2023-2024学年河南省开封市五校(杞县高中等)高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年河南省开封市五校（杞县高中等）高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．（5分）化简ME→A．MP→ B．MN→ C．NM→2．（5分）i2023﹣i2024＝（）A．1+2i B．1−2i C．﹣1﹣3．（5分）不等式（x﹣2）（1﹣2x）⩾0的解集为（）A．{x|x＞12} C．{x|x⩽12或x⩾2}4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2+x C．f（x）＝﹣|x| D．f(x)=−5．（5分）如图所示，在直角坐标系中，已知A（1，0），B（﹣1，2），C（﹣1，0），D（1，﹣2），则四边形ABCD的直观图面积为（）A．42 B．32 C．226．（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的一段图象过点（0，1），如图所示，则函数fA．f(x)=sin(2x+π6) C．f(x)=sin(2x+π3)7．（5分）若向量a→，b→的夹角是π3，a→是单位向量，|b→|＝2，c→=A．π6 B．π3 C．2π38．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC＝3，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．82π9 B．83π9 C．28π3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要（多选）9．（6分）已知复数z=2+3A．z的虚部为3 B．z是纯虚数 C．z的模是7 D．z在复平面内对应的点位于第四象限（多选）10．（6分）已知函数f(x)=3A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于点(π12C．|f（x）|为偶函数 D．f（|x|）是周期函数（多选）11．（6分）如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则（）A．AH→与CF→B．OA→C．AG→在AB→上的投影向量的模为D．PA→⋅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若f（x）＝ax2a+b+b是幂函数，则f（a+b）＝．13．（5分）已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OA→⋅OB→=OB→14．（5分）在三棱锥P﹣OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP＝10，AB＝20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB＝．（用角度表示）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，已知在正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝5，AB＝6．（1）求四棱锥S﹣ABCD的表面积；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．16．（15分）已知向量a→（1）若(a→−b→（2）若向量d→满足(a→+d17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2（1）求sinB和a的值；（2）求△ABC的面积．18．（17分）如图，在梯形ABCD中，|DA→|=2，∠CDA=π3，CB→=（1）若PE→=34DA（2）若|DC→|=t，当λ19．（17分）已知f(x)=log（1）求a的值；（2）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）若锐角α满足f（﹣cosα）＝f（tanα），证明：cos2α+cos4α＝1．

2023-2024学年河南省开封市五校（杞县高中等）高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．（5分）化简ME→A．MP→ B．MN→ C．NM→【考点】平面向量的加减混合运算；平面向量的加法．【答案】A【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解．【解答】解：ME→=NP故选：A．2．（5分）i2023﹣i2024＝（）A．1+2i B．1−2i C．﹣1﹣【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】C【分析】利用i2＝﹣1和幂的运算性质计算可得结果【解答】解：i2023﹣i2024＝i2022•i﹣i2024＝（i2）1011•i﹣（i2）1012＝（﹣1）1011•i﹣（﹣1）1012＝﹣i﹣1．故选：C．3．（5分）不等式（x﹣2）（1﹣2x）⩾0的解集为（）A．{x|x＞12} C．{x|x⩽12或x⩾2}【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法求解．【解答】解：不等式（x﹣2）（1﹣2x）⩾0可化为（x﹣2）（2x﹣1）⩽0，所以12故原不等式的解集为{x|1故选：B．4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2+x C．f（x）＝﹣|x| D．f(x)=−【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【答案】B【分析】根据基本函数的解析式直接判断单调性即可．【解答】解：对于A，f（x）＝3﹣x是单调递减函数，故A不正确；对于B，f(x)=x2+x=(x+12)对于C，当x＞0时，f（x）＝﹣|x|＝﹣x，函数单调递减，故C不正确；对于D，f(x)=−3x−1，由所以f(x)=−3x−1在区间（0，1）和（1，+∞）上单调递增，故故选：B．5．（5分）如图所示，在直角坐标系中，已知A（1，0），B（﹣1，2），C（﹣1，0），D（1，﹣2），则四边形ABCD的直观图面积为（）A．42 B．32 C．22【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【答案】D【分析】根据题意，由A、B、C、D的坐标可得四边形ABCD是平行四边形，进而求出其面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案．【解答】解：依题意，由于A（1，0），B（﹣1，2），C（﹣1，0），D（1，﹣2），则四边形ABCD是平行四边形，AC＝BC＝2，BC∥AD，且AD与BC之间的距离d＝2，则▱ABCD的面积S＝2×2＝4，则四边形ABCD的直观图面积S′=24S故选：D．6．（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的一段图象过点（0，1），如图所示，则函数fA．f(x)=sin(2x+π6) C．f(x)=sin(2x+π3)【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】D【分析】通过三个连续零点的值可以求出函数f（x）的周期，根据最小正周期公式可以求出ω的值，将特殊点代入解析式中，可以求出φ，A的值，进而确定函数解析式．【解答】解：由图知，T＝π，则ω=2π由图知，f（x）在x=π6取得最大值，且图象经过故f(−π所以−π6+φ=2kπ，k∈Z又因为|φ|＜π2，所以函数又经过（0，1），故f(0)=Asinπ6=1所以函数f（x）的表达式为f(x)=2sin(2x+π故选：D．7．（5分）若向量a→，b→的夹角是π3，a→是单位向量，|b→|＝2，c→=A．π6 B．π3 C．2π3【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】A【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：设向量c→与b→的夹角为θ，θ∈[0，向量a→，b→的夹角是π3，a则a→c→=2则c→2=4c→故cosθ=c→⋅故选：A．8．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC＝3，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．82π9 B．83π9 C．28π3【考点】球的体积和表面积．【答案】C【分析】取BD的中点E，设△ABD和△BCD的外接圆的圆心P，G分别在AE，CE上，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，可得O为三棱锥的外接球的球心，且可得∠OEC＝60°，由等边三角形的边长为2，可得EG，G及OG的值，进而求出外接球的半径OC的值，再求出外接球的表面积．【解答】解：由题意如图所示：设E为BD的中点，连接AE，CE，设P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，则可得O为该三棱锥的外接球的球心，连接OC，OE，则OC为外接球的半径，由△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，则AE=CE=又AC＝3，则由余弦定理可得cos∠AEC=A所以∠AEC＝120°，因为P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，所以CG=23CE=可得△OPE≅△OGE，可得∠OEC＝60°，而∠OGE＝90°，所以OG=3在△OGC中：R2所以外接球的表面积S=4πR故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要（多选）9．（6分）已知复数z=2+3A．z的虚部为3 B．z是纯虚数 C．z的模是7 D．z在复平面内对应的点位于第四象限【考点】复数的运算；虚数单位i、复数；纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．【答案】AC【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．【解答】解：对A：由虚部定义知z的虚部为3，故A正确；对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；对C：|z|=22+(对D：z在复平面内对应的点为(2，3)，位于第一象限，故故选：AC．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=3A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于点(π12C．|f（x）|为偶函数 D．f（|x|）是周期函数【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的周期性．【答案】BCD【分析】求出f（x）的最小正周期可判断A；f(π12)≠0可判断B；由|f(π6)|≠|f(−π6)|【解答】解：对于A，f（x）的最小正周期为T=2π2=π对于B，f(π12)=对于C，|f(−π|f(π6)|=|故|f（x）|不为偶函数，故C错误；对于D，显然f（|x|）的图象关于y轴对称，如下图，结合正弦型函数的周期性，可知f（|x|）在y轴的一侧是周期函数，而在R上不是周期函数，故D错误．故选：BCD．（多选）11．（6分）如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则（）A．AH→与CF→B．OA→C．AG→在AB→上的投影向量的模为D．PA→⋅【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量的基本定理．【答案】AD【分析】连接AF，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到AH→与CF→平行，即可判断A；根据平面向量加法法则计算判断B；利用投影向量公式进行计算判断C；利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到PA→【解答】解：∵正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，对于A选项：连接AF，∵∠AOB＝45°，∴∠OAB=180°−45°∵∠AOF＝3×45°＝135°，∴∠OAF=180°−135°∴∠BAF＝67.5°+22.5°＝90°，以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建系如图，则A(0，0)，B(1，0)，H(−2∴AH→∴−2∴AH→∥CF→，∴AH→与CF对于B选项：∵O(12，∴OA→OC→OB→∴OA→+OC对于C选项：∵G(−22，22∴AG→=(−2∴AG→⋅AB∴AG→在AB→向量上的投影向量的模长为|AG对于D选项：取AB的中点M，则PA→+PB∴(PA→+两式相减得：PA→当点P与点E或F重合时，PM→2最大，最大值为∴PA→⋅PB当点P与点M重合时，PM→2最小为0，∴PA→⋅PB故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若f（x）＝ax2a+b+b是幂函数，则f（a+b）＝1．【考点】由幂函数的解析式求解参数．【答案】1．【分析】根据题意，由幂函数的系数为1，常数项为0，即可得a＝1，b＝0，代入计算即可求得结果．【解答】解：根据f（x）＝ax2a+b+b是幂函数，及幂函数定义，可知a＝1，b＝0，所以f（x）＝x2，所以f（a+b）＝f（1）＝12＝1．故答案为：1．13．（5分）已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OA→⋅OB→=OB→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】见试题解答内容【分析】由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成OB→⋅CA→=0，即得OB【解答】解：因为OA→⋅OB→=OB→⋅OC→⇔OB→故答案为：垂．14．（5分）在三棱锥P﹣OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP＝10，AB＝20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB＝90°．（用角度表示）【考点】直线与平面所成的角．【答案】90°．【分析】根据线面角的定义，结合题设条件即可求得．【解答】解：因为PO⊥平面OAB，所以PA在平面OAB上的投影为OA，所以PA与平面OAB所成的角的平面角为∠PAO，所以△AOP是直角三角形，∠PAO＝30°，又OP＝10，所以OA=OP因为PO⊥平面OAB，所以PB在平面OAB上的投影为OB，所以PB与平面OAB所成的角的平面角为∠PBO，所以△BOP是直角三角形，∠PBO＝45°，又OP＝10，所以OB＝10，又AB＝20，所以在△AOB中，AB2＝OA2+OB2，所以∠AOB＝90°．故答案为：90°．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，已知在正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝5，AB＝6．（1）求四棱锥S﹣ABCD的表面积；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】（1）84；（2）127【分析】（1）根据表面积公式即可求解；（2）根据体积公式即可求解．【解答】解：（1）连接AC，BD相交于O，连接SO，过点S作SE⊥BC于点E，连接OE，则SE是斜高，在直角三角形SOB中，SO=S在直角三角形SOE中，SE=SS△BCSS表所以正四棱锥S﹣ABCD的表面积为84．（2）V=1所以正四棱锥S﹣ABCD的体积为12716．（15分）已知向量a→（1）若(a→−b→（2）若向量d→满足(a→+d【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（1）m=−1（2）d→【分析】（1）先根据a→，b→的坐标，得到a→（2）设d→=(x，y)，由【解答】解：（1）由a→得c→所以a→由(a→−解得m=−1（2）若向量d→满足(a→设d→所以(a→+由(a→+d→)⋅(c→−d→)=−d→2，得﹣x所以4x+2y+3＝0①，由d→⊥(a→+b→)，得d→⋅(a由①②得x=−3故d→17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2（1）求sinB和a的值；（2）求△ABC的面积．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出sinC，结合正、余弦定理计算即可求解；（2）由（1），结合三角形的面积公式计算即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，由cosC=−33，可得又由csinC=bsinB及由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，得3a由a＞0，解得a=6所以sinB=3（2）由（1）知，a=6所以△ABC的面积S△ABC18．（17分）如图，在梯形ABCD中，|DA→|=2，∠CDA=π3，CB→=（1）若PE→=34DA（2）若|DC→|=t，当λ【考点】平面向量的基本定理．【答案】（1）P在线段DC上靠近D点的四等分点处；（2）λ=1【分析】（1）结合图形，先证得四边形ABCF是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点P在线段DC上的位置；（2）结合（1）中的结论，得到PE→关于λ的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到PE→2关于λ的二次表达式，从而可求得|【解答】解：（1）过C作CF∥AB交AD于F，如图所示：因为CB→=12DA→，所以DA∥则四边形ABCF是平行四边形，故DA＝2BC＝2AF，即F是AD的中点，所以BE→因为DP→=λDC所以PE→又因为PE→所以12−λ=1所以P在线段DC上