13x3+x2+3x）+[﹣（3﹣x）2+5（3﹣x）]﹣3=−13x3+4【解答】解：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），则有f（t）＝（﹣t2+5t）﹣t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4（0≤t≤3），所以当t＝2百万元时，f（t）取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．（2）设用技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3﹣x）（百万元），则增加的收益为g（x）＝（−13x3+x2+3x）+[﹣（3﹣x）2+5（3﹣x）]﹣3=−13x3+4所以g′（x）＝﹣x2+4．令g′（x）＝0，解得x＝2，或x＝﹣2（舍去）．又当0≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x≤3时，g′（x）＜0．故g（x）在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x＝2时，g（x）取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．18．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣kx，（k∈R，x∈R）．（1）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（2）令g（x）＝ex﹣2lnx，若至少存在一个实数x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0）成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；函数恒成立问题．【答案】（1）（0，e）；（2）（0，+∞）．【分析】（1）先由导数得出f（x）的单调区间，再讨论lnk≤0，lnk＞0得出f（x