2023-2024学年河北省张家口市尚义一中等校高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年河北省张家口市尚义一中等校高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）如表是离散型随机变量X的分布列，则常数m的值是（）X21222324Pm162m−113A．16 B．14 C．132．（5分）若2名老师教4个班，每人教2个班的分配方案有（）A．3种 B．4种 C．6种 D．8种3．（5分）函数f(x)=sinx−1A．sinx−1x2 C．cosx−1x24．（5分）某天要排语文、数学、体育、计算机、物理、化学六节课，上午四节下午两节，其中体育不排在上午第一节和下午第一节，那么这天课程表的不同排法共有（）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种5．（5分）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如表，则该运动员所得环数的数学期望最接近（）命中环数678910概率0.10.150.250.30.2A．7环 B．8环 C．9环 D．10环6．（5分）育红学校有A，B两家餐厅，李明同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6．则李明同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.87．（5分）若函数f(x)=13x3+A．（3，+∞） B．[0，3] C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，3）∪（3，+∞）8．（5分）元宵节是中国的传统节日之一，“元宵”作为食品，在我国也由来已久．宋代，民间即流行一种元宵节吃的新奇食品．这种食品，最早叫“浮元子”后称“元宵”．元宵即“汤圆”以白糖、玫瑰、芝麻、豆沙、黄桂、核桃仁、果仁、枣泥等为馅，用糯米粉包成圆形，可荤可素，风味各异，可汤煮、油炸、蒸食，有团圆美满之意．某商店有6种馅的汤圆，其中4种素的和2种荤的，美华随机取出两袋购买，事件A“取到的两袋同为荤或素”，事件B“取到的两袋都是素的”，则P（B|A）＝（）A．35 B．37 C．67二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知m，n∈N*且n≥m，则下列结论正确的是（）A．n！＝n（n﹣1）！ B．若Cn+1n−1=21，则C．Cn+1D．C（多选）10．（6分）若(4x−3)2024=a0+A．a0B．a0C．a1D．a（多选）11．（6分）关于函数f(x)=1A．若方程f（x）＝a+lnx有实根，则a＞0 B．x＝1是f（x）的极小值点 C．函数f（x）有且只有1个零点 D．g（x）＝f（x）+2x，则函数g（x）图象上的点到直线2x﹣y＝0的最短距离为5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）一批产品中次品率为5%，随机抽取一件，定义X=1，抽到次品0，抽到正品，则D（X）＝13．（5分）若5名学生报名参加数学、物理、化学3个培优小组，每人选报1组，则不同的报名方式有种．14．（5分）托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(Ai|B)=P(Ai)P(B|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝2lnx﹣x2+1．（1）求f（x）的最大值；（2）比较lnxx+1与x−116．（15分）已知(x−1（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中常数项，并指出该项是展开式的第几项．17．（15分）现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件A1，A2，A3分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”，（1）求P（Ai），i＝1，2，3，（2）若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率．（用分数作答）18．（17分）今年雷锋日，宏光中学高二（1）班选派6名学生去当雷锋志愿者，其中男生4人，女生2人，若从这6名学生中选出2人参加文明交通宣传，记X为抽取的2人中女生的人数．（1）求随机变量X的分布列；（2）求随机变量X的期望与方差．19．（17分）设f（x）＝xsinx+cosx，g（x）＝2x2+8．（1）求函数f（x）的图象在点P（π，f（π））处的切线方程；（2）令h（x）＝g（x）﹣8f（x），试判断h（x）在R上的零点个数，并加以证明．

2023-2024学年河北省张家口市尚义一中等校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）如表是离散型随机变量X的分布列，则常数m的值是（）X21222324Pm162m−113A．16 B．14 C．13【考点】离散型随机变量及其分布列．【答案】B【分析】根据题意，由分布列的性质可得m+1【解答】解：根据题意，由X的分布列，有m+16+2m−故选：B．2．（5分）若2名老师教4个班，每人教2个班的分配方案有（）A．3种 B．4种 C．6种 D．8种【考点】排列组合的综合应用．【答案】C【分析】根据题意任选两个班分给任一位教师即可，结合组合数运算求解．【解答】解：根据题意任选两个班给任一位教师即可，所以分配方案有C4故选：C．3．（5分）函数f(x)=sinx−1A．sinx−1x2 C．cosx−1x2【考点】基本初等函数的导数．【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数，结合导数的减法法则运算求解．【解答】解：由题意可得：f′(x)=cosx+1故选：D．4．（5分）某天要排语文、数学、体育、计算机、物理、化学六节课，上午四节下午两节，其中体育不排在上午第一节和下午第一节，那么这天课程表的不同排法共有（）A．120种 B．240种 C．360种 D．480种【考点】简单排列问题．【答案】D【分析】先排体育课，剩余课程全排列，结合排列数运算求解即可．【解答】解：由题意可知：体育课有4个位置可选，先排体育课，剩余课程全排列，所以这天课程表的不同排法共有A4故选：D．5．（5分）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如表，则该运动员所得环数的数学期望最接近（）命中环数678910概率0.10.150.250.30.2A．7环 B．8环 C．9环 D．10环【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】B【分析】根据题意求该运动员所得环数的数学期望，结合选项分析求解．【解答】解：设运动员所得环数为X，则该运动员所得环数的数学期望为E（X）＝6×0.1+7×0.15+8×0.25+9×0.3+10×0.2＝8.35，所以该运动员所得环数的数学期望最接近8环．故选：B．6．（5分）育红学校有A，B两家餐厅，李明同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6．则李明同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】C【分析】设“第1天去A餐厅用餐”为事件M，“第2天去A餐厅用餐”为事件N，根据题意可得P(M)，P(M)，P（N|M），【解答】解：设“第1天去A餐厅用餐”为事件M，“第2天去A餐厅用餐”为事件N，由题意得P(M)=P(M)=0.5，P（N|M）＝0.8，由全概率公式得P(N)=P(N|M)P(M)+P(N|M所以李明同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7．故选：C．7．（5分）若函数f(x)=13x3+A．（3，+∞） B．[0，3] C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，3）∪（3，+∞）【考点】由函数的极值求解函数或参数．【答案】C【分析】求导，分﹣a＜﹣3、﹣a＝﹣3和﹣a＞﹣3三种情况，讨论f（x）的单调性，进而可得极值点，结合题意分析判断．【解答】解：因为f（x）的定义域为R，且f′（x）＝x2+（a+3）x+3a＝（x+3）（x+a），令f′（x）＝0，可得x＝﹣3或x＝﹣a，若﹣a＜﹣3，即a＞3，当x＞﹣3或x＜﹣a时，f′（x）＞0；当﹣a＜x＜﹣3时，f′（x）＜0；可知f（x）在（﹣∞，﹣a），（﹣3，+∞）内单调递增，在（﹣a，﹣3）内单调递减，则f（x）在x＝﹣3处取到极小值，不合题意；若﹣a＝﹣3，即a＝3，则f′（x）＝（x+3）2≥0在定义域R内恒成立，可知f（x）在定义域R内单调递增，无极值，不合题意；若﹣a＞﹣3，即a＜3，当x＜﹣3或x＞﹣a时，f′（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣a时，f′（x）＜0；可知f（x）在（﹣∞，﹣3），（﹣a，+∞）内单调递增，在（﹣3，﹣a）内单调递减，则f（x）在x＝﹣3处取到极大值，符合题意；综上所述：实数a的取值范围是（﹣∞，3）．故选：C．8．（5分）元宵节是中国的传统节日之一，“元宵”作为食品，在我国也由来已久．宋代，民间即流行一种元宵节吃的新奇食品．这种食品，最早叫“浮元子”后称“元宵”．元宵即“汤圆”以白糖、玫瑰、芝麻、豆沙、黄桂、核桃仁、果仁、枣泥等为馅，用糯米粉包成圆形，可荤可素，风味各异，可汤煮、油炸、蒸食，有团圆美满之意．某商店有6种馅的汤圆，其中4种素的和2种荤的，美华随机取出两袋购买，事件A“取到的两袋同为荤或素”，事件B“取到的两袋都是素的”，则P（B|A）＝（）A．35 B．37 C．67【考点】条件概率．【答案】C【分析】根据题意结合组合数求P（A），P（AB），再根据条件概率公式运算求解．【解答】解：由题意可知：P(A)=C所以P(B|A)=P(AB)故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知m，n∈N*且n≥m，则下列结论正确的是（）A．n！＝n（n﹣1）！ B．若Cn+1n−1=21，则C．Cn+1D．C【考点】组合及组合数公式；排列及排列数公式．【答案】ABC【分析】对于A：根据阶乘的定义分析判断；对于B：根据组合数公式列式求解；对于C：根据组合数公式分析证明；对于D：举反例说明即可．【解答】解：因为m，n∈N*且n≥m，对于选项A：由阶乘的定义可知n!＝n（n﹣1）!，故A正确；对于选项B：因为Cn+1整理得n2+n﹣42＝0，解得n＝6或n＝﹣7（舍去），故B正确；对于选项C：因为C=n!即Cn+1m=对于选项D：例如m＝n＝1，则Cn+1可知Cn+1m+1≠(n+1)故选：ABC．（多选）10．（6分）若(4x−3)2024=a0+A．a0B．a0C．a1D．a【考点】二项式定理．【答案】BD【分析】对于选项A，令x＝0求解即可；对于选项B和C，令x＝1，﹣1得到两个方程相加相减求解即可；对于选项D，令x=1【解答】解：对于选项A，令x＝0可得(−3)2024=a对于选项B和C，令x＝1，﹣1可得1＝a0+a1+a2+a3+⋯+a2024，72024＝a0﹣a1+a2﹣a3+⋯+a2024，两式相加得1+72024＝2（a0+a2+a4+⋯+a2024），即a0+a两式相减得1﹣72024＝2（a1+a3+a5+⋯+a2023），即a1+a对于选项D，令x=12可得a0+a故选：BD．（多选）11．（6分）关于函数f(x)=1A．若方程f（x）＝a+lnx有实根，则a＞0 B．x＝1是f（x）的极小值点 C．函数f（x）有且只有1个零点 D．g（x）＝f（x）+2x，则函数g（x）图象上的点到直线2x﹣y＝0的最短距离为5【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的极值．【答案】ABD【分析】对于A：根据题意整理可得a=1x，x＞0，即可得结果；对于BC：求导，利用导数判断f（x）的单调性和最值，即可判断BC；对于D【解答】解：对于选项A：因为f(x)=1x+lnx=a+lnx因为y=1x在（0，+∞）内的值域为（0，+∞），可知a＞0，故对于选项BC：因为f(x)=1且f′(x)=−1当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，可知f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，可得f（x）≥f（1）＝1，所以x＝1是f（x）的极小值点，函数f（x）无零点，故B正确，C错误；对于选项D：因为g(x)=f(x)+2x=2x+1则g′(x)=2−1令g′(x)=2−1x2则g（1）＝3，则（1，3）到直线2x﹣y＝0的距离为d=|2−3|所以函数g（x）图象上的点到直线2x﹣y＝0的最短距离为55，故D故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）一批产品中次品率为5%，随机抽取一件，定义X=1，抽到次品0，抽到正品，则D（X）＝19【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】19400【分析】求出分布列，再根据数学期望与方差的公式求解即可．【解答】解：由题意P(X=1)=120，可得分布列：X10P1201920故E(X)=1×1D(X)=1故答案为：1940013．（5分）若5名学生报名参加数学、物理、化学3个培优小组，每人选报1组，则不同的报名方式有243种．【考点】排列组合的综合应用．【答案】243．【分析】根据题意可知：每人均有3个小组可以选择，结合分步乘法计数原理运算求解．【解答】解：根据题意可知：每人均有3个小组可以选择，由分步乘法计数原理可知不同的报名方式有3×3×3×3×3＝243种．故答案为：243．14．（5分）托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai【考点】条件概率；古典概型及其概率计算公式．【答案】25【分析】先分析求解设从小红取出2个球，其中红球的个数为i个的事件Ai的概率P（Ai），再分析小兰取出2个球，其中红球的个数为2个的事件的概率P（B|A0），P（B|A1），P（B|A2），结合题中公式运算求解．【解答】解：设小红取出2个球，其中红球的个数为i＝0，1，2个的事件为Ai，从小兰取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为B，由题意可得：P(A0)=P(A1)=P(A2)=则P(A所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为25故答案为：25四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝2lnx﹣x2+1．（1）求f（x）的最大值；（2）比较lnxx+1与x−1【考点】利用导数求解函数的最值．【答案】（1）0；（2）lnxx+1≤x−1【分析】（1）求导，根据导数求解函数的单调性，再求函数的最大值即可；（2）利用作差法，结合（1）的结论，即可得解．【解答】解：（1）由f（x）＝2lnx﹣x2+1（x＞0），得f′(x)=2令f'（x）＞0，则0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上单调递增；令f'（x）＜0，则x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝0，即f（x）的最大值为0．（2）lnxx+1由（1）知f（x）≤f（1）＝0，所以2lnx﹣x2+1≤0，所以lnxx+1−x−1故lnxx+1≤x−116．（15分）已知(x−1（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中常数项，并指出该项是展开式的第几项．【考点】二项式系数与二项式系数的和．【答案】（1）二项式系数最大的项为358x8【分析】（1）根据题意结合二项式系数求得n＝8，再根据二项展开式结合二项式系数的最值分析求解；（2）根据（1）中的展开式的通项，令8−43r=0【解答】解：（1）由题意可知：Cn0+即1+n+n(n−1)2=37，解得n可得展开式的通项为Tr+1因为n＝8为偶数，则n2所以展开式中二项式系数最大的项为T5（2）由（1）可知：展开式的通项为Tr+1令8−43r=0所以展开式中常数项为T717．（15分）现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件A1，A2，A3分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”，（1）求P（Ai），i＝1，2，3，（2）若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率．（用分数作答）【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】（1）P（A1）=12，P（A2）=13，P（A（2）746【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，直接求解即可；（2）根据全概率公式，求得P（B），再根据贝叶斯公式，求得P（A1|B）即可．【解答】解：（1）根据题意，P(A（2）根据题意可得P(B|A故P(B)=P(A则P(A故若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率为74618．（17分）今年雷锋日，宏光中学高二（1）班选派6名学生去当雷锋志愿者，其中男生4人，女生2人，若从这6名学生中选出2人参加文明交通宣传，记X为抽取的2人中女生的人数．（1）求随机变量X的分布列；（2）求随机变量X的期望与方差．【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【答案】（1）X的分布列为：X012P25815115（2）期望E(X)=23，方差【分析】（1）由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求相应的概率，即可得分布列；（2）根据（1）中的分布列，结合期望和方差的定义运算求解．【解答】解：（1）由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=C所以X的分布列为：X012P25815115（2）由（1）可得E(X)=0×2方差为D(X)=(0−19．（17分）设f（x）＝xsinx+cosx，g（x）＝2x2+8．（1）求函数f（x）的图象在点P（π，f（π））处的切线方程；（2）令h（x）＝g（x）﹣8f（x），试判断h（x）在R上的零点个数，并加以证明．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）πx+y+1＝0；（2）零点个数为3，证明见详解．【分析】（1）