2023-2024学年河南省信阳市高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，若z＝1+i，则|z|＝（）A．1 B．0 C．2 D．22．（5分）若向量AB→=(0，1)，CD→=(m，−2)，A．﹣1 B．2 C．1 D．03．（5分）已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若AB→=(2，1)，AC→A．15 B．12 C．152 4．（5分）曲线y＝f（x）与曲线y＝cosx关于x轴对称，则（）A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣sinx C．f（x）＝cosx D．f（x）＝﹣cosx5．（5分）若复数z满足z＝i（1+2i），则z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（5分）若函数f（x）＝cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=13对称，则A．π3 B．π6 C．2π37．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为π，若sinα+f(α)=13，则A．49 B．−89 C．58．（5分）课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角△ABC中，过点A作与AC→垂直的单位向量j→，因为AC→+CB→=AB→，所以j→⋅(AC→+请用上述向量方法探究，如图2直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E．设AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠ADE＝θ．则θ与△ABC的边和角之间的等量关系为（）A．acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝ccosθ B．acos（B+θ）+bcos（A﹣θ）＝ccosθ C．asin（B﹣θ）+bsin（A+θ）＝csinθ D．asin（B+θ）+bsin（A﹣θ）＝csinθ二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列函数中，同时满足：①在(0，π4)A．y＝|sinx| B．y＝|tanx| C．y＝cos|x| D．y＝sin|x|（多选）10．（6分）下列命题中正确的是（）A．若向量a→，b→满足|aB．若非零向量a→，b→满足|aC．若a→，b→，c→D．若a→，b→，c→为非零向量，且满足（多选）11．（6分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为34A．cosAcosC的取值范围是(−1B．若D为边AC的中点，且BD＝1，则△ABC的面积的最大值为23C．若△ABC是锐角三角形，则ac的取值范围是(D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE=3，则1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知平面向量a→，b→均为单位向量，且|a→+13．（5分）若sin(θ−π6)=414．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为点P．设|AB→|=6，|AC→|=8，∠BAC=π四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）m为何实数时，复数z＝（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）满足下列要求：（1）z是纯虚数；（2）z在复平面内对应的点在第二象限．16．（15分）已知A（2，3），B（4，﹣3），点M在直线AB上，且|AM→|=2|17．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．18．（17分）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，在A点测得M，N的俯角分别为α1＝75°，β1＝30°，在B点测得M，N的俯角分别为α2＝45°，β2＝60°，同时测得AB=106（1）求BN和AM的长度；（2）求M，N之间的距离．19．（17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g（x）以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f（x1）+g（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）．其中x2称为x1的像．（1）若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈R；g(x)=3cos(3x+π6)，x∈R，判断f（x）与（2）若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0，π3]；g(x)=33cos(3x+π6)，x∈[0，π]，且f（3）若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[−π4，π6]；g（x）＝﹣2sin2x+asinx+2，x∈R，且f（x

2023-2024学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i是虚数单位，若z＝1+i，则|z|＝（）A．1 B．0 C．2 D．2【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算．【答案】D【分析】由共轭复数的定义知，|z|＝|z|，从而求解．【解答】解：|z|＝|z|=1故选：D．2．（5分）若向量AB→=(0，1)，CD→=(m，−2)，A．﹣1 B．2 C．1 D．0【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】D【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解．【解答】解：依题意得m×1＝0×（﹣2），即m＝0．故选：D．3．（5分）已知A，B，C是平面直角坐标系内的三点，若AB→=(2，1)，AC→A．15 B．12 C．152 【考点】三角形的面积公式．【答案】C【分析】根据题意利用数量积的运算性质，判断出∠BAC＝90°，然后求出AB→【解答】解：因为AB→=(2，1)，所以AB→⋅AC→=又因为|AB→|=所以△ABC的面积S=1故选：C．4．（5分）曲线y＝f（x）与曲线y＝cosx关于x轴对称，则（）A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣sinx C．f（x）＝cosx D．f（x）＝﹣cosx【考点】余弦函数的图象．【答案】D【分析】根据已知条件，结合函数关于x轴的性质，即可求解．【解答】解：曲线y＝f（x）与曲线y＝cosx关于x轴对称，则f（x）＝﹣cosx．故选：D．5．（5分）若复数z满足z＝i（1+2i），则z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：z＝i（1+2i）＝﹣2+i，则z在复平面上所对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．6．（5分）若函数f（x）＝cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=13对称，则A．π3 B．π6 C．2π3【考点】余弦函数的图象．【答案】C【分析】由余弦函数的对称性直接求解．【解答】解：因为f（x）＝cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1所以π3+φ=kπ(k∈Z)，得因为0＜φ＜π，所以φ=2π故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为π，若sinα+f(α)=13，则A．49 B．−89 C．5【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】B【分析】由已知先求出周期，进而可求ω，再由偶函数定义求出φ，结合已知及二倍角公式及同角基本关系进行化简即可求解．【解答】解：由题意得，T＝2π，所以ω＝1，f（x）＝sin（x+φ），因为f（x）为偶函数，所以φ=π2+kπ，k因为0≤φ≤π，所以φ=π2，f（x）＝cos若sinα+f(α)=13，则sinα+cosα两边平方得，1+2sinαcosα=19，即2sinαcosαsin2α−cos2α+11+tanα=2sinαcosα+2sin2α故选：B．8．（5分）课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角△ABC中，过点A作与AC→垂直的单位向量j→，因为AC→+CB→=AB→，所以j→⋅(AC→+请用上述向量方法探究，如图2直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E．设AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠ADE＝θ．则θ与△ABC的边和角之间的等量关系为（）A．acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）＝ccosθ B．acos（B+θ）+bcos（A﹣θ）＝ccosθ C．asin（B﹣θ）+bsin（A+θ）＝csinθ D．asin（B+θ）+bsin（A﹣θ）＝csinθ【考点】两角和与差的三角函数．【答案】A【分析】设m→=DE→|【解答】解：设m→=DE因为AC→+CB即m→即|m→||AC→|cos(π−(θ+A))+|m所以﹣bcos（A+θ）﹣acos（B﹣θ）＝﹣ccosθ，即bcos（A+θ）+acos（B﹣θ）＝ccosθ，故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列函数中，同时满足：①在(0，π4)A．y＝|sinx| B．y＝|tanx| C．y＝cos|x| D．y＝sin|x|【考点】正切函数的奇偶性与对称性；正弦函数的奇偶性和对称性．【答案】ABD【分析】由已知结合基本初等函数的图象变换及函数的单调性及奇偶性检验各选项即可．【解答】解：根据正弦函数图象的变换可知，y＝|sinx|为偶函数且在(0，π4)y＝|tanx|为偶函数且在(0，π4)y＝cos|x|在(0，π4)y＝sin|x|为偶函数且在(0，π4)故选：ABD．（多选）10．（6分）下列命题中正确的是（）A．若向量a→，b→满足|aB．若非零向量a→，b→满足|aC．若a→，b→，c→D．若a→，b→，c→为非零向量，且满足【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的概念与平面向量的模．【答案】AB【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直的运算逐一判断．【解答】解：对于选项A，若向量a→，b→满足当a→，b→至少有一个为则a→当a→，b→均不为则cos＜a即＜a→，即a→即选项A正确；对于选项B，若非零向量a→，b→满足则a→则a→即选项B正确；对于选项C，若a→，b→，取a→，b→，c→为非零向量，且a则(a→⋅b→此时(a即选项C错误；对于选项D，若a→，b→，c→则a→则b→=c即选项D错误．故选：AB．（多选）11．（6分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为34A．cosAcosC的取值范围是(−1B．若D为边AC的中点，且BD＝1，则△ABC的面积的最大值为23C．若△ABC是锐角三角形，则ac的取值范围是(D．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且BE=3，则1【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．【答案】AC【分析】由三角形面积公式及余弦定理可得tanB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，A中，可得cosAcosC表达式，再由角A的范围，可得cosAcosC的范围，判断出A的真假；B中，由中线的向量表示及基本不等式可得ac的范围，进而求出三角形的面积的最大值，判断出B的真假；C中，由正弦定理及锐角三角形中角C的范围，可得tanC的范围，进而可得ac的范围，判断出C的真假；D中，由三角形的面积相等可得a+c＝ac，进而可得1a+【解答】解：因为S=34(a2+c2−b2可得tanB=3，B∈（0，π），所以B=A中，可得cosAcosC＝﹣cosAcos（A+π3）＝﹣[12cos2A−32＝﹣（12•1+cos2A2−34sin2A）=−12（1=−12cos（2A+π因为A∈（0，2π3），所以2A+π3∈（π所以cos（2A+π3）∈[﹣1，12），所以cosAcosC∈（−12B中，D为边AC的中点，且BD＝1，可得2BD→=BA→+BC→，所以4BD→2=BA→2+BC→2+2BA→•BC→所ac≤4则△ABC的面积的最大值为12×4C中，△ABC为锐角三角形，可得0＜C＜π20＜A=2π3由正弦定理可得ac因为tanC＞33，所以0所以ac∈（12，2），所以D中，由等面积可得12（a+c）•BE•sinπ6=12acsin可得a+c＝ac，所以1a+1故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知平面向量a→，b→均为单位向量，且|a→+b→【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】2π3【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．【解答】解：设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0，平面向量a→，b则a→2+2a→故θ=2π故答案为：2π313．（5分）若sin(θ−π6)=45，则【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．【答案】725【分析】利用诱导公式可求得cos（π3+θ）【解答】解：∵sin（θ−π6）＝﹣sin（π6−∴sin（π6−θ）＝cos（π3+∴cos（2θ+2π3）＝2cos2（π3+θ）﹣1＝2故答案为：72514．（5分）如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为点P．设|AB→|=6，|AC→|=8，∠BAC=π3，【考点】平面向量的基本定理．【答案】−41【分析】由已知结合向量的线性运算及向量向量数量积的性质可求出x，y，代入即可求解．【解答】解：设∠PAC=θ(0＜θ＜π由于∠BAC=π3，则∠PBA因为AP⊥BD，且|AO所以|AP即|AP所以2cosθ=32cosθ+又sin2θ+cos2θ＝1，解得sinθ=714，所以|PO→|=|所以|BO则|PO所以PO→又因为AP→由AP→=xAB→+y所以x2故答案为：−41四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）m为何实数时，复数z＝（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）满足下列要求：（1）z是纯虚数；（2）z在复平面内对应的点在第二象限．【考点】纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义．【答案】（1）m=−1（2）m∈(−1【分析】（1）利用复数的实部为0，虚部不为0，求解即可．（2）利用复数的对应点在第二象限．列出不等式组求解即可．【解答】解：z＝（2+i）m2﹣3（i+1）m﹣2（1﹣i）＝2m2+m2i﹣3mi﹣3m﹣2+2i＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（1）由2m2−3m−2=0m即m=−12时，（2）由2m2−3m−2＜0即m∈(−12，1)16．（15分）已知A（2，3），B（4，﹣3），点M在直线AB上，且|AM→|=2|【考点】平面向量的坐标运算．【答案】（6，﹣9）或（﹣2，15）．【分析】由向量共线的坐标表示，即可求得．【解答】解：由点M在直线AB上，且|AM可得AM→=±2AB→，设M（则AM→=(x−2，y−3)，则有x−2=4y−3=−12或x−2=−4解得x=6y=−9或x=−2则点P的坐标为（6，﹣9）或（﹣2，15）．17．（15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】（1）f(x)=2sin(2x+π（2）[0，π6]【分析】（1）由最值求出A，B，结合函数图象求出周期T，进而可求ω，代入特殊点的坐标求出φ，进而可求函数解析式；（2）结合正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（1）由图象可知，A+B=4−A+B=0所以A＝B＝2，设f（x）的最小正周期为T，T4∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）+2，又∵f(π6)=2sin(2×∴2×π∴φ=π6．函数f（x）的解析式为（2）∵0≤x≤π，∴π6由π6≤2x+π可得函数f（x）的单调递增区间为[0，π6]18．（17分）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，在A点测得M，N的俯角分别为α1＝75°，β1＝30°，在B点测得M，N的俯角分别为α2＝45°，β2＝60°，同时测得AB=106（1）求BN和AM的长度；（2）求M，N之间的距离．【考点】解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）在△ABM中，利用正弦定理即可求解出AM，再利用条件得到BN＝AB；（2）在△ABN中，利用条件和（1）中的结果，求出AN，在△AMN中，再利用余弦定理即可求解．【解答】解：（1）在△ABM中，由题知AB=106，∠MAB＝75°，∠ABM所以∠AMB＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由正弦定理得AMsin∠ABM=AB在△ABN中，又因为∠BAN＝30°，∠ABN＝180°﹣60°＝120°，∠ANB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，所以∠BAN＝∠ANB，所以BN=AB=106（2）在△ABN，由（1）∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，AB=BN=106所以AN=2AB⋅cos30°=2×106在△AMN中，AM＝20，AN=302，∠MAN由余弦定理得MN所以MN=101019．（17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g（x）以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f（x1）+g（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）．其中x2称为x1的像．（1）若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈R；g(x)=3cos(3x+π6)，x∈R，判断f（x）与（2）若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0，π3]；g(x)=33cos(3x+π6)，x∈[0，π]，且f（3）若f(x)=2si