2023-2024学年河南省商丘市高一(下)期中数学试卷(a卷)

2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）化简AB→A．AD→ B．CB→ C．DB→2．（5分）已知复数z满足(7−3i)z=8，则A．32−72i B．723．（5分）在△ABC中，A＝60°，C＝75°，AC=3，则BCA．2 B．32 C．3224．（5分）i2023﹣i2024＝（）A．1+2i B．1−2i C．﹣1﹣5．（5分）已知向量a→=(−1，1)，b→=(2，3)A．(12，12) B．(6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB＝csin（A+B）﹣asinA，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形7．（5分）若向量a→，b→的夹角是π3，a→是单位向量，|b→|＝2，c→=A．π6 B．π3 C．2π38．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC＝3，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．82π9 B．83π9 C．28π3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z＝m2﹣1+（m+1）i（m∈R），则下列命题正确的是（）A．若z为纯虚数，则m＝1 B．若z为实数，则z＝0 C．若z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则m=3D．z在复平面内对应的点可能在第三象限（多选）10．（6分）关于平面向量a→A．(aB．(aC．若a→⋅b→=D．(（多选）11．（6分）如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则（）A．AH→与CF→B．OA→C．AG→在AB→上的投影向量的模为D．PA→⋅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→13．（5分）已知（2﹣i）x＝4+yi，其中x，y是实数，则x+y＝．14．（5分）已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OA→⋅OB→=OB→四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，已知在正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝5，AB＝6．（1）求四棱锥S﹣ABCD的表面积；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．16．（15分）已知复数z1＝4+mi（m∈R），且z1•（1﹣2i）为纯虚数．（1）求复数z1；（2）若z2=z1(1−i)17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2（1）求sinB和a的值；（2）求△ABC的面积．18．（17分）已知单位向量a→满足(（1）求|a（2）设a→−b→与2a19．（17分）已知函数f（x）＝π﹣x﹣πx．（1）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递减；（2）求不等式f（m2﹣3）+f（2m）＞0的解集．

2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）化简AB→A．AD→ B．CB→ C．DB→【考点】平面向量的减法．【答案】B【分析】由已知结合向量减法运算法则即可求解．【解答】解：若化简AB→根据向量减法的三角形法则可知，AB→故选：B．2．（5分）已知复数z满足(7−3i)z=8，则A．32−72i B．72【考点】复数的除法运算．【答案】D【分析】根据复数的除法运算求解．【解答】解：由题意，z=87−3i故选：D．3．（5分）在△ABC中，A＝60°，C＝75°，AC=3，则BCA．2 B．32 C．322【考点】正弦定理．【答案】C【分析】由题意可得角B的大小，再由正弦定理可得BC的值．【解答】解：因为A＝60°，C＝75°，AC=3，所以B由正弦定理得ACsinB=BC即BC=3故选：C．4．（5分）i2023﹣i2024＝（）A．1+2i B．1−2i C．﹣1﹣【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】C【分析】利用i2＝﹣1和幂的运算性质计算可得结果【解答】解：i2023﹣i2024＝i2022•i﹣i2024＝（i2）1011•i﹣（i2）1012＝（﹣1）1011•i﹣（﹣1）1012＝﹣i﹣1．故选：C．5．（5分）已知向量a→=(−1，1)，b→=(2，3)A．(12，12) B．(【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：a→则a→⋅b所以b→在a→上的投影向量的坐标为故选：D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB＝csin（A+B）﹣asinA，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【考点】正弦定理；三角形的形状判断．【答案】B【分析】利用诱导公式及正弦定理将角化边即可判断．【解答】解：因为bsinB＝csin（A+B）﹣asinA，又sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，即bsinB＝csinC﹣asinA，由正弦定理可得b2＝c2﹣a2，即a2+b2＝c2，所以△ABC为直角三角形且∠C为直角．故选：B．7．（5分）若向量a→，b→的夹角是π3，a→是单位向量，|b→|＝2，c→=A．π6 B．π3 C．2π3【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】A【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：设向量c→与b→的夹角为θ，θ∈[0，向量a→，b→的夹角是π3，a则a→c→=2则c→2=4c→故cosθ=c→⋅故选：A．8．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC＝3，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．82π9 B．83π9 C．28π3【考点】球的体积和表面积．【答案】C【分析】取BD的中点E，设△ABD和△BCD的外接圆的圆心P，G分别在AE，CE上，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，可得O为三棱锥的外接球的球心，且可得∠OEC＝60°，由等边三角形的边长为2，可得EG，G及OG的值，进而求出外接球的半径OC的值，再求出外接球的表面积．【解答】解：由题意如图所示：设E为BD的中点，连接AE，CE，设P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，则可得O为该三棱锥的外接球的球心，连接OC，OE，则OC为外接球的半径，由△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，则AE=CE=又AC＝3，则由余弦定理可得cos∠AEC=A所以∠AEC＝120°，因为P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，所以CG=23CE=可得△OPE≅△OGE，可得∠OEC＝60°，而∠OGE＝90°，所以OG=3在△OGC中：R2所以外接球的表面积S=4πR故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z＝m2﹣1+（m+1）i（m∈R），则下列命题正确的是（）A．若z为纯虚数，则m＝1 B．若z为实数，则z＝0 C．若z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则m=3D．z在复平面内对应的点可能在第三象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；虚数单位i、复数；纯虚数．【答案】AB【分析】由复数的基本概念及复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于A，若z为纯虚数，则m2−1=0m+1≠0，解得m对于B，若z为实数，则m+1＝0，∴m＝﹣1，此时z＝0，故B正确；对于C，z在复平面内对应的点为（m2﹣1，m+1），由题意可得m+1＝2（m2﹣1），即2m2﹣m﹣3＝0，解得m＝﹣1或m=32，故对于D，若z在复平面内对应的点在第三象限，则m2−1＜0m+1＜0，此不等式组无解，∴z故选：AB．（多选）10．（6分）关于平面向量a→A．(aB．(aC．若a→⋅b→=D．(【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】CD【分析】由向量数量积的定义和运算律，对选项中的说法进行判断．【解答】解：对于A，由向量的运算法则知正确，故A正确；对于B，向量数量积满足分配律，故B正确；对于C，向量数量积不满足消去律，故C错误；对于D，(a→⋅b→)⋅c→是与故选：CD．（多选）11．（6分）如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则（）A．AH→与CF→B．OA→C．AG→在AB→上的投影向量的模为D．PA→⋅【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量的基本定理．【答案】AD【分析】连接AF，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到AH→与CF→平行，即可判断A；根据平面向量加法法则计算判断B；利用投影向量公式进行计算判断C；利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到PA→【解答】解：∵正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，对于A选项：连接AF，∵∠AOB＝45°，∴∠OAB=180°−45°∵∠AOF＝3×45°＝135°，∴∠OAF=180°−135°∴∠BAF＝67.5°+22.5°＝90°，以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建系如图，则A(0，0)，B(1，0)，H(−2∴AH→∴−2∴AH→∥CF→，∴AH→与CF对于B选项：∵O(12，∴OA→OC→OB→∴OA→+OC对于C选项：∵G(−22，22∴AG→=(−2∴AG→⋅AB∴AG→在AB→向量上的投影向量的模长为|AG对于D选项：取AB的中点M，则PA→+PB∴(PA→+两式相减得：PA→当点P与点E或F重合时，PM→2最大，最大值为∴PA→⋅PB当点P与点M重合时，PM→2最小为0，∴PA→⋅PB故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→【考点】平面向量的坐标运算．【答案】见试题解答内容【分析】由向量减法的坐标运算即可求解．【解答】解：由a→可得b→故答案为：（2，﹣1）．13．（5分）已知（2﹣i）x＝4+yi，其中x，y是实数，则x+y＝0．【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．【答案】见试题解答内容【分析】根据复数相等的充要条件可解．【解答】解：因为（2﹣i）x＝2x﹣xi＝4+yi，所以2x=4−x=y，解得x＝2，y所以x+y＝0．故答案为：0．14．（5分）已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足OA→⋅OB→=OB→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】见试题解答内容【分析】由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成OB→⋅CA→=0，即得OB【解答】解：因为OA→⋅OB→=OB→⋅OC→⇔OB→故答案为：垂．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，已知在正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝5，AB＝6．（1）求四棱锥S﹣ABCD的表面积；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】（1）84；（2）127【分析】（1）根据表面积公式即可求解；（2）根据体积公式即可求解．【解答】解：（1）连接AC，BD相交于O，连接SO，过点S作SE⊥BC于点E，连接OE，则SE是斜高，在直角三角形SOB中，SO=S在直角三角形SOE中，SE=SS△BCSS表所以正四棱锥S﹣ABCD的表面积为84．（2）V=1所以正四棱锥S﹣ABCD的体积为12716．（15分）已知复数z1＝4+mi（m∈R），且z1•（1﹣2i）为纯虚数．（1）求复数z1；（2）若z2=z1(1−i)【考点】复数的除法运算．【答案】（1）z1＝4﹣2i；（2）z2=−1−2i，【分析】（1）进行复数的乘法运算，根据纯虚数的定义即可得出复数z1；（2）根据共轭复数的定义，复数的乘法和除法运算即可得解．【解答】解：（1）由z1＝4+mi（m∈R），所以（4+mi）•（1﹣2i）＝4+2m+（m﹣8）i，又z1•（1﹣2i）为纯虚数，所以4+2m＝0，解得m＝﹣2，所以复数z1＝4﹣2i；（2）由（1）知z1=4+2i，所以z2故z2=−1﹣2i，17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2（1）求sinB和a的值；（2）求△ABC的面积．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出sinC，结合正、余弦定理计算即可求解；（2）由（1），结合三角形的面积公式计算即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，由cosC=−33，可得又由csinC=bsinB及由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，得3a由a＞0，解得a=6所以sinB=3（2）由（1）知，a=6所以△ABC的面积S△ABC18．（17分）已知单位向量a→满足(（1）求|a（2）设a→−b→与2a【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】（1）5；（2）310【分析】（1）由数量积的运算律求出|b→|（2）首先求出(a→−b→【解答】解：（1）因为单位向量a→满足(所以|a→|=1，所以a所以|a（2）由（1）知，|a→|=1，