2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高一(上)期中数学试卷

2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，4}，B＝{x|1≤x＜3}，则A⋂B＝（）A．{2} B．{1，2} C．{2，3} D．{﹣1，1，2，3，4}2．（5分）下列各组中的函数f（x）和g（x），表示同一函数的是（）A．，g（x）＝x B．， C．，g（x）＝|x+3| D．，3．（5分）已知f（x）＝，则f[f（7）]的值为（）A．﹣20 B．2 C．7 D．54．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C．a2＞b2 D．5．（5分）命题p：∀x∈A，x∈B，则¬p为（）A．∀x∉A，x∉B B．∀x∈A，x∉B C．∃x∈A，x∉B D．∃x∉A，x∉B6．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（）A．|f（x）| B．f（|x|） C． D．f（x）﹣f（﹣x）7．（5分）不等式x2﹣2ax+1＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．（5分）设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣1.5]＝﹣2，[4.9]＝4，[π]＝3，已知函数f（x）＝x﹣[x]，则（）A．f（x）的图象关于y轴对称 B．f（x）的最大值为1，没有最小值 C． D．f（x）在R上是增函数二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，设集合C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则下列结论中不正确的是（）A．A∩C＝∅ B．A⋃C＝C C．B⋂C＝B D．A⋃B＝C（多选）10．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：每户每月用水量x（m3）水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3则下列说法正确的是（）A．若某户居民某月用水量为10m3，则该用户应缴纳水费30元 B．若某户居民某月用水量为16m3，则该用户应缴纳水费96元 C．若某户居民某月缴纳水费54元，则该用户该月用水量为15m3 D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元，且甲户该月用水量未超过12m3，乙户该月用水量未超过18m3，则该月甲户用水量为9m3（甲，乙两户的月用水量均为整数）（多选）11．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A为非空集合，且B⊆∁RA，则a的可能取值为（）A．0 B．1 C．2 D．（多选）12．（5分）下列选项正确的是（）A．若0＜x＜6，则x（6﹣x）的最大值为9 B．若x∈R，则的最小值为﹣1 C．若x，y＞0且x+2y+xy＝6，则xy的最大值为2 D．若x，y＞0且x+4y+4＝xy，则2x+y的最小值为17三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图像经过点（4，2），则f（3）＝．14．（5分）函数的定义域为．（请用集合形式作答）15．（5分）正数x，y满足，且不等式x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围是．16．（5分）已知f（x）的定义域为R，对任意的x1、x2∈R，且x1≠x2都有且f（5）＝18，则不等式f（3x﹣1）＞9x的解集为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}．求：（1）A∩B；A∪B；（2）（∁RA）∪（∁RB）．18．（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，且当0≤x≤5时，f（x）＝x2﹣4x．（1）求f（﹣3）的值及f（x）的解析式；（2）求f（x）在[﹣5，5]的值域．19．（12分）已知集合A＝{x|4＜x≤8}，B＝{x|5﹣m2≤x≤5+m2}．（1）若m＝2，求∁BA；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20．（12分）关于x的不等式kx2+（k﹣2）x﹣2＜0．（1）当k＝3时，求不等式的解集；（2）当k＜0时，求不等式的解集．21．（12分）冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若设仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到：每月土地占地费y1（单位：万元）与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与3x+1成正比；若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为8万元和16万元，记两项费用之和为ω＝y1+y2．（1）求ω关于x的解析式；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少km处，才能使两项费用之和最小？并求出最小值．22．（12分）已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数f（x）在区间[2，+∞）的单调性；（3）当x∈[2，4]时，不等式[f（x）]2﹣3f（x）+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

2023-2024学年河北省唐山市十县一中联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，4}，B＝{x|1≤x＜3}，则A⋂B＝（）A．{2} B．{1，2} C．{2，3} D．{﹣1，1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】直接求交集即可．【解答】解：因为集合A＝{﹣1，1，2，3，4}，B＝{x|1≤x＜3}，所以A⋂B＝{1，2}．故选：B．2．（5分）下列各组中的函数f（x）和g（x），表示同一函数的是（）A．，g（x）＝x B．， C．，g（x）＝|x+3| D．，【考点】判断两个函数是否为同一函数．【答案】C【分析】根据同一函数的定义和判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解．【解答】解：对于A，f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为R，两函数定义域不同，故A错误；对于B，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为R，又，，两函数对应关系不同，故B错误；对于C，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为R，，两函数定义域和对应关系都相同，故C正确；对于D，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），g（x）的定义域为（1，+∞），两函数定义域不同，故D错误．故选：C．3．（5分）已知f（x）＝，则f[f（7）]的值为（）A．﹣20 B．2 C．7 D．5【考点】分段函数的应用．【答案】B【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，则f（7）＝﹣7+6＝﹣1，则f[f（7）]＝f（﹣1）＝1+1＝2；故选：B．4．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C．a2＞b2 D．【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】D【分析】利用不等式的基本性质可判断AC选项；利用作差法可判断B选项；利用特殊值法可判断D选项．【解答】解：因为a＞b＞0，由不等式的性质可得，即，A对；因为a＞b＞0，则a﹣b＞0，则，B对；因为a＞b＞0，由不等式的性质可得a2＞b2，C对；因为a＞b＞0，取a＝2，，则，D错．故选：D．5．（5分）命题p：∀x∈A，x∈B，则¬p为（）A．∀x∉A，x∉B B．∀x∈A，x∉B C．∃x∈A，x∉B D．∃x∉A，x∉B【考点】全称命题的否定；全称量词和全称命题．【答案】C【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈A，x∉B．故选：C．6．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（）A．|f（x）| B．f（|x|） C． D．f（x）﹣f（﹣x）【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】B【分析】由已知根据奇偶性定义判断．【解答】解：f（x）不知奇偶性，因此f（﹣x）与f（x）的关系不确定，|f（﹣x）|与|f（x）|关系不确定，A错；f（|﹣x|）＝f（|x|），B正确；也不知其奇偶性，C错；f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]，D错．故选：B．7．（5分）不等式x2﹣2ax+1＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】D【分析】利用Δ＞0求解即可．【解答】解：∵不等式x2﹣2ax+1＜0的解集不为空集，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4＞0，解得a＜﹣1或a＞1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D．8．（5分）设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣1.5]＝﹣2，[4.9]＝4，[π]＝3，已知函数f（x）＝x﹣[x]，则（）A．f（x）的图象关于y轴对称 B．f（x）的最大值为1，没有最小值 C． D．f（x）在R上是增函数【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值．【答案】C【分析】根据[x]的定义，结合f（x）的解析式，逐一进行判断即可．【解答】解：因为f（x）＝x﹣[x]＝，其函数图象如图所示：结合图象可知，A显然错误；函数没有最大值，最小值为0，B错误；因为2＜3＜4，所以f（）＝﹣2，f（）＝﹣3，故f（）+f（）﹣1＝﹣6，又（+）2﹣62＝2﹣17＞0，故﹣6＞0，即﹣5＞1，所以（）+f（）＞1，C正确；结合图象可知，f（x）在R上显然不单调，D错误．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，设集合C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则下列结论中不正确的是（）A．A∩C＝∅ B．A⋃C＝C C．B⋂C＝B D．A⋃B＝C【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；元素与集合关系的判断．【答案】ABD【分析】先用列举法表示集合C，再应用集合的交并补运算即可．【解答】解：集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，集合C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}＝{0，2，4}，则A∩C＝{2}≠∅，A错；A⋃C＝{0，1，2，4}≠C，B错；B⋂C＝{0，2}＝B，B对；A⋃B＝{0，1，2}≠C，D错．故选：ABD．（多选）10．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费办法如下表：每户每月用水量x（m3）水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3则下列说法正确的是（）A．若某户居民某月用水量为10m3，则该用户应缴纳水费30元 B．若某户居民某月用水量为16m3，则该用户应缴纳水费96元 C．若某户居民某月缴纳水费54元，则该用户该月用水量为15m3 D．若甲、乙两户居民某月共缴纳水费93元，且甲户该月用水量未超过12m3，乙户该月用水量未超过18m3，则该月甲户用水量为9m3（甲，乙两户的月用水量均为整数）【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】AC【分析】根据表格中的“阶梯水价”，逐一选项进行计算并判断正误即可．【解答】解：对于A选项，居民用水量未超过12m3，则按3元/m3计算，故应缴水费为3×10＝30元，故A选项正确；对于B选项，居民用水量超过12m3，但未超过18m3，因此其中12m3，按3元/m3计算，剩余的4m3，按6元/m3计算，故应缴水费为3×12+4×6＝60元，故B选项错误；对于C选项，根据居民所缴水费，可以判断居民用水量超过12m3，但未超过18m3，设居民用水量为x，则有3×12+6×（x﹣12）＝54，解得：x＝15，故C选项正确；对于D选项，根据题意，设甲居民用水量为x，乙居民用水量为y，则根据已知条件可得：3x+3×12+6（y﹣12）＝93，整理可得：x+2y＝43，通过方程无法确定甲居民用水量一定为9m3，故D选项错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A为非空集合，且B⊆∁RA，则a的可能取值为（）A．0 B．1 C．2 D．【考点】集合的包含关系判断及应用；补集及其运算．【答案】BD【分析】利用集合的补集运算与包含关系即可得解．【解答】解：因为A＝{x|0＜x＜a}，A为非空集合，所以A＝{x|x≤0或x≥a}，且a＞0，而B＝{x|1＜x＜2}，B⊆∁RA，所以a≤1，综上，0＜a≤1，故BD正确，AC错误．故选：BD．（多选）12．（5分）下列选项正确的是（）A．若0＜x＜6，则x（6﹣x）的最大值为9 B．若x∈R，则的最小值为﹣1 C．若x，y＞0且x+2y+xy＝6，则xy的最大值为2 D．若x，y＞0且x+4y+4＝xy，则2x+y的最小值为17【考点】基本不等式及其应用．【答案】ACD【分析】根据题意，对四个选项进行相应的构造，再利用基本不等式逐一计算，即可得到本题的答案．【解答】解：对于A：由0＜x＜6，可知x与6﹣x均为正数，故，当且仅当x＝6﹣x，即x＝3时，原式取最大值9，故A正确；对于B：当x∈R时，x2+3≥3＞0，所以，当且仅当，此时x2＝﹣2不成立，故不等式的等号取不到，B错误；对于C：因为x、y＞0，所以，可得，令，则，解得，即xy≤2，当且仅当x＝2y，原式取到最大值2，故C正确；对于D：因为x，y＞0，x+4y+4＝xy，则，x﹣4＞0，所以，当且仅当，即x＝6时，原式取到最小值17，故D正确；故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图像经过点（4，2），则f（3）＝．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】．【分析】利用待定系数法求出f（x）的解析式，进而求出f（3）．【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），∵幂函数y＝f（x）的图像经过点（4，2），∴4α＝2，∴α＝，∴f（x）＝＝，∴f（3）＝．故答案为：．14．（5分）函数的定义域为{x|x≤3且x≠2}．（请用集合形式作答）【考点】函数的定义域及其求法．【答案】{x|x≤3且x≠2}．【分析】求使函数f（x）有意义的x的范围即可．【解答】解：要使函数有意义，可得，解得x≤3且x≠2，所以函数f（x）的定义域为{x|x≤3且x≠2}．故答案为：{x|x≤3且x≠2}．15．（5分）正数x，y满足，且不等式x+y＜m2﹣8m有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）⋃（9，+∞）．【考点】基本不等式及其应用．【答案】（﹣∞，﹣1）⋃（9，+∞）．【分析】先利用基本不等式“1”的妙用求出x+y≥9，从而只需9＜m2﹣8m，求出实数m的取值范围．【解答】解：正数x，y满足，所以，当且仅当，即y＝6，x＝3时，等号成立，不等式x+y＜m2﹣8m有解，只需9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）⋃（9，+∞）．16．（5分）已知f（x）的定义域为R，对任意的x1、x2∈R，且x1≠x2都有且f（5）＝18，则不等式f（3x﹣1）＞9x的解集为（2，+∞）．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质与判断．【答案】（2，+∞）．【分析】根据题意，设x1＞x2，由已知可得出f（x1）﹣3x1＞f（x2）﹣3x2，令g（x）＝f（x）﹣3x，分析可知g（x）在R上单调递增，将所求不等式变形为g（3x﹣1）＞g（5），可得出关于x的不等式，解之即可．【解答】解：根据题意，对任意的x1、x2∈R，且x1≠x2都有，不妨设x1＞x2，由，则有f（x1）﹣f（x2）＞3x1﹣3x2，所以，f（x1）﹣3x1＞f（x2）﹣3x2，令g（x）＝f（x）﹣3x，则g（x1）＞g（x2），所以，函数g（x）在R上单调递增，由f（3x﹣1）＞9x可得f（3x﹣1）﹣3（3x﹣1）＞3，又因为g（5）＝f（5）﹣3×5＝18﹣15＝3，由f（3x﹣1）﹣3（3x﹣1）＞3可得g（3x﹣1）＞g（5），则3x﹣1＞5，解得x＞2，因此，不等式f（3x﹣1）＞9x的解集为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}．求：（1）A∩B；A∪B；（2）（∁RA）∪（∁RB）．【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】（1）A∩B＝{x|3＜x＜7}，A∪B＝{x|2≤x＜10}；（2）（∁RA）∪（∁RB）＝{x|x≤3或x≥7}．【分析】（1）由交集、并集的定义计算；（2）先由补集定义计算，然后由并集定义计算．【解答】解（1）因为A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，所以A∩B＝{x|3＜x＜7}，A∪B＝{x|2≤x＜10}；（2）∁RA＝{x|x＜2或x≥7}，∁RB＝{x|x≤3或x≥10}；则（∁RA）∪（∁RB）＝{x|x≤3或x≥7}．18．（12分）已知函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，且当0≤x≤5时，f（x）＝x2﹣4x．（1）求f（﹣3）的值及f（x）的解析式；（2）求f（x）在[﹣5，5]的值域．【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数解析式的求解及常用方法．【答案】（1）；（2）[﹣4，5]．【分析】（1）根据函数奇偶性求解函数值及其解析式即可；（2）根据第一问求得的分段函数解析式，结合函数是偶函数的特征求解值域即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣3）＝f（3）＝﹣3，当﹣5≤x＜0时，则0＜﹣x≤5，因为f（x）在[﹣5，5]上为偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）＝x2+4x．所以f（x）＝；（2）因为f（x）在[﹣5，5]上为偶函数，所以只需求f（x）在[0，5]的值域即可．因为f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4在[0，2]上单调递减，在[2，5]上单调递增，f（0）＝0，f（5）＝5，所以当x＝2时，f（x）取得最小值﹣4，当x＝5时，f（x）取得最大值5，所以f（x）在[﹣5，5]的值域为[﹣4，5]．19．（12分）已知集合A＝{x|4＜x≤8}，B＝{x|5﹣m2≤x≤5+m2}．（1）若m＝2，求∁BA；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】充分条件与必要条件．【答案】（1）{x|1≤x≤4或8＜x≤9}；（2）（﹣1，1）．【分析】（1）当m＝2时，求出集合B，利用补集的定义可求出集合∁BA；（2）由题意可知，B≠∅，分析可知，BA，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围．【解答】（1）解：当m＝2时，B＝{x|1≤x≤9}，∁BA＝{x|1≤x≤4或8＜x≤9}．（2）解：因为5﹣m2≤5+m2，则B＝{x|5﹣m2≤x≤5+m2}≠∅，因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A，只需，解得﹣1＜m＜1．综上，实数m的取值范围为﹣1＜m＜1．即m的取值范围是（﹣1，1）．20．（12分）关于x的不等式kx2+（k﹣2）x﹣2＜0．（1）当k＝3时，求不等式的解集；（2）当k＜0时，求不等式的解集．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（1）．（2）当k＜﹣2时，不等式的解集为；当k＝﹣2时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；当﹣2＜k＜0时时，不等式的解集为．【分析】（1）把k＝3代入已知不等式，结合二次不等式的求法即可求解；（2）先对已知不等式进行变形，然后结合二次不等式的求法对k进行分类讨论可求．【解答】解：（1）k＝3时，不等式可化为3x2+x﹣2＜0，即（x+1）（3x﹣2）＜0，解得，所以原不等式的解集为．（2）不等式可化为（kx﹣2）（x+1）＜0，因为k＜0，所以有，①当，即k＝﹣2时，不等式为（x+1）2＞0，解得x≠﹣1；②当，即k＜﹣2时，解得x＜﹣1或；③当，即﹣2＜k＜0时，解得或x＞﹣1．综上：当k＜﹣2时，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；当k＝﹣2时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；当﹣2＜k＜0时时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜}．21．（12分）冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若设仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到：每月土地占地费y1（单位：万元）与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与3x+1成正比；若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为8万元和16万元，记两项费用之和为ω＝y1+y2．（1）求ω关于x的解析式；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少km处，才能使两项费用之和最小？并求出最小值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站3千米处，