2023-2024学年河南省天一联考高三(上)调研数学试卷

2023-2024学年河南省天一联考高三（上）调研数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）＝（）A． B． C． D．2．（5分）已知集合，B＝{x|x2≤9}，则[﹣3，+∞）＝（）A．∁R（A⋂B） B．∁R（A⋃B） C．A⋂B D．A⋃B3．（5分）已知圆经过点A（4，4），B（﹣2，4），C（4，﹣4），则该圆的半径为（）A．4 B．5 C．8 D．104．（5分）对于任意实数x，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[π]＝3，[0.1]＝0，[﹣2.1]＝﹣3，则“[x]＞[y]”是“x＞y”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数，若将y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（）A． B． C． D．6．（5分）位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（）A．96 B．144 C．240 D．3607．（5分）把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（）A． B． C． D．8．（5分）若α，β为锐角，且，则tanα+tanβ的最小值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知一组样本数据x1，x2，x3，…，x10（x1＜x2＜x3＜…＜x10）中，x5与样本平均数相等，x6＝0．则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比的来的样本数据的方差小？（）A．x1 B．x5 C．x6 D．x10（多选）10．（5分）已知函数，则（）A．f（x）在定义域上单调递增 B．f（x）没有零点 C．不存在平行于x轴且与曲线y＝f（x）相切的直线 D．f（x）的图象是中心对称图形（多选）11．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段C1D1上的动点，则下列说法正确的是（）A．平面BB1P⊥平面ABCD B．存在点P，使BP＝2 C．存在点P，使直线B1P与BD1所成角的余弦值为 D．存在点P，使点A，C到平面BB1P的距离之和为3（多选）12．（5分）已知双曲线E：的右焦点为F（6，0），以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆与双曲线E在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（）A．|AC|＝|BD|＝12 B． C．四边形ABCD的面积为 D．双曲线E的离心率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与抛物线交于点M，且|MF|＝4，则p＝．14．（5分）在△ABC中，，E是线段AD上的动点，设（x，y∈R），则2x+3y＝．15．（5分）已知数列{an}满足an+1＝3an+2，a3+a2＝22，则满足an＞160的最小正整数n＝．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）满足f′（x）＞﹣f（x），若，则满足不等式的x的取值范围是．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，D＝60°，AC＝4，CD＝3．（Ⅰ）求cos∠CAD；（Ⅱ）若，求BC．18．（12分）记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝85，且a6＝7a1．（Ⅰ）求an和Sn；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，AC的中点，∠ACB＝60°．（Ⅰ）证明：平面ABD∥平面FEC1；（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：过点（2，3），且C的右焦点为F（2，0）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线x＝8上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为kPM，kPN，kPF，证明：kPM+kPN＝2kPF．21．（12分）小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（0＜p＜1），且每个科目每次考试的结果互不影响．（Ⅰ）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（Ⅱ）以（Ⅰ）中确定的p0作为p的值．（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；（ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求E（X）．22．（12分）已知函数，m∈R且m≠0．（Ⅰ）若当x∈（0，π）时，f（x）≥1恒成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若∃x1，x2∈（0，π）且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），求证：．

2023-2024学年河南省天一联考高三（上）调研数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）＝（）A． B． C． D．【考点】复数的运算．【答案】B【分析】利用复数的运算化简求解即可．【解答】解：．故选：B．2．（5分）已知集合，B＝{x|x2≤9}，则[﹣3，+∞）＝（）A．∁R（A⋂B） B．∁R（A⋃B） C．A⋂B D．A⋃B【考点】一元二次不等式及其应用；补集及其运算．【答案】D【分析】先求出集合A，B，再利用集合的基本运算判断即可．【解答】解：因为，B＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，所以A⋃B＝[﹣3，+∞）．故选：D．3．（5分）已知圆经过点A（4，4），B（﹣2，4），C（4，﹣4），则该圆的半径为（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【答案】B【分析】直接利用两点间的距离公式整理得AB2+AC2＝BC2，进一步求出圆的半径．【解答】解：由于圆经过点A（4，4），B（﹣2，4），C（4，﹣4），满足AB2+AC2＝BC2，故该圆的直径为BC，易知∠BAC＝90°，所以该圆的直径为，所以半径为5．故选：B．4．（5分）对于任意实数x，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[π]＝3，[0.1]＝0，[﹣2.1]＝﹣3，则“[x]＞[y]”是“x＞y”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可得到本题的答案．【解答】解：若[x]＞[y]，则必有[x]＞y≥[y]，结合x≥[x]可得x＞y，所以“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分条件；反之，若x＞y，取x＝1.2，y＝1.1，可知[x]＝[y]，即[x]＞[y]不成立．因此“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分不必要条件，A项符合题意．故选：A．5．（5分）已知函数，若将y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（）A． B． C． D．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】B【分析】由三角函数图象变换求出g（x），再结合余弦函数的性质即可求解．【解答】解：的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数g（x）＝cos，因为y＝g（x）的图象关于坐标原点对称，所以（k∈Z），即，因为m＞0，故当k＝0时，m取得最小值．故选：B．6．（5分）位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（）A．96 B．144 C．240 D．360【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】C【分析】利用排列组合的简单计数即可求解．【解答】解：先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，所以安排方法种数为．故选：C．7．（5分）把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】C【分析】设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．设正三棱锥的底面边长为a，当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大；设正四棱锥的底面对角线长为2b，当轴截面经过底面的一条对角线，轴截面面积最大；设正六棱锥的底面边长为c，当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大．由此能求出正三棱锥、正六棱锥的体积之比．【解答】解：现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．设正三棱锥的底面边长为a，当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，所以，可得正三棱锥的体积为．设正四棱锥的底面对角线长为2b，当轴截面经过底面的一条对角线，轴截面面积最大，所以S＝bh，可得正四棱锥的体积为，设正六棱锥的底面边长为c，当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大，所以S＝ch，可得正六棱锥的体积为．所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为，即．故选：C．8．（5分）若α，β为锐角，且，则tanα+tanβ的最小值为（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】A【分析】由两角和的正切公式，结合基本不等式求解即可．【解答】解：已知α，β为锐角，且，则，即1﹣tanαtanβ＝tanα+tanβ，所以（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝1+（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ＝2，又，即2≤，得（tanα+tanβ+2）2≥8，显然tanα+tanβ+2＞0，所以tanα+tanβ+2≥，当且仅当时等号成立，所以tanα+tanβ的最小值为．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知一组样本数据x1，x2，x3，…，x10（x1＜x2＜x3＜…＜x10）中，x5与样本平均数相等，x6＝0．则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比的来的样本数据的方差小？（）A．x1 B．x5 C．x6 D．x10【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【答案】AD【分析】利用样本的平均数与方差直接求解．【解答】解：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故x1和x10符合条件；去掉x5，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，故x5不符合条件；去掉x6，样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件．故选：AD．（多选）10．（5分）已知函数，则（）A．f（x）在定义域上单调递增 B．f（x）没有零点 C．不存在平行于x轴且与曲线y＝f（x）相切的直线 D．f（x）的图象是中心对称图形【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的图象与图象的变换．【答案】BCD【分析】讨论x＞0以及x＜0时的函数值，判断A；令f（x）＝0，方程无解，判断B；求出函数的导数，得到导函数不为0，判断C；求出函数的对称中心，判断D．【解答】解：对于A，f（x）的定义域为（﹣∞，0）⋃（0，+∞），当x＜0时，0＜ex＜1，则f（x）＞0，当x＞0时，ex＞1，则f（x）＜0，显然f（x）在定义域上不是单调递增，故A错误；对于B，令f（x）＝0，得ex＝0，无解，所以f（x）没有零点，故B正确；对于C，求导得，令f′（x）＝0，得ex＝0，无解，所以不存在平行于x轴与曲线y＝f（x）相切的直线，故C正确；对于D，，注意到f（x）+f（﹣x）＝﹣1，所以f（x）的图象关于点中心对称，故D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段C1D1上的动点，则下列说法正确的是（）A．平面BB1P⊥平面ABCD B．存在点P，使BP＝2 C．存在点P，使直线B1P与BD1所成角的余弦值为 D．存在点P，使点A，C到平面BB1P的距离之和为3【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直．【答案】AC【分析】由线面垂直的性质定理即可判断A；当点P与C1重合时，BP取最小值，从而判断B；分别求出当点P与C1重合时，当点P与D1重合时直线B1P与BD1所成角，从而可判断C；当点P与D1重合时，点A，C到平面BB1P的距离之和最大，从而看判断D．【解答】解：对于A，因为BB1⊥平面ABCD，所以平面BB1P⊥平面ABCD，故A正确；对于B，当点P与C1重合时，BP取最小值，故不存在点P，使BP＝2，故B错误；对于C，当点P与D1重合时，直线B1P与BD1所成角等于∠BD1B1，，当点P与C1重合时，直线B1P与BD1所成角等于∠BD1A1，，所以直线B1P与BD1所成角的余弦值的取值范围是，而，故C正确；对于D，当点P与D1重合时，点A，C到平面BB1P的距离之和最大，最大值为，故不存在满足条件的点P，故D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）已知双曲线E：的右焦点为F（6，0），以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆与双曲线E在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（）A．|AC|＝|BD|＝12 B． C．四边形ABCD的面积为 D．双曲线E的离心率为【考点】双曲线的性质．【答案】ACD【分析】由已知可得AC和BD是圆O的两条直径，可判断A；利用二倍角余弦公式可求得cos∠ACB判断B；利用已知可求sin∠AOB，进而求得面积可判断C；联立双曲线与圆的方程，可求sin∠AOF，进而可求双曲线的离心率判断D．【解答】解：对于A，由双曲线E：的右焦点为F（6，0），所以圆的半径为6，由对称性可知AC和BD是圆O的两条直径，所以|AC|＝|BD|＝12，故A正确；对于B，若，则可得，而∠AOD与∠AOB互补，所以，故B错误；对于C，由已知得s，所以四边形ABCD的面积为＝，故C正确；对于D，记双曲线的半焦距为c（c＞0），联立，解得，则sin∠AOF＝，再由已知可得s，所以，所以，1﹣＝，∴＝，∴e＝＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线y＝4与抛物线交于点M，且|MF|＝4，则p＝4．【考点】抛物线的性质．【答案】4．【分析】由题意可得M的坐标，进而利用|MF|＝4，可求得p．【解答】解：把y＝4代入抛物线方程y2＝2px（p＞0），得，根据抛物线的定义有，解得p＝4．故答案为：4．14．（5分）在△ABC中，，E是线段AD上的动点，设（x，y∈R），则2x+3y＝2．【考点】平面向量的基本定理．【答案】2．【分析】由平面向量的线性运算可得，再由A，E，D三点共线得，从而求出答案．【解答】解：如图所示，因为，所以，所以，因为A，E，D三点共线，所以，所以2x+3y＝2．故答案为：2．15．（5分）已知数列{an}满足an+1＝3an+2，a3+a2＝22，则满足an＞160的最小正整数n＝5．【考点】数列递推式．【答案】5．【分析】根据已知推得{an+1}是首项为a1+1＝2，公比为3的等比数列，进而得到数列{an}的通项公式，即可求解结论．【解答】解：因为数列{an}满足an+1＝3an+2，a3+a2＝22，由，解得，又a2＝3a1+2，所以a1＝1．另一方面由an+1＝3an+2，可得an+1+1＝3（an+1），所以{an+1}是首项为a1+1＝2，公比为3的等比数列，所以，易知{an}是递增数列，又a4＝2×27﹣1＝53，a5＝2×81﹣1＝161，所以满足an＞160的最小正整数n＝5．故答案为：5．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）及其导函数f′（x）满足f′（x）＞﹣f（x），若，则满足不等式的x的取值范围是（ln3，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】（ln3，+∞）．【分析】构造函数g（x）＝exf（x），求出函数的导数，求出函数的单调性，问题转化为即g（x）＞1＝g（ln3），求出x的取值范围即可．【解答】解：由题意，对任意x∈R，都有f′（x）＞﹣f（x）成立，即f′（x）+f（x）＞0，构造函数g（x）＝exf（x），则g′（x）＝f′（x）ex+f（x）ex＝ex[f′（x）+f（x）]＞0，所以函数g（x）在R上单调递增．不等式即exf（x）＞1，即g（x）＞1，因为，所以，故当x＞ln3时，g（x）＞g（ln3）＝1，所以不等式g（x）＞1的解集为（ln3，+∞），即所求的x的取值范围为（ln3，+∞）．故答案为：（ln3，+∞）．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，D＝60°，AC＝4，CD＝3．（Ⅰ）求cos∠CAD；（Ⅱ）若，求BC．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）在△ACD中由正弦定理可求得sin∠CAD的值，再结合∠CAD＜90°与同角三角函数基本关系即可求得；（Ⅱ）由题可求得cos∠BAC，再在△ABC中由余弦定理即可求得BC的长．【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得，所以＝，由题设知∠CAD＜90°，所以；（Ⅱ）因为∠BAC+∠CAD＝90°，所以，在△ABC中，由余弦定理得：，所以．18．（12分）记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝85，且a6＝7a1．（Ⅰ）求an和Sn；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【答案】（Ⅰ）an＝6n﹣1，Sn＝3n2+2n；（Ⅱ）Tn＝．【分析】（Ⅰ）结合等差数列前n项和的性质与通项公式，求出公差d与a1，再由等差数列的通项公式与前n项和公式，得解；（Ⅱ）采用裂项求和法，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d（d＞0），因为S5＝5a3＝85，所以a3＝17，由a6＝7a1得，a3+3d＝7（a3﹣2d），所以17+3d＝7（17﹣2d），解得d＝6，所以a1＝a3﹣2d＝5，所以an＝a1+（n﹣1）d＝5+（n﹣1）×6＝6n﹣1，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以＝．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，AC的中点，∠ACB＝60°．（Ⅰ）证明：平面ABD∥平面FEC1；（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行．【答案】（1）见解析．（2）．【分析】平面内两条相交直线与另一个平面平行，则平面与平面平行．建立空间直角坐标系，利用坐标求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为E，F分别是BC，AC的中点，所以AB∥EF．因为AC∥A1C1，，所以四边形AFC1D为平行四边形，所以AD∥FC1，又因为AD⋂AB＝A，FE⋂FC1＝F，所以ABD∥平面FEC1．解：（Ⅱ）因为AC＝2，CB＝1，∠ACB＝60°，由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC⋅BCcos∠ACB＝3，所以AB2+BC2＝AC2，由勾股定理可得AB⊥BC．建立如图所示的空间直角坐标系．故B（0，0，0），，，C（1，0，0）．从而，，．设平面ABD的法向量为，由，得，取x＝4，则为平面ABD的一个法向量，所以，所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆C：过点（2，3），且C的右焦点为F（2，0）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线x＝8上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为kPM，kPN，kPF，证明：kPM+kPN＝2kPF．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解答．【分析】（Ⅰ）由右焦点坐标可得c，由点（2，3）满足椭圆方程可得a，b的方程，结合a，b，c的关系式，解方程可得a，进而得到离心率；（Ⅱ）联立直线MN的方程与椭圆的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得证明．【解答】解：（Ⅰ）由C的右焦点为F（2，0），可得c＝2，即a2﹣b2＝4，由点（2，3）在椭圆上，可得+＝1，解方程可得a＝4，b＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知C的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（8，y0）．由题意可得直线MN的方程为y＝x﹣2，联立，消去y可得7x2﹣16x﹣32＝0，则，，则＝＝＝，又，因此kPM+kPN＝2kPF．21．（12分）小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（0＜p＜1），且每个科目每次考试的结果互不影响．（Ⅰ）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（Ⅱ）以（Ⅰ）中确定的p0作为p的值．（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；（ⅱ）若每个