2023-2024学年河南省安阳市龙安高级中学高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年河南省安阳市龙安高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知复数2−i1−iA．32+12i B．12−32i2．（5分）下列说法正确的是（）A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面一点，有无数条母线3．（5分）已知不同平面α，β，γ，不同直线m和n，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β C．若m⊥n，m⊥α，则n∥α D．若m∥α，n∥α，则m∥n4．（5分）端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件A＝“甲端午节吃甜粽子”，记事件B＝“乙端午节吃咸粽子”，且P(A)=23，P(B)=34，事件A与事件B相互独立，则PA．56 B．1112 C．345．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定6．（5分）已知点A（1，0），B（0，2），C（3，2），则AB→在ACA．(−12，12) B．(7．（5分）已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=5，BC=A．4π B．8π C．16π D．32π8．（5分）已知AB→=（cos23°，cos67°），BC→A．2 B．2 C．1 D．2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）（多选）9．（6分）已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=zB．若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等 C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 D．若z12+z22=0（多选）10．（6分）某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．图中x＝0.1 B．估计样本数据的第60百分位数约为85 C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取27名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取9人（多选）11．（6分）如图，已知点P在圆柱O1O的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，A1A，B1B为圆柱的两条母线，且A1A＝3，OA＝1，∠BOP＝60°，则（）A．PB⊥平面A1AP B．直线A1P与平面ABP所成的角的正切值为32C．直线A1P与直线AB所成的角的余弦值为34D．点A到平面A1BP的距离为3三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．（5分）复数6+5i与﹣3+4i分别表示向量OA→与OB→，则表示向量BA→13．（5分）甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=5π6，b=6，a2四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知向量a→，b→满足|a→（Ⅰ）若a→∥b→，求向量（Ⅱ）若（a→−b→）⊥b→，求a16．（15分）如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，△ABF是等边三角形，EF∥AD，且EF=12AD=2，M，N分别是AD（1）证明：平面NMF∥平面ECD；（2）若平面ABF⊥平面ABCD，求四棱锥E﹣ABCD的体积．17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB﹣csinC+（c﹣a）sinA＝0．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．18．（17分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为此次任务提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数；（Ⅱ）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x⃐，s12；n，y19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，利用公式x′=ax+by，y′=cx+dy，①（其中a，b，c，d为实数），将点P（x，y）的坐标变换为点P′（x′，y′），我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表abcd)唯一确定，我们将a（Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知P（3，1），按照二阶矩阵T=11−11)（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点P（x，y）绕原点O按逆时针旋转α角得到点P′（x′，y′）（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（Ⅲ）向量OP→=(x，y)（称为行向量形式），也可以写成OP→=xy)，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：x′y′)，则称x′y′)是二阶矩阵abc

2023-2024学年河南省安阳市龙安高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知复数2−i1−iA．32+12i B．12−32i【考点】复数的运算．【答案】A【分析】根据复数四则运算计算即可．【解答】解：2−i1−i故选：A．2．（5分）下列说法正确的是（）A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面一点，有无数条母线【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】C【分析】根据旋转体的定义，判断A的正误；旋转体的性质判断B的正误；圆台的定义判断C的正误；圆台母线的定义判断D的正误．【解答】解：如果以直角三角形的斜边旋转，不是圆锥，A不正确；夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是一个旋转体，平面与底面不平行，不是旋转体，不正确；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，符合根据圆台的定义，正确；通过圆台侧面一点，有无数条母线，显然不正确，因为只有一条母线．故选：C．3．（5分）已知不同平面α，β，γ，不同直线m和n，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β C．若m⊥n，m⊥α，则n∥α D．若m∥α，n∥α，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】A【分析】根据线面、面面位置关系有关的知识对选项进行分析，即可得出答案．【解答】解：对于A，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故A正确；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能垂直，平行，故B不正确；对于C，若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故C不正确；对于D，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行，异面，相交，故D不正确；故选：A．4．（5分）端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件A＝“甲端午节吃甜粽子”，记事件B＝“乙端午节吃咸粽子”，且P(A)=23，P(B)=34，事件A与事件B相互独立，则PA．56 B．1112 C．34【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】B【分析】依题意可得A、B相互独立，根据P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）计算可得．【解答】解：依题意P(A)=23，P(B)=34所以P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=2故选：B．5．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【考点】三角形的形状判断．【答案】B【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB＝sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA＝1，可得A=π2，由此可得△【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB＝asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB＝sinAsinA，即sin（B+C）＝sinAsinA，可得sinA＝1，故A=π故选：B．6．（5分）已知点A（1，0），B（0，2），C（3，2），则AB→在ACA．(−12，12) B．(【考点】平面向量的投影向量．【答案】C【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：A（1，0），B（0，2），C（3，2），则AB→=(−1，2)，故AB→⋅AC故AB→在AC→上的投影向量的坐标为：故选：C．7．（5分）已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=5，BC=A．4π B．8π C．16π D．32π【考点】球的体积和表面积．【答案】B【分析】因为PA⊥平面ABC，AB⊥AC，可以扩充为长方体，则底面对角线长为3，高为5，所以长方体体对角线长度为(3)2【解答】解：因为PA⊥平面ABC，AB⊥AC，可以扩充为长方体，则底面对角线长为3，高为5，所以长方体体对角线长度为(3)2则球的半径为2，所以球的表面积为4πR2＝8π．故选：B．8．（5分）已知AB→=（cos23°，cos67°），BC→A．2 B．2 C．1 D．2【考点】正弦定理；平面向量的坐标运算．【答案】D【分析】根据题意，利用BA→，BC→的坐标，可得BA→，BC→的模，由数量积公式，可得BA→⋅BC→【解答】解：根据题意，AB→=（cos23°，cos67°），则BA→由于，BC→=（2cos68°，2cos22°）＝2（cos68°，sin68°），则|则BA→⋅BC可得：cos∠B=BA则∠B＝135°，则S△ABC=12|BA→|•|BC→故选：D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）（多选）9．（6分）已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是（）A．若z1=zB．若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部相等 C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 D．若z12+z22=0【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】AC【分析】对于A，B可直接利用复数的性质进行判断；对于C，通过取模运算即可判定；对于D，取特殊值可判定．【解答】解：对于A，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以对于B，若z1+z2∈R，则z1与z2的虚部互为相反数，故B错误；对于C，若z1z2＝0，则|z1z2|＝|z1|•|z2|＝0，所以|z1|＝0或|z2|＝0，可得z1＝0或z2＝0，故C正确；对于D，取z1＝1，z2＝i，可得z12+故选：AC．（多选）10．（6分）某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．图中x＝0.1 B．估计样本数据的第60百分位数约为85 C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5 D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取27名成绩低于80分的学生，则成绩在[60，70）内的学生应抽取9人【考点】百分位数；分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量；平均数．【答案】BC【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为l计算判断A；利用频率分布直方图结合第p百分位数、平均数的意义计算判断BC；利用分层抽样求出抽取的人数作答．【解答】解：对于A，由图知10×（x+0.015+0.02+0.03+0.025）＝1，解得x＝0.01，故A错误；对于B，成绩在[50，80）内对应的频率为0.1+0.15+0.2＝0.45＜0.6，成绩在[50，90）内对应的频率为0.1+0.15+0.2+0.3＝0.75＞0.6，因此第60百分位数m位于区间[80，90）内，则m＝80+0.6−0.45所以估计样本数据的第60百分位数约为85，故B正确；对于C，平均数约为x=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25＝79.5，故C对于D，成绩低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15：0.2＝2：3：4，则应选取成绩在[60，70）内的学生人数为30×32+3+4=10故选：BC．（多选）11．（6分）如图，已知点P在圆柱O1O的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，A1A，B1B为圆柱的两条母线，且A1A＝3，OA＝1，∠BOP＝60°，则（）A．PB⊥平面A1AP B．直线A1P与平面ABP所成的角的正切值为32C．直线A1P与直线AB所成的角的余弦值为34D．点A到平面A1BP的距离为3【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【答案】ACD【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；利用等体积法求出点A到平面A1BP的距离，可判断D选项．【解答】解：对于A，由已知得AA1⊥平面ABP，PB⊂平面APB，所以AA1⊥PB，又因为AB是底面圆的直径，P在圆周上且异于A、B两点，所以BP⊥AP，又A1A∩AP＝A，AA1、AP⊂平面A1AP，所以PB⊥平面A1AP，故A正确；对于B，因为AA1⊥平面ABP，所以直线A1P与平面ABP所成的角为∠A1PA，因为∠BOP＝60°，则∠PAO=1所以PB=12AB=12×2=1故tan∠APA故直线A1P与平面ABP所成的角的正切值为3，故B错误；对于C，连接B1P，因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，故四边形AA1B1B为平行四边形，所以AB∥A1B1，所以直线A1P与直线AB所成的角为∠B1A1P或其补角，在△A1B1P中，A1B1所以cos∠B1A对于D，设点A到平面A1PB的距离为h，则VA−A1又S△APB=1所以13×3×h=1故选：ACD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．（5分）复数6+5i与﹣3+4i分别表示向量OA→与OB→，则表示向量BA→【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【答案】见试题解答内容【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出BA→【解答】解：∵复数6+5i与﹣3+4i分别对应向量OA→与OB∴BA→=OA→−OB→故答案为：9+i．13．（5分）甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】310【分析】先找到5个社团选两个分给两个人的个数为A52=【解答】解：总的样本点的个数为A52=故所求概率为620故答案为：31014．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=5π6，b=6，a2【考点】余弦定理；正弦定理．【答案】3．【分析】由题意及余弦定理可得ac的值，代入三角形的面积公式可得该三角形的面积．【解答】解：因为B=5π由余弦定理可得a2+c2＝b2+2accosB，所以36+2ac•（−32）＝23ac，解得ac＝4所以S△ABC=12acsinB=1故答案为：3．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知向量a→，b→满足|a→（Ⅰ）若a→∥b→，求向量（Ⅱ）若（a→−b→）⊥b→，求a【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的平行向量（共线向量）．【答案】（1）a→=（−455，8（2）54【分析】（Ⅰ）根据题意，设a→=tb→=（﹣t，2（Ⅱ）根据题意，由向量数量积的计算公式可得（a→−b→）•b→=a→【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若a→∥b→，且则设a→=tb→=（﹣又由|a→|＝4，则有|a→|2＝t2+4t2＝5t2＝16，解可得t＝±则a→=（−455，8（2）根据题意，b→=（﹣1，2）．则|b→若（a→−b→）⊥b→，则（a→−b→）•变形可得cosθ=5故a→与b→夹角θ的余弦值为16．（15分）如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，△ABF是等边三角形，EF∥AD，且EF=12AD=2，M，N分别是AD（1）证明：平面NMF∥平面ECD；（2）若平面ABF⊥平面ABCD，求四棱锥E﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）323【分析】（1）根据条件可以证明MF∥平面ECD，NF∥平面ECD，进而可以证明平面NMF∥平面ECD；（2）利用条件可以求出E到平面ABCD的距离，进而利用体积公式可以求出结果．【解答】解：（1）证明：因为EF∥AD，EF=12AD=2，M所以EF∥DM，且EF＝DM，所以四边形DEFM是平行四边形，从而MF∥DE．因为MF⊄平面ECD，DE⊂平面ECD，所以MF∥平面ECD．同理NF∥平面ECD，又MF∩NF＝F，所以平面NMF∥平面ECD．（2）设AB的中点为H，连接FH，则FH⊥AB．因为平面ABF⊥平面ABCD，平面ABF∩平面ABCD＝AB，FH⊂平面ABF，所以FH⊥平面ABCD，因为EF∥AD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，所以E到平面ABCD的距离为FH=23所以VE−ABCD17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB﹣csinC+（c﹣a）sinA＝0．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．【考点】三角形中的几何计算；利用正弦定理解三角形．【答案】（Ⅰ）B=π（Ⅱ）3．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知条件．结合余弦定理可求B的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：a2+c2＝ac+4，又a2+c2≥2ac，可得ac≤4，由三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB﹣csinC+（c﹣a）sinA＝0，由正弦定理得，b2﹣c2+ca﹣a2＝0，可得：c2﹣b2＝ac﹣a2，整理得：b2＝c2+a2﹣ac，∴由余弦定理可得：cosB=12，0＜B＜∴B=π（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b2＝c2+a2﹣ac，b＝2，可得c2+a2﹣ac＝4，又∴a2+c2≥2ac，所以ac≤4，当且仅当a＝c取等号．∴S△ABC=12acsin∴△ABC为正三角形时，Smax=318．（17分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为此次任务提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数；（Ⅱ）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和52，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x⃐，s12；n，y【考点】频率分布直方图的应用；平均数；方差；百分位数．【答案】（1）37.5；（2）平均数为38，方差为10．【分析】（Ⅰ）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（Ⅱ）由分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，再利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．【解答】解：（Ⅰ）设这m人的平均年龄为x，则x=设第80百分位数为a，由5×0.02+（40﹣a）×0.04＝0.2，解得a＝37.5；（Ⅱ）由频率分布直方图得各组