2023-2024学年河南省环际大联考计划高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年河南省环际大联考计划高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型Ⅰ：相关系数r为﹣0.96 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为﹣0.53 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.532．（5分）已知数列{an}满足a1＝5，an+1＝an+5，若an＝20，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）设函数f（x）＝sinx，则limx→0A．1 B．12 C．32 4．（5分）已知x，y之间的一组数据：x0123y2356则y与x的线性回归方程ŷ=bA．（2，2） B．（1.5，0） C．（1，2） D．（1.5，4）5．（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第3人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（）A．193 B．194 C．195 D．1966．（5分）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如（1101）2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20＝13，那么将二进制数11⋯1︸A．217﹣2 B．216﹣1 C．216﹣2 D．215﹣17．（5分）过点P（﹣1，3）且与曲线y＝3x2﹣4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程为（）A．2x+y+5＝0 B．2x﹣y﹣5＝0 C．2x﹣y+5＝0 D．2x+y﹣5＝08．（5分）某医院购买一台大型医疗机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（）A．12b＝a B．12b＝a（1+5‰）12 C．12b＝a（1+5‰） D．a＜12b＜a（1+5‰）12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列求导正确的是（）A．(ln10)′=110 B．（2x）′＝2xlnC．（ex）′＝ex D．（cosx）′＝sinx（多选）10．（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（）A．若Sn=2n2+1B．若Sn=7n−1C．若{an}是等差数列，则S13＝13a7 D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S（多选）11．（6分）已知某物体的运动方程为s（t）＝8t2+4（0≤t≤5），则（）A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是32 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是64 C．该物体位移的最大值为34 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是80三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是．13．（5分）在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17+a18+a19+a20的值是．14．（5分）观察如图的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第20行所有数的和是．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。15．（13分）随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：物理方向历史方向总计男生13a23女生72027总计bc50（1）计算a，b，c的值；（2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？附：x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（χ2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（15分）已知曲线y＝f（x）＝3x2﹣x，求：（1）y＝f（x）的导数；（2）曲线在点P（1，f（1））处的切线方程．17．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1＝2Sn+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{n+1an}的前n18．（17分）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示第x度x/cm0479111213作出这组数的散点图如图．（1）请根据散点图判断，y＝ax+b与y＝cx+d中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度（结果保留1位小数）附：b̂=参考数据：i=17i=17i=17i=17140285628319．（17分）已知数列{an}中，a1＝0，an+1＝2an+n，（n∈N*）．（1）求证：数列{an+1﹣an+1}是等比数列．（2）求数列{an}的通项．（3）若数列{an}的前n项和为Sn，试比较an+1与Sn的大小．

2023-2024学年河南省环际大联考计划高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型Ⅰ：相关系数r为﹣0.96 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81 C．模型Ⅲ：相关系数r为﹣0.53 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53【考点】样本相关系数；回归分析．【答案】A【分析】根据相关系数与拟合效果的关系即可求解．【解答】解：相关系数|r|越大，拟合效果越好．故选：A．2．（5分）已知数列{an}满足a1＝5，an+1＝an+5，若an＝20，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】数列递推式．【答案】B【分析】根据题中所给递推公式，判断出数列{an}是等差数列，进而求得通项公式，可得满足an＝20的n值．【解答】解：由an+1＝an+5，得an+1﹣an＝5，所以数列{an}为等差数列，且公差d＝5．所以an＝a1+（n﹣1）d＝5n，当an＝20时，5n＝20，解得n＝4．故选：B．3．（5分）设函数f（x）＝sinx，则limx→0A．1 B．12 C．32 【考点】极限及其运算．【答案】B【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的导数，求解即可．【解答】解：f（x）＝sinx，故可得f′（x）＝cosx，又limx→0故选：B．4．（5分）已知x，y之间的一组数据：x0123y2356则y与x的线性回归方程ŷ=bA．（2，2） B．（1.5，0） C．（1，2） D．（1.5，4）【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】D【分析】根据已知条件，结合回归直线方程经过样本中心，求出样本中心坐标，即可求解．【解答】解：∵x=0+1+2+34又∵回归直线方程经过样本中心，∴y与x的线性回归方程ŷ=b故选：D．5．（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第3人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（）A．193 B．194 C．195 D．196【考点】进行简单的合情推理．【答案】C【分析】由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+n(n−1)2=解得n＝195；∴一共有195人．故选：C．6．（5分）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如（1101）2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20＝13，那么将二进制数11⋯1︸A．217﹣2 B．216﹣1 C．216﹣2 D．215﹣1【考点】进位制．【答案】D【分析】根据题意利用等比数列求和公式直接计算得到答案．【解答】解：二进制数11⋯1︸15位转换成十进制数的形式是：故选：D．7．（5分）过点P（﹣1，3）且与曲线y＝3x2﹣4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程为（）A．2x+y+5＝0 B．2x﹣y﹣5＝0 C．2x﹣y+5＝0 D．2x+y﹣5＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】C【分析】根据导数几何意义，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求得结果．【解答】解：因为y＝3x2﹣4x+2，故y′＝6x﹣4，则y′|x＝1＝2，即所求直线斜率为2，则过点P（﹣1，3），斜率为2的直线方程为：y﹣3＝2（x+1），即2x﹣y+5＝0．故选：C．8．（5分）某医院购买一台大型医疗机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（）A．12b＝a B．12b＝a（1+5‰）12 C．12b＝a（1+5‰） D．a＜12b＜a（1+5‰）12【考点】数列的应用．【答案】D【分析】由题意可得b（1+1.005+1.0052+⋯+1.00511）＝a（1+0.005）12，结合放缩即可得解．【解答】解：b（1+1.005+1.0052+⋯+1.00511）＝a（1+0.005）12，由1+1.005+1.0052+⋯+1.00511＞12，故12b＜a（1+5‰）12，a=b(1+1.005+1.00由1+1.005+1.005故a＜12b，即有a＜12b＜a（1+5‰）12．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列求导正确的是（）A．(ln10)′=110 B．（2x）′＝2xlnC．（ex）′＝ex D．（cosx）′＝sinx【考点】基本初等函数的导数．【答案】BC【分析】根据导数运算法则，对每个选项进行逐一求解，即可判断和选择．【解答】解：对A：（ln10）′＝0，故A错误；对B：（2x）′＝2xln2，故B正确；对C：（ex）′＝ex，故C正确；对D：（cosx）′＝﹣sinx，故D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（）A．若Sn=2n2+1B．若Sn=7n−1C．若{an}是等差数列，则S13＝13a7 D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和；等比数列的性质．【答案】BC【分析】根据等差数列，等比数列的定义，以及其性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．【解答】解：对A：Sn=2n2+1，当n≥2时，Sn−1=2(n−1)又a1＝S1＝3，不满足上式，故an=4n−2，n≥23，n=1，故数列{a对B：Sn=7n−1，当n≥2时，S又a1＝S1＝6满足an=6⋅7n−1，故an=6⋅7n−1对C：{an}是等差数列，故S13=13(对D：{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，不妨取a1＝q＝1，故S1⋅S故选：BC．（多选）11．（6分）已知某物体的运动方程为s（t）＝8t2+4（0≤t≤5），则（）A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是32 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是64 C．该物体位移的最大值为34 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是80【考点】变化的快慢与变化率．【答案】ABD【分析】由平均速度的定义v=ΔsΔt代数计算可得A正确；由导数的意义计算可得BD【解答】解：A：该物体在1≤t≤3时的平均速度是s(3)−s(1)3−1=8×B：s′（t）＝16t，所以该物体在t＝4时的瞬时速度是16×4＝64，故B正确；C：因为s′（t）＝16t，0≤t≤5，所以s′（t）≥0恒成立，故s（t）在[0，5]上为增函数，所以s(t)max=s(5)=8×D：s′（t）＝16t，所以该物体在t＝5时的瞬时速度是s′（5）＝16×5＝80，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是y＝1.23x+0.08．【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】见试题解答内容【分析】运用样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可得出结论．【解答】解：设回归方程为y＝1.23x+b，∵样本中心点为（4，5），∴5＝4.92+b∴b＝0.08∴y＝1.23x+0.08．故答案为：y＝1.23x+0.08．13．（5分）在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17+a18+a19+a20的值是16．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【答案】见试题解答内容【分析】根据等比数列的性质可知，从第1项开始，每四项的和都成新等比数列，由S4＝1，S8﹣S4＝2，新等比数列的公比为2，首项为1，而所求的式子（a17+a18+a19+a20）为此新数列的第5项，根据等比数列的通项公式即可求出值．【解答】解：∵S4＝1，S8＝3，∴S8﹣S4＝2．而等比数列依次K项和为等比数列，则a17+a18+a19+a20＝（a1+a2+a3+a4）•25﹣1＝16．故答案为16．14．（5分）观察如图的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么第20行所有数的和是14859．【考点】归纳推理．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，第19行的最后一个数为192＝361，进而第20行的第一个数为362，又由第20行的最后一个数为202＝400，代入等差数列求和公式，可得答案．【解答】解：∵第n行最后一个数是n2，第19行的最后一个数为192＝361，进而第20行的第一个数为362，又由第20行的最后一个数为202＝400，又∵该数阵将正整数按从左向右，从上向下的顺序连续排列，且第20行共有400﹣362+1＝39个数，∴第20行所有数字之和是：（362+400）×39÷2＝762×39÷2＝14859，故答案为：14859四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。15．（13分）随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：物理方向历史方向总计男生13a23女生72027总计bc50（1）计算a，b，c的值；（2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？附：x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+P（χ2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】独立性检验．【答案】（1）a＝10，b＝20，c＝30；（2）有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关．【分析】（1）借助列联表数据计算即可得；（2）计算卡方，与3.841比较大小即可得．【解答】解：（1）由13+a＝23，得a＝10，由a+24＝c，得c＝10+20＝30，由b+c＝50，得b＝50﹣30＝20；（2）x2故有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关．16．（15分）已知曲线y＝f（x）＝3x2﹣x，求：（1）y＝f（x）的导数；（2）曲线在点P（1，f（1））处的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数的导数．【答案】（1）f′（x）＝6x﹣1；（2）5x﹣y﹣3＝0．【分析】（1）利用导数的定义，结合f（x）解析式，求解即可；（2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可．【解答】解：（1）Δy＝f（x+Δx）﹣f（x）＝3（x+Δx）2﹣（x+Δx）﹣（3x2﹣x）＝3（Δx）2+6xΔx﹣Δx，故ΔyΔx则f′（x）=limΔ→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔ→0故f′（x）＝6x﹣1．（2）切线的斜率为函数y＝f（x）＝3x2﹣x在x＝1处的导数，又f′（1）＝6×1﹣1＝5，f（1）＝2，所以曲线在点（1，2）的切线方程为y﹣2＝5（x﹣1），即5x﹣y﹣3＝0．17．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1＝2Sn+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{n+1an}的前n【考点】错位相减法．【答案】（1）an（2）Tn【分析】（1）根据递推公式，判定{an}为等比数列，结合等比数列的通项公式，直接写出即可；（2）根据（1）中所求an，利用错位相减法，结合等比数列的前n项和公式，求解即可．【解答】解：（1）因为Sn+1＝2Sn+1（n∈N*）所以，当n≥2时，Sn＝2Sn﹣1+1（n∈N*），两式相减得，an+1＝2an，即当n≥2时，an+1又当n＝1时，a2＝a1+1，而a1＝1，则a2所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an（2）由（1）得an=2则Tn12两式相减得：12即12所以，Tn18．（17分）习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示第x度x/cm0479111213作出这组数的散点图如图．（1）请根据散点图判断，y＝ax+b与y＝cx+d中哪一个更适宜作为幼苗高