2023-2024学年河南省信阳市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知随机变量X～B（3，12），则P（XA．78 B．12 C．382．（5分）数列{an}满足an+2+an﹣2an+1＝0，已知a7+a11＝a8，则{an}的前19项和S19＝（）A．0 B．8 C．10 D．193．（5分）2024年春节期间某高速公路收费站的3个收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）服从正态分布N（400，σ2），若P（400＜X＜700）＝0.4，假设3个收费口均能正常工作，则这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为（）A．0.009 B．0.027 C．0.243 D．0.274．（5分）某医疗机构通过抽样调查（样本容量n＝9965），利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺癌是否与吸烟有关．计算得χ2＝56.632，经查对临界值表知P（χ2≥6.635）≈0.01，现给出四个结论，其中正确的是（）A．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”5．（5分）如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢（右），现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有（）A．6种 B．12种 C．15种 D．60种6．（5分）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X，则E（X）＝（）A．25 B．23 C．1 7．（5分）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列{an}满足a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1．现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（）A．2532023 B．5052023 C．75820238．（5分）如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…．记这个数列的前n项和为Sn，则S24＝（）A．442 B．441 C．364 D．298二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）(3A．第1项 B．第2项 C．第5项 D．第8项（多选）10．（6分）设A，B是两个随机事件，且P(A)=12，P(B)=2A．P(AB)=16 B．AC．P(B|A)=23 （多选）11．（6分）设f（x）的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，∀x1，x2∈Dx1≠x2，总有f(x1)+f(x2)2＜f(x1+x22)，则称f（x）在D上是上凸函数．已知fA．f（e）＜f（3）＜f（π） B．f'（e）＜f'（3）＜f'（π） C．f'（2023）＜f（2024）﹣f（2023）＜f'（2024） D．f'（2024）＜f（2024）﹣f（2023）＜f'（2023）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。12．（5分）某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩X～N（82，16），若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为．（附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545）13．（5分）曲线y=cosxx在x=π14．（5分）为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表：性别身高合计低于170cm不低于170cm女8020100男3070100合计11090200根据列联表的数据，计算得χ2＝；依据小概率值α＝的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”．附：临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为n．（1）求n的值；（2）设(1−3x)①求a1+a2+⋯+an的值；②求奇次项的系数和．16．（15分）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为p．将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%．（1）求p；（2）已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率．17．（15分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ln（x﹣1）+e（e为自然对数的底数）．（1）判断f（x）是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由；（2）若f（x）+a≥ax恒成立，求a的取值范围．18．（17分）华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐．某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示：月份x23456手机销量y（部）425366m109用最小二乘法得到手机销量y（单位：部）关于月份x的回归直线方程为ŷ=16.1x+5.6，且销量y的方差（1）求m；（2）求相关系数r（精确到0.01），并据此判断手机销量y与月份x的相关性强弱（若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强）；（3）求x＝4时的残差ê3；已知（y−y1̂）2+（y2−y2̂）2+（y4−y4̂）2附：相关系数r=i=1n19．（17分）绿化美化环境，建设美丽乡村．某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为X．（1）求X的分布列与期望；（2）若将空地分成n+1（n≥2）个区域（图2），在这n+1个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？

2023-2024学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知随机变量X～B（3，12），则P（XA．78 B．12 C．38【考点】n重伯努利试验与二项分布．【答案】A【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．【解答】解：∵随机变量X～B（3，12∴P（X＝0）=C∴P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1−1故选：A．2．（5分）数列{an}满足an+2+an﹣2an+1＝0，已知a7+a11＝a8，则{an}的前19项和S19＝（）A．0 B．8 C．10 D．19【考点】等差中项及其性质；求等差数列的前n项和．【答案】A【分析】根据等差数列的性质求解即可．【解答】解：因为数列{an}满足an+2+an﹣2an+1＝0，可得数列{an}为等差数列，由a7+a11＝a8，得a8+a10＝a8，故a10＝0，所以S19故选：A．3．（5分）2024年春节期间某高速公路收费站的3个收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）服从正态分布N（400，σ2），若P（400＜X＜700）＝0.4，假设3个收费口均能正常工作，则这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为（）A．0.009 B．0.027 C．0.243 D．0.27【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】B【分析】由正态分布曲线的对称性可得每个收费口每天通过的小汽车超过700辆的概率为0.1，再利用独立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：因为X～N（400，σ2），且P（400＜X＜700）＝0.4，所以P（X＞700）＝0.1，所以这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为P=C故选：B．4．（5分）某医疗机构通过抽样调查（样本容量n＝9965），利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺癌是否与吸烟有关．计算得χ2＝56.632，经查对临界值表知P（χ2≥6.635）≈0.01，现给出四个结论，其中正确的是（）A．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌 D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”【考点】列联表与独立性检验．【答案】D【分析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．【解答】解：χ2＝56.632，经查对临界值表知P（χ2≥6.635）≈0.01，则有1﹣0.01＝99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”．选项D正确，其余都是错误的．故选：D．5．（5分）如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢（右），现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有（）A．6种 B．12种 C．15种 D．60种【考点】简单组合问题．【答案】C【分析】根据排列组合相关知识可解．【解答】解：根据题意，奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，本身内部是没有区别的，则从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可（剩下的4个位置放奥运会吉祥物），则不同的排法为C6故选：C．6．（5分）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X，则E（X）＝（）A．25 B．23 C．1 【考点】超几何分布．【答案】A【分析】利用超几何分布的期望公式求解．【解答】解：由题意可知，X服从超几何分布H（2，3，15），所以E（X）=3故选：A．7．（5分）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列{an}满足a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1．现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（）A．2532023 B．5052023 C．7582023【考点】数列递推式．【答案】D【分析】由斐波那契数列，可得被3除所得的余数构成最小正周期为8的数列，可得所求概率．【解答】解：由1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，可得被3除所得的余数为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，…，即有余数呈现1，1，2，0，2，2，1，0，不断重复出现，且一个周期内出现3个1，由2023＝252×8+7，可得从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率为253×32023故选：D．8．（5分）如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…．记这个数列的前n项和为Sn，则S24＝（）A．442 B．441 C．364 D．298【考点】归纳推理．【答案】A【分析】根据题意所给规律进行求解即可．【解答】解：在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…，数列中的各项是C11，C22，C21，C32，∴S＝（Cl+Cl+Cl+…+C2）+（C+C+C+C+…+C3）=(C=C故选：A．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）(3A．第1项 B．第2项 C．第5项 D．第8项【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】BCD【分析】利用(3【解答】解：(3x−23由8−2k3∈Z．得故展开式的有理项为第2，5，8项．故选：BCD．（多选）10．（6分）设A，B是两个随机事件，且P(A)=12，P(B)=2A．P(AB)=16 B．AC．P(B|A)=23 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；求解条件概率．【答案】ABC【分析】利用和事件概率计算公式判断A；利用相互独立事件的定义判断BD；利用条件概率判断C．【解答】解：A，B是两个随机事件，且P(A)=12，P(B)=2∵P(A+B)=P(A)+P(B∴P(AB)=1∵P（A）＝P（AB）+P（AB），∴P(AB)=P(A)−P(ABP(A)×P(B)=1∵P（AB）＝P（A）×P（B），∴A与B相互独立．故B正确；P(B|A)=P(AB)P(A)=∵A与B相互独立，∴P(B|A)=P(B)=2∴P（B|A）≠P（A|B），故D错误．故选：ABC．（多选）11．（6分）设f（x）的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，∀x1，x2∈Dx1≠x2，总有f(x1)+f(x2)2＜f(x1+x22)，则称f（x）在D上是上凸函数．已知fA．f（e）＜f（3）＜f（π） B．f'（e）＜f'（3）＜f'（π） C．f'（2023）＜f（2024）﹣f（2023）＜f'（2024） D．f'（2024）＜f（2024）﹣f（2023）＜f'（2023）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值．【答案】AD【分析】由导数与单调性的关系可判断f（x）的单调性，从而可判断A；由凸函数的定义及导数的几何意义可判定BCD．【解答】解：对于A，∵f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵e＜3＜π，∴f（e）＜f（3）＜f（π），故A正确；对于B，∵f（x）在（0，+∞）上是“上凸”函数，由导数的几何意义知，随着x的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小，∴f'（e）＞f'（3）＞f'（π），故B错误；对于C，D，设A（2023，f（2023）），B（2024，f（2024）），由切线的几何意义知f'（2024）＜kAB＜f'（2023），即f'（2024）＜f(2024)−f(2023)∴f'（2024）＜f（2024）﹣f（2023）＜f'（2023），故C错误，D正确．故选：AD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。12．（5分）某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩X～N（82，16），若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为．（附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】91．【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：由题意可知，μ＝82，σ＝4，所以P(82≤X≤90)=1所以P（X≥90）＝0.5﹣0.47725＝0.02275，所以获得“优秀”的人数为4000×0.02275＝91．故答案为：91．13．（5分）曲线y=cosxx在x=π【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】y=−2π【分析】求得函数y的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由直线的点斜式方程，可得所求切线的方程．【解答】解：y=cosxx的导数为y′可得在x=π2处的切线的斜率为k=−2曲线y=cosxx在x=π即y=−2故答案为：y=−2π14．（5分）为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表：性别身高合计低于170cm不低于170cm女8020100男3070100合计11090200根据列联表的数据，计算得χ2＝；依据小概率值α＝的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”．附：临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【考点】独立性检验．【答案】50.505；0.001．【分析】假设H0：高三学生的性别和身高无关联，计算χ2，对照附表即可得出结论．【解答】解：假设H0：高三学生的性别和身高无关联，根据列联表中的数据，计算χ2对照附表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以推断H0不成立，即认为“高三学生的性别和身高有关联”．故答案为：50.505；0.001．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为n．（1）求n的值；（2）设(1−3x)①求a1+a2+⋯+an的值；②求奇次项的系数和．【考点】部分元素相邻的排列问题；二项展开式的通项与项的系数．【答案】（1）8；（2）27﹣215（﹣32640也正确）．【分析】（1）利用排列组合知识求解即可．（2）①②利用赋值法，转化求解即可．【解答】解：（1）5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，所有不同的排列种数：n=2A（2）已知(1−3x)令x＝1，得a0+a令x＝0，得a0＝1；∴a1+a2+⋯+a8＝256﹣1＝255．令x＝﹣1，得a3−a①﹣②，得a116．（15分）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为p．将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%．（1）求p；（2）已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率．【考点】条件概率乘法公式及应用．【答案】（1）p＝0.02；（2）12【分析】（1）记事件A：任取一件产品是次品，记事件Bi：第i批的产品，i＝1，2，根据题意及全概率计算公式即可得出所求的答案；（2）根据条件概率计算公式及贝叶斯公式即可得出所求的答案．【解答】解：（1）记事件A：任取一件产品是次品，记事件Bi：第i批的产品，i＝1，2．则P（A|B1）＝3%，P（A|B2）＝P（B1）＝0.40，P（B2）＝0.60，由P（A）＝P（AB）+P（AB2）＝0.4×0.03+0.6×p＝1﹣0.976，解得p＝0.02．（2）由贝叶斯公式可得：P(B所以已知取到的是次品，则它取自第二批产品的概率1217．（15分）已知函数f（x）＝（x﹣1）ln（x﹣1）+e（e为自然对数的底数）．（1）判断f（x）是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由；（2）若f（x）+a≥ax恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值．【答案】（1）f（x）不存在零点，理由见解答；（2）（﹣∞，2]．【分析】（1）对函数f（x）求导，判断其单调性，可得f（x）只有一个极小值点，也是最小值点，且极小值大于零，由此可得结论；（2）问题转化为a≤ln(x−1)+ex−1，令t＝x﹣1（t＞0），构造函数F(t)=lnt+et，利用导数求得函数【解答】解：（1）f（x）不存在零点，理由如下：函数的定义域为（1，+∞），f'（x）＝ln（x﹣1）+1，由f'（x）＞0，得x＞1+1e，由f'（x）＜0，得所以f（x）在(1+1e，+∞)所以，当x=1+1e时，f（x）取极小值，因为f（x）只有一个极小值点，也是最小值点，且f(x)所以f（x）不存在零点；（2）f（x）+a≥ax＝（x﹣1）ln（x﹣1）+e≥a（x﹣1），即a≤ln(x−1)+e令t＝x﹣1（t＞0），构造函数F(t)=lnt+e则F′(t)=1由F'（t）＞0，得t＞e，由F'（t）＜0，得0＜t＜e，所以F（t）在（e，+∞）上递增，在（0，e）上递减，所以当t＝e时，F（t）取极小值，也是最小值，且F（t）最小值＝F（e）＝2，所以a≤2．故a的取值范围为（﹣∞，2]．18．（17分）华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐．某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示：月份x23456手机销量y（部）425366m109用最小二乘法得到手机销量y（单位：部）关于月份x的回归直线方程为ŷ=16.1x+5.6，且销量y的方差（1）求m；（2）求相关系数r（精确到0.01），并据此判断手机销量y与月份x的相关性强弱（若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强）；（3）求x＝4时的残差ê3；已知（y−y1̂）2+（y2−y2̂）2+（y4−y4̂）2附：相关系数r=i=1n【考点】一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线；回归分析．【答案】（1）m＝80；（2）r≈0.98，手机销量y