2023-2024学年河南省南阳市六校高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＜4）＝0.6，则P（2＜ξ＜3）＝（）A．0.05 B．0.1 C．0.3 D．0.42．（5分）如图，△ABC，△CBD，△DBE，△EBF，…均为直角三角形，A，C，D，E，…为直角顶点，∠ABC＝∠CBD＝∠DBE＝∠EBF＝…＝60°，且AB＝1，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{an}，则a10＝（）A． B． C． D．3．（5分）已知函数f（x）＝aex﹣f（1）x，且f'（1）＝e，则实数a＝（）A．1 B．2 C．e D．2e4．（5分）已知{an}是正项等比数列，若成等差数列，则log8a10﹣log8a1＝（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）已知i为虚数单位，则的展开式中x2的系数为（）A．﹣10 B．10 C．﹣15 D．156．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an+2＝an+1+an，设，则数列{bn}的前2024项和为（）A．674 B．673 C．﹣673 D．﹣6747．（5分）已知函数若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣2，﹣1） C． D．（﹣2，1）8．（5分）已知双曲线，如图，过C的右焦点F作直线与C的两条渐近线分别交于点P，Q，与y轴交于点T，若FP⊥OP，且，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有3个孩子，用A表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用B表示事件“该家庭中最多有1个女孩”，则（）A． B． C． D．A与B相互独立（多选）10．（6分）已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2+3n+b，则下列说法中正确的是（）A．{an}一定为等差数列 B．{an}可能为等比数列 C．若k＞0，则{an}一定为递增数列 D．若，则存在m∈N*，使得am＝0（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝2eax﹣x，若不等式f（f（x））＜x恰有一个整数解，则实数a的取值不可能是（）A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）将4个不同的小球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为．13．（5分）已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣2x+4y+4＝0上运动，则的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）在定义域（﹣，）上为偶函数，并且x≥0时，f′（x）≥f（x）tanx，若f（）＝2，则不等式f（x）＜的解集为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，，λ∈[0，1]．（1）若BE⊥PC，求λ；（2）若λ＝，求直线BE与平面APC所成角的正弦值．16．（15分）扬子鳄是中国特有的一种小型鳄类，是国家一级重点保护野生动物，活动区域主要在长江下游流域．研究人员为了解扬子鳄的生长发育情况，随机抽取了6只扬子鳄，测量它们的头长x（单位：cm）与体长y（单位：cm），得到如下数据：样本编号i123456头长xi1515.315.316.616.817体长yi125128130138142153并计算得．（1）求这6只扬子鳄的平均头长与平均体长；（2）求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到0.01）（3）已知x与y可以用模型y＝bx﹣40进行拟合，若某只扬子鳄的头长为20cm，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长．附：相关系数．17．（15分）已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2时，an﹣an﹣1＝2n﹣1．（1）求{an}的通项公式；（2）设Sn为数列的前n项和，证明：Sn＜2．参考结论：当n≥4时，n2≤2n．18．（17分）已知函数f（x）＝（x2+a）cosx，其中a≥2．（1）讨论f（x）在区间上的单调性；（2）若a＝2，函数g（x）＝f（x）﹣kx2在区间内存在唯一的极值点，求实数k的取值范围．19．（17分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到直线l：y＝x﹣4的距离为为直线l上的动点，过点P作直线l1，l2分别与C相切于点M，N．（1）求C的方程；（2）证明：直线MN过定点；（3）若直线l1，l2分别交x轴于点A，B，求|AB|的最小值．

2023-2024学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＜4）＝0.6，则P（2＜ξ＜3）＝（）A．0.05 B．0.1 C．0.3 D．0.4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】B【分析】根据正态分布曲线的对称性可解．【解答】解：根据正态分布的基本性质可知，随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），则该正态分布曲线的对称轴为μ＝3，则P（2＜ξ＜3）＝P（3＜ξ＜4）＝P（ξ＜4）﹣P（ξ＜3）＝0.6﹣0.5＝0.1．故选：B．2．（5分）如图，△ABC，△CBD，△DBE，△EBF，…均为直角三角形，A，C，D，E，…为直角顶点，∠ABC＝∠CBD＝∠DBE＝∠EBF＝…＝60°，且AB＝1，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{an}，则a10＝（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【答案】C【分析】由三角形的相似推得这些直角三角形是相似的，且相似比为2，由直角三角形的性质和等比数列的定义、通项公式，可得所求值．【解答】解：根据题意，A，C，D，E，…为直角顶点，∠ABC＝∠CBD＝∠DBE＝∠EBF＝…＝60°，可得这些直角三角形是相似的，由AB＝1，BC＝2，可得相邻两个三角形的相似比为，从而这些三角形的周长从小到大组成的数列{an}是等比数列，公比q＝2，首项为△ABC的周长，即为1+2+＝，因此．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）＝aex﹣f（1）x，且f'（1）＝e，则实数a＝（）A．1 B．2 C．e D．2e【考点】简单复合函数的导数．【答案】B【分析】先求出f（1），再结合函数求导，即可求解．【解答】解：f（x）＝aex﹣f（1）x，则f（1）＝ae﹣f（1），所以，故，又，所以a＝2．故选：B．4．（5分）已知{an}是正项等比数列，若成等差数列，则log8a10﹣log8a1＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列与等比数列的综合．【答案】D【分析】设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由已知列式求解q，再由对数的运算性质求解．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由成等差数列，得4a1+3a2＝a3，即，又a1＞0，∴q2﹣3q﹣4＝0，解得q＝4（负值舍去）．∴log8a10﹣log8a1＝＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知i为虚数单位，则的展开式中x2的系数为（）A．﹣10 B．10 C．﹣15 D．15【考点】二项式定理的应用．【答案】C【分析】利用二项展开式的通项公式列式计算可得答案．【解答】解：的展开式的通项，r＝0，1，2，…，6．当6﹣2r＝2时，r＝2，因此x2的系数为＝﹣15．故选：C．6．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an+2＝an+1+an，设，则数列{bn}的前2024项和为（）A．674 B．673 C．﹣673 D．﹣674【考点】数列的求和．【答案】D【分析】根据数列递推关系式归纳可得数列{bn}的各项依次为﹣1，1，﹣1，﹣1，1，﹣1，⋯，以3为周期，且相邻3项之和为﹣1，从而可得解．【解答】解：因为奇数与奇数之和为偶数，奇数与偶数之和为奇数，所以数列{an}的各项的奇偶情况依次为奇、偶、奇、奇、偶、奇⋯⋯，所以数列{bn}的各项依次为﹣1，1，﹣1，﹣1，1，﹣1，⋯，以3为周期，且相邻3项之和为﹣1，因为2024＝3×674+2，所以数列{bn}的前2024项和为﹣1×674﹣1+1＝﹣674．故选：D．7．（5分）已知函数若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣2，﹣1） C． D．（﹣2，1）【考点】分段函数的应用．【答案】A【分析】分x＝0，x＜0，x＞0三种情况讨论，利用求最值法即可求解a的取值范围．【解答】解：当x＝0时，f（0）＝1＞0．当x＜0时，f（x）＝x2﹣ax+1＞0恒成立等价于恒成立，因为当x＜0时，，所以a＞﹣2．当x＞0时，f（x）＞0恒成立等价于a＜xlnx+x恒成立．记g（x）＝xlnx+x，则g'（x）＝lnx+2，g'（x）在区间（0，+∞）上为增函数，并且零点为，所以当x∈（0，）时，g'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，因此，所以．综上，．故选：A．8．（5分）已知双曲线，如图，过C的右焦点F作直线与C的两条渐近线分别交于点P，Q，与y轴交于点T，若FP⊥OP，且，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】求双曲线的离心率．【答案】B【分析】根据题意及双曲线渐近线的性质，得|PF|＝b，|OP|＝a，从而可得|TP|，|QT|，设∠TOP＝∠TOQ＝θ，则，可得tan2θ，在△OPQ中，tan2θ＝，进而可得a，b的方程，解方程结合离心率公式可求解．【解答】解：根据题意及双曲线渐近线的性质，可知在Rt△OPF中，|PF|＝b，|OP|＝a，由三角形相似可知|OP|2＝|TP|•|PF|，因此，因为，所以，设∠TOP＝∠TOQ＝θ，则，因此，又，所以，整理得3b4﹣a2b2﹣2a4＝4a2b2，即（b2﹣2a2）（3b2+a2）＝0，解得b2＝2a2，故离心率．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有3个孩子，用A表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用B表示事件“该家庭中最多有1个女孩”，则（）A． B． C． D．A与B相互独立【考点】求解条件概率．【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：，故A正确，，所以，故B错误，C正确．因为，所以A与B相互独立，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2+3n+b，则下列说法中正确的是（）A．{an}一定为等差数列 B．{an}可能为等比数列 C．若k＞0，则{an}一定为递增数列 D．若，则存在m∈N*，使得am＝0【考点】等差数列的概念与判定；等比数列的概念与判定；数列的单调性．【答案】BD【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和的性质，依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，根据等差数列的求和公式，只有当b＝0时，{an}才是等差数列，故A错误；对于B，当k＝b＝0时，Sn＝3n，an＝3，满足要求，故B正确；对于C，若k＝1，b＝3，则，所以a1＞a2，故C错误；对于D，若，函数的图象关于直线对称，因此S4＝S5，从而a5＝0，故D正确．故选：BD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝2eax﹣x，若不等式f（f（x））＜x恰有一个整数解，则实数a的取值不可能是（）A． B． C． D．【考点】利用导数求解函数的最值．【答案】BCD【分析】将已知不等式转化为aeax＜ax，若a＜0，不符合题意，若a＞0，将不等式进一步转化为恰有一个整数解，记，对g（x）求导，可得函数的单调区间，从而可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：因为f（f（x））﹣x＝2eaf（x）﹣f（x）﹣x＝2eaf（x）﹣2eax，所以f（f（x））＜x⇔eaf（x）＜eax⇔af（x）＜ax，即aeax＜ax．若a＜0，不等式化为eax＞x，此不等式对任意x≤0恒成立，不符合条件．若a＞0，不等式化为eax＜x，即恰有一个整数解．记，则，可得在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，并且，因此恰有一个整数解时，，实数a的取值不可能是B，C，D．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）将4个不同的小球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为36．【考点】排列组合的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用挡板法把4个小球分成3组，方法有种，然后再把这3组小球全排列，方法有种，再根据分步计数原理求得所有的不同放法的种数．【解答】解：在4个小球之间插入2个挡板，即可把4个小球分成3组，方法有＝6种．然后再把这3组小球全排列，方法有＝6种．再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有6×6＝36种，故答案为36．13．（5分）已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣2x+4y+4＝0上运动，则的最小值是．【考点】点与圆的位置关系．【答案】．【分析】令＝m，则x﹣my＝0表示直线，由圆心到该直线的距离满足，求得m的范围，可得m的最小值．【解答】解：由x2+y2﹣2x+4y+4＝0得（x﹣1）2+（y+2）2＝1，表示以（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆．令，则x﹣my＝0表示直线，从而圆心到该直线的距离满足，两边平方整理得3m2+4m≤0，解得，即的最小值为．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）在定义域（﹣，）上为偶函数，并且x≥0时，f′（x）≥f（x）tanx，若f（）＝2，则不等式f（x）＜的解集为（﹣，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】（﹣，）．【分析】求出函数F（x）＝f（x）cosx在[0，）上递增，且是偶函数，问题转化为F（x）＜F（），即|x|＜，解得x的范围即可．【解答】解：f′（x）≥f（x）tanx＝f（x），故cosxf′（x）≥f（x）sinx，即cosxf′（x）+f（x）（cosx）′≥0，故（f（x）cosx）′≥0，故函数F（x）＝f（x）cosx在[0，）上递增，又函数f（x）在（﹣，）上是偶函数，故F（x）在（﹣，）上是偶函数，并且在区间（﹣，0]上是减函数，∵f（）＝2，故F（）＝1，同时f（x）＜即f（x）cosx＜1，即F（x）＜F（），即|x|＜，解得：x∈（﹣，），故答案为：（﹣，）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，，λ∈[0，1]．（1）若BE⊥PC，求λ；（2）若λ＝，求直线BE与平面APC所成角的正弦值．【考点】几何法求解直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）根据题意，可得BE⊥平面APC，所以BE⊥AC，可得λ的值；（2）利用空间向量法求直线BE与平面APC所成角的正弦值．【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以BE⊥PA．因为BE⊥PC，且PA∩PC＝P，所以BE⊥平面APC．所以BE⊥AC．因为四边形ABCD是正方形，所以BE与BD重合，所以λ＝0．（2）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设为平面APC的法向量，则即令x＝1，可得．设θ为直线BE与平面APC所成的角，则，即直线BE与平面APC所成角的正弦值为．16．（15分）扬子鳄是中国特有的一种小型鳄类，是国家一级重点保护野生动物，活动区域主要在长江下游流域．研究人员为了解扬子鳄的生长发育情况，随机抽取了6只扬子鳄，测量它们的头长x（单位：cm）与体长y（单位：cm），得到如下数据：样本编号i123456头长xi1515.315.316.616.817体长yi125128130138142153并计算得．（1）求这6只扬子鳄的平均头长与平均体长；（2）求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到0.01）（3）已知x与y可以用模型y＝bx﹣40进行拟合，若某只扬子鳄的头长为20cm，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长．附：相关系数．【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】（1）16；136；（2）0.94；（3）180．【分析】（1）利用数据求平均值即可；（2）利用，代入公式求相关系数即可；（3）利用线性回归方程过样本中心，故将（16，136）代入即可求b，再令x＝20，即可求解．【解答】解：（1）平均头长为，平均体长为；（2）∵，∴；（3）由题意知．∴，∴＝11x﹣40，令x＝20，得y＝180，因此估计这只扬子鳄的体长为180cm．17．（15分）已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2时，an﹣an﹣1＝2n﹣1．（1）求{an}的通项公式；（2）设Sn为数列的前n项和，证明：Sn＜2．参考结论：当n≥4时，n2≤2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝n2；（2）证明见解答．【分析】（1）由数列恒等式和等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式；（2）首先推得当n＝1，2，3时，Sn＜2；再由当n≥4时，n2≤2n，运用不等式的性质和等比数列的求和公式，可得证明．【解答】解：（1）当n≥2时，an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝1+3+5+...+（2n﹣1）＝n（1+2n﹣1）＝n2．又，因此{an}的通项公式为．（2）证明：由（1）知，因此．因为，所以当n＝1，2，3时，Sn＜2．因为当n≥4时，n2≤2n，所以，此时．综上，Sn＜2．18．（17分）已知函数f（x）＝（x2+a）cosx，其中a≥2．（1）讨论f（x）在区间上的单调性；（2）若a＝2，函数g（x）＝f（x）﹣kx2在区间内存在唯一的极值点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值．【答案】（1）f（x）在上单调递减；（2）．【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；（2）先对g（x）求导，结合导数与单调性分析g（x）的单调性，结合函数性质与零点存在定理即可求解．【解答】解：（1）f'（x）＝2xcosx﹣（x2+a）sinx．设φ（x）＝f'（x），则φ'（x）＝（2﹣a）cosx﹣4xsinx﹣x2cosx，因为a≥2，当时，φ'（x）＜0，所以φ（x）在上单调递减，即f′（x）在上单调递减，所以f'（x）＜f'（0）＝0，因此f（x）在上单调递减．（2）g'（x）＝2xcosx﹣（x2+2）sinx﹣2kx，若k≥0，g'（x）＜0在上恒成立，g（x）在内无极值点，不符合题意．若k＜0，设u（x）＝g'（x），则u'（x）＝﹣4xsinx﹣x2cosx﹣2k，且u