2023-2024学年河南省三门峡市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年河南省三门峡市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.72．（5分）样本数据16，14，10，24，20，30，12，14，40的上四分位数为（）A．10 B．12 C．14 D．243．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A． B． C． D．4．（5分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝35．（5分）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（）A．48π B．56π C．64π D．72π7．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是AB，AD的中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为（）A． B． C． D．8．（5分）对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n（Ω）＝60，n（A）＝30，n（B）＝10，n（C）＝20，n（D）＝30，n（A∪B）＝40，n（A∩C）＝10，n（A∪D）＝60，则（）A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（）A．z2 B．|z2| C． D．（多选）10．（6分）2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番，为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：则下面结论中正确的是（）A．新农村建设后，种植收入比例减少了23% B．新农村建设后，其他收入增加1% C．新农村建设后，养殖收入持平 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半（多选）11．（6分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若a＝1，且sinA﹣bsinB＝（c+b）sinC，则（）A． B．△ABC面积的最大值为 C． D．BC边上的高的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，．则谜题被破解的概率为．13．（5分）已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为．14．（5分）已知在上的投影向量为，则的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．16．（15分）某大学为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为2﹣10分）．根据打分结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅满意指数在[2，4）中有30人．（1）求B餐厅满意指数频率分布直方图中a，b的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计A餐厅满意指数和B餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；参考公式：，其中为x1，x2，⋯，xn的平均数，p1，p2，⋯，pn分别为x1，x2，⋯，xn对应的频率．（3）如果一名新来同学打算从A，B两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径长为R；已知，且．（1）求B；（2）若R＝1，，求△ABC的周长．18．（17分）如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D﹣PN﹣C的正切值为2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）证明：DM⊥PC；（3）求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．19．（17分）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，迬胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为m获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．

2023-2024学年河南省三门峡市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【考点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15＝0.4．故选：B．2．（5分）样本数据16，14，10，24，20，30，12，14，40的上四分位数为（）A．10 B．12 C．14 D．24【考点】百分位数．【答案】D【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．【解答】解：样本数据从小到大排列：10，12，14，14，16，20，24，30，40，因为9×75%＝6.75，所以样本数据的上四分位数为第7个数，即为24．故选：D．3．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【答案】C【分析】由A1B∥D1C，得异面直线A1D与D1C所成的角为∠BA1D，由△BA1D为等边三角形，即可求出异面直线A1D与D1C所成的角．【解答】解：如图，连接A1B，BD，由正方体的结构特征可知，A1B∥D1C，∴异面直线直线A1B与B1C所成的角为∠BA1D，∵△BA1D为等边三角形，∴∠BA1D＝．故选：C．4．（5分）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3【考点】虚数单位i、复数．【答案】B【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，故选：B．5．（5分）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量的加减混合运算．【答案】C【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：对于（1），故（1）正确；对于（2），故（2）错误；对于（3），故（3）正确；对于（4），故（4）错误；对于（5），故（5）正确．故选：C．6．（5分）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（）A．48π B．56π C．64π D．72π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【答案】B【分析】根据题意易得陀螺的外接球半径R＝4，球心为圆柱的中心，再利用球的几何性质，分别求出圆柱与圆锥的高，最后根据体积公式，即可求解．【解答】解：根据题意易得陀螺的外接球半径R＝4，球心为圆柱的中心，又圆柱的底面半径r＝，∴球心到圆柱底面距离d＝＝2，∴圆柱的高为2d＝4，圆锥的高为R﹣d＝2，∴该陀螺的体积为＝＝56π．故选：B．7．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是AB，AD的中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为（）A． B． C． D．【考点】平面的基本性质及推论．【答案】A【分析】根据平面的基本性质及推论进行分析求解即可．【解答】解：延长NM，CB相交于点H，连接C1H交BB1于点G，连接MG，因为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是AB，AD的中点，所以，BH＝AN，CC1＝6，因为ΔHBG～ΔHCC1，，故BG＝2，在DD1上取点Q，连接NQ，CQ，则，同理可知GQ＝NH，所以四边形GQNH为平行四边形，故G，H，N，Q四点共面，则平面MNC1截该四棱柱所得的截面为五边形NMGC1Q，，，同理，故截面周长为．故选：A．8．（5分）对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D，其中n（Ω）＝60，n（A）＝30，n（B）＝10，n（C）＝20，n（D）＝30，n（A∪B）＝40，n（A∩C）＝10，n（A∪D）＝60，则（）A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立【考点】互斥事件与对立事件．【答案】D【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据P（A∩C），P（A）P（C）的关系判断事件是否独立．【解答】解：∵n（A）＝30，n（B）＝10，n（A∪B）＝40，∴n（A∪B）＝n（A）+n（B），∴A与B互斥，故A错误；由n（A∪D）＝n（A）+n（D）＝n（Ω）＝60，A、D互斥且对立，故B错误；n（C）＝20，n（A∩C）＝10，则n（D∩C）＝10，C与D不互斥，故C错误；由P（A）＝＝，P（C）＝＝，P（A∩C）＝＝，∴P（A∩C）＝P（A）P（C），∴A与C相互独立，故D正确．故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（）A．z2 B．|z2| C． D．【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】BCD【分析】逐个代入化简，检验虚部是否为0，即可判断．【解答】解：对于A，z2＝a2﹣b2+2abi，不一定为实数；对于B，|z2|＝a2+b2∈R；对于C，；对于D，．故选：BCD．（多选）10．（6分）2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番，为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：则下面结论中正确的是（）A．新农村建设后，种植收入比例减少了23% B．新农村建设后，其他收入增加1% C．新农村建设后，养殖收入持平 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【考点】扇形统计图．【答案】BD【分析】设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，根据扇形图，逐项分析即可．【解答】解：设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，则由扇形图可得新农村建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a，新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，对于选项A，新农村建设后，种植收入增加了0.74a﹣0.6a＝0.14a，故A错误；对于选项B，其他收入为0.1a，0.1a＞2×0.04a＝0.08a，故增加了一倍以上，故B正确；对于选项C，养殖收入为0.6a，因为0.6a＝2×0.3a，即新农村建设后，养殖收入增加了一倍，故C错误；对于选项D，因为养殖收入与第三产业收入总和为1.16a，由，所以养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半，故D正确．故选：BD．（多选）11．（6分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若a＝1，且sinA﹣bsinB＝（c+b）sinC，则（）A． B．△ABC面积的最大值为 C． D．BC边上的高的最大值为【考点】解三角形．【答案】ABD【分析】根据正弦定理化简题中的等式，得到a2﹣b2＝c（c+b），结合余弦定理求出cosA＝，从而判断出A项的正误；利用基本不等式，推导出当且仅当b＝c时，bc取得最大值，由此求出△ABC面积的最大值，判断出B项的正误；根据a＝1且A＝，利用正弦定理计算出△ABC外接圆的半径大小，从而判断出C项的正误；根据三角形的面积公式与B项的结论，求出BC边上的高h的最大值，进而判断出D项的正误．【解答】解：对于A，由a＝1，且sinA﹣bsinB＝（c+b）sinC，可知asinA﹣bsinB＝（c+b）sinC，根据正弦定理，化简得a2﹣b2＝c（c+b），即b2+c2﹣a2＝﹣bc，可得cosA＝＝，而角A为三角形的内角，所以A＝，可知A项正确；对于B，由b2+c2﹣a2＝﹣bc且a＝1，得b2+c2＝1﹣bc≥2bc，解得bc≤，当且仅当b＝c时，取等号．因此△ABC的面积S＝＝≤，当b＝c＝时，△ABC的面积有最大值，故B项正确；对于C，由A项的结论，可知△ABC的外接圆半径R满足2R＝＝，所以R＝，可知C项不正确；对于D，设BC边上的高为h，由B项的结论可知△ABC的面积S＝，即h≤，因此，当b＝c＝时，BC边上的高的最大值为，故D项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，．则谜题被破解的概率为．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【答案】．【分析】设“甲独立地破解谜题”为事件A，“乙独立地破解谜题”为事件B，“谜题被破解”为事件C，利用求解．【解答】解：设“甲独立地破解谜题”为事件A，“乙独立地破解谜题”为事件B，“谜题被破解”为事件C，且事件A，B相互独立，则．故答案为：．13．（5分）已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为﹣i．【考点】复数的除法运算；纯虚数．【答案】﹣i．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．【解答】解：z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则，解得a＝1，故＝＝．故答案为：﹣i．14．（5分）已知在上的投影向量为，则的取值范围为[，+∞）．【考点】平面向量的投影向量．【答案】[，+∞）．【分析】根据条件可求出的值，并可求出的范围，进而求出的范围，然后根据投影向量的计算公式即可得出的范围．【解答】解：因为|2+|＝3，|2﹣|＝2，所以4+4•+＝9，4﹣4•+＝4，所以•＝，4+＝，所以＝﹣4≥0，解得0≤||≤；所以，所以在上的投影向量为＝＝，所以＝的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【考点】直线与平面平行；平面与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD16．（15分）某大学为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为2﹣10分）．根据打分结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅满意指数在[2，4）中有30人．（1）求B餐厅满意指数频率分布直方图中a，b的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计A餐厅满意指数和B餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；参考公式：，其中为x1，x2，⋯，xn的平均数，p1，p2，⋯，pn分别为x1，x2，⋯，xn对应的频率．（3）如果一名新来同学打算从A，B两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）a＝0.1，b＝0.15；（2）A餐厅满意指数的平均数及方差分别为6.4，3.24，B餐厅满意指数的平均数及方差分别为5.6，4.04；（3）推荐A餐厅，理由如上解析．【分析】（1）根据B餐厅满意指数在[2，4）中有30人建立等式即可求出b的值，再根据长方形的和为1求出a的值；（2）根据频率分布直方图求解平均数与方差的公式即可求解；（3）由（2）得出的数据分析即可求解．【解答】解：（1）因为B餐厅满意指数在[2，4）中有30人，所以2×，解得b＝0.15，则0.15×2+a×2+0.2×2+0.05×2＝1，所以a＝0.1；（2）设A餐厅满意指数的平均数与方差分别为，B餐厅满意指数的平均数及方差分别为，则＝6.4，S+（7﹣6.4）2×0.4+（9﹣6.4）2×0.2＝3.24，＝5.6，S（7﹣5.6）2×0.4+（9﹣5.6）2×0.1＝4.04；（3）因为A餐厅满意指数的平均数及方差分别为6.4，3.24，B餐厅满意指数的平均数及方差分别为5.6，4.04，因为6.4＞5.6，3.24＜4.04，所以推荐A餐厅．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径长为R；已知，且．（1）求B；（2）若R＝1，，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由得bcosC＝（2a﹣c）cosB，利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式变形即可求解；（2）由正弦定理可得，由可知，结合正弦定理可得，结合余弦定理即可求解．【解答】解：（1）由得，bcosC＝（2a﹣c）cosB，由正弦定理可得a＝2R•sinA，b＝2R•sinB，c＝2R•sinC，得2RsinBcosC＝2×2RsinAcosB﹣2RsinCsinB，整理得sin（B+C）＝2sinAcosB，因为sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，则sinA＝2sinAcosB，因为A∈（0，π），sinA≠0，所以，因为B∈（0，π），所以；（2）因为，故，且，故，又因为，所以，因为，可得，又b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac＝3，所以，故周长为．18．（17分）如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D﹣PN﹣C的正切值为2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）证明：DM⊥PC；（3）求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）说明∠DNC为二面角D﹣PN﹣C的平面角，然后求解几何体的体积．（2）证明PN⊥DM，DM⊥CN，推出DM⊥平面PNC，然后证明DM⊥PC．（3）设DM∩CN＝O，连接PO，MN．说明∠MPO为直线PM与平面PNC所成的角，通过求解三角形推出结果即可．【解答】（1）解：∵△PAD为正三角形，N为AD中点，∴PN⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PN⊥平面ABCD，又NC⊂平面ABCD，∴PN⊥NC，∴∠DNC为二面角D﹣PN﹣C的平面角，∴，又DN＝1，∴DC＝2，∴底面ABCD为正方形．又易得，∴四棱P﹣ABCD的体积