2023-2024学年河南省许昌市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，则m的值为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2＝4与抛物线x2＝2py（p＞0）的准线相切，则p＝（）A．1 B．2 C．4 D．83．（5分）在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为23，连续闯过前两关的概率为13．事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P（B|A．29 B．13 C．124．（5分）已知三个正态密度函数φi(x)=12πσieA．μ1＝μ3＞μ2，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＜μ2＝μ3，σ1＜σ2＜σ3 C．μ1＝μ3＞μ2，σ1＝σ2＜σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ35．（5分）已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|＝6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）①y＝x+1；②y＝2；③y=43④y＝2x+1．A．①③ B．①② C．②③ D．③④6．（5分）一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位、现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（）A．6 B．12 C．72 D．1447．（5分）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（﹣1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x+7）2+（y﹣10）2＝100 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 D．（x+7）2+（y﹣10）2＝108．（5分）已知函数f(x)=|lnx|x2A．(−∞，1e) B．（0，+∞） C．{二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（）A．r1＜r4 B．r2＜r3 C．r3＞0 D．r4＞0（多选）10．（6分）下列命题中，正确的命题是（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p=2B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(−1＜ξ≤0)=1D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当X＝8时概率最大（多选）11．（6分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，且AP→=mAD→+nAA1→A．当m=12时，三棱锥P﹣BDB1B．当n=12时，三棱锥P﹣BDB1C．当m+n＝1时，PA+PB的最小值为6+D．若∠PD1B＝∠B1D1B，点P的轨迹为一段圆弧三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知X～B(3，35)，且Y＝﹣5X+2，则Y13．（5分）已知(1+2x)2024+(1−x)2024=14．（5分）现有n（n＞3，n∈N*）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k＝1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，n﹣k个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n＝四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=n2+n，数列{log2（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=1anan+1+16．（15分）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份x20182019202020212022销量y（万台）23.52.589（1）求氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；（2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：了解不了解合计男生25女生20合计（ⅰ）根据已知条件，填写上述2×2列联表；（ⅱ）依据α＝0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？参考公式：①回归方程ŷ=b②χα0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82817．（15分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝2．（Ⅰ）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（Ⅱ）若斜棱柱的高为3，求平面ABB1与平面AB1C1夹角的余弦值．18．（17分）函数f(x)=lnx−a(x−1)（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，曲线y＝f（x）上两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））连线斜率记为k，求证：k＞2−a19．（17分）已知P是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）上任意一点，且P到C1的焦点F的最短距离为32．直线l与C1交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与抛物线C2：y2＝2x交于C（x3，y3），D（x4，y4）两点，其中点A，C在第一象限，点B，D（1）求抛物线C1的方程．（2）证明：1y（3）设△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，其中O为坐标原点，若|AC|＝3|BD|，求S1

2023-2024学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，则m的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列的前n项和．【答案】B【分析】由等差数列的通项公式可得a3＝0，又因为Sm=m(a1+am)【解答】解：∵a1＝2a2，∴a1＝2（a1+d），∴a1+2d＝0，即a3＝0，∵Sm=m(a1+am)∵a1+a5＝2a3＝0，∴m＝5．故选：B．2．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2＝4与抛物线x2＝2py（p＞0）的准线相切，则p＝（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的焦点与准线．【答案】C【分析】根据已知条件，结合圆与抛物线的性质可得，|−p2|=2【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2＝4与抛物线x2＝2py（p＞0）的准线相切，∴|−p2|=2又∵p＞0，∴p＝4．故选：C．3．（5分）在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为23，连续闯过前两关的概率为13．事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P（B|A．29 B．13 C．12【考点】条件概率．【答案】C【分析】求出P（A）=23，P（AB）=13，利用条件概率能求出P（【解答】解：在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为23，连续闯过前两关的概率为1事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P（A）=23，P（AB）∴P（B|A）=P(AB)故选：C．4．（5分）已知三个正态密度函数φi(x)=12πσieA．μ1＝μ3＞μ2，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＜μ2＝μ3，σ1＜σ2＜σ3 C．μ1＝μ3＞μ2，σ1＝σ2＜σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】D【分析】由正态分布曲线的对称性可比较均值μ的大小，图像胖瘦判断标准差σ的大小．【解答】解：由正态分布曲线的对称性可得μ1＜μ2＝μ3，又曲线y＝φ1（x）与y＝φ2（x）一样瘦高，而曲线y＝φ3（x）矮胖，则σ1＝σ2＜σ3．故选：D．5．（5分）已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|＝6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）①y＝x+1；②y＝2；③y=43④y＝2x+1．A．①③ B．①② C．②③ D．③④【考点】轨迹方程．【答案】B【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a＝6的双曲线，由此算出双曲线的方程为x29−y216=1【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|＝6，∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a＝6的双曲线可得b2＝c2﹣a2＝52﹣32＝16，双曲线的方程为x∵双曲线的渐近线方程为y＝±43∴直线y=43直线y＝2x+1经过点（0，1）斜率k＞4而直线y＝x+1、与直线y＝2都与双曲线x2因此，在y＝x+1与y＝2上存在点P使|PM|﹣|PN|＝6，满足B型直线的条件只有①②正确故选：B．6．（5分）一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位、现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（）A．6 B．12 C．72 D．144【考点】排列及排列数公式．【答案】C【分析】从题意：将一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位、看成一排，任何两个小孩都不能坐在一起，那么大人也不能坐在一起．看作两种类型：一是大、小、大、小、大、小；二是小、大、小、大、小、大．【解答】解：一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位、不妨看作是大、小、大、小、大、小或者小、大、小、大、小、大两类型，三个大人的入座方法A33种，三个小孩的入座方法A33种，因而不同的入座方法总数为2故选：C．7．（5分）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（﹣1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x+7）2+（y﹣10）2＝100 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 D．（x+7）2+（y﹣10）2＝10【考点】圆的标准方程．【答案】C【分析】首先求出线段MN的垂直平分线，依题意圆的圆心在直线y﹣3＝﹣x上，故设该圆圆心为C（a，3﹣a），又因为该圆与x轴相切，所以圆的半径r＝|3﹣a|，根据|CN|＝r，得到方程求出a的值，即可得解．【解答】解；由题意可知，点P为过M，N两点且和x轴相切的圆的切点，线段MN中点坐标为（0，3），又kMN所以线段MN的垂直平分线方程为y﹣3＝﹣x，所以以MN为弦的圆的圆心在直线y﹣3＝﹣x上，故设该圆圆心为C（a，3﹣a），又因为该圆与x轴相切，所以圆的半径r＝|3﹣a|，又|CN|＝r，所以（a﹣1）2+（3﹣a﹣4）2＝（3﹣a）2，解得a＝1或a＝﹣7，当a＝﹣7时，∠MQP是钝角，故舍去．所以a＝1此时圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．故选：C．8．（5分）已知函数f(x)=|lnx|x2A．(−∞，1e) B．（0，+∞） C．{【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】D【分析】问题转化为方程|lnx|x=a有三个根，令g（x）=|lnx|x，x＞0，分析g（x）的单调性，作出【解答】解：因为函数f(x)=|lnx|所以方程|lnx|x即方程|lnx|x=令g（x）=|lnx|x，当x＞1时，g（x）=lnxg′（x）=1所以在（1，e）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（e，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）极大值＝g（e）=1当x＝1时，g（x）＝0，当0＜x＜1时，g（x）=−lnxg′（x）=−所以在（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，作出g（x）的图象：所以由图象可得a∈（0，1e故选：D．二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（）A．r1＜r4 B．r2＜r3 C．r3＞0 D．r4＞0【考点】散点图．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合散点图，以及相关系数的应用，即可求解．【解答】解：由图可得，r2＞r3＞0，故B错误，C正确，r1＜r4＜0，故A正确，D错误．故选：AC．（多选）10．（6分）下列命题中，正确的命题是（）A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p=2B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则P(−1＜ξ≤0)=1D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当X＝8时概率最大【考点】命题的真假判断与应用；n重伯努利试验与二项分布；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；用样本估计总体的离散程度参数．【答案】BCD【分析】根据二项分布的性质列方程组计算p判断A，根据方差性质判断B，根据正态分布对称性判断C，根据二项分布的概率公式判断D．【解答】解：对于A，由题意可得：np=30np(1−p)=20，两式相比可得：1﹣p=23，故p=对于B，由D（aX+b）＝a2D（X）可知当a＝1时，D（X+b）＝D（X），故B正确；对于C，由ξ～N（0，1）可知P（ξ≤0）=12，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞1）＝∴P（﹣1＜ξ≤0）＝P（ξ≤0）﹣P（ξ＜﹣1）=12−p对于D，P(X=k)P(X=k+1)P(X=k)P(X=k−1)令k+14(10−k)≥14(11−k)k≥1又k∈Z，故k＝8，故X＝8时，概率最大，故D正确．故选：BCD．（多选）11．（6分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，且AP→=mAD→+nAA1→A．当m=12时，三棱锥P﹣BDB1B．当n=12时，三棱锥P﹣BDB1C．当m+n＝1时，PA+PB的最小值为6+D．若∠PD1B＝∠B1D1B，点P的轨迹为一段圆弧【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；轨迹方程；棱柱的结构特征．【答案】AC【分析】如图，设E，F，M，N均为所在棱的中点对A，当m=12时，点P在EF线段上，利用EF∥平面DBB1D1即可说明三棱锥P﹣BDB对B，当n=12时，点P在MN线段上，由MN与平面DBB1D1相交即可说明三棱锥P﹣BDB对C，当m+n＝1时，点P在线段A1D上，等腰直角三角形ADA1与等边三角形BDA1展开铺平在一个平面内，根据平面内两点间距离最短即可求解；对D，若∠PD1B＝∠B1D1B，则点P的轨迹为线段AD1，从而判断D选项．【解答】解：如图，设E，F，M，N均为所在棱的中点，∵AP→=mAD→+nAA1→∴点P在正方体左侧面ADD1A1内，（包括边界），对A选项，当m=12时，点P在易知EF∥平面DBB1D1，∴EF上的点P到平面DBB1D1的距离都相等且为定值，又△BDB1的面积也为定值，∴三棱锥P﹣BDB1的体积为定值，∴A选项正确；对B选项，当n=12时，点P在显然MN上的点P到平面DBB1D1的距离是变化的，而△BDB1的面积为定值，∴三棱锥P﹣BDB1的体积不为定值，∴B选项错误；对C选项，当m+n＝1时，由AP→=mAD→+nAA1→如图，将等腰直角三角形ADA1与等边三角形BDA1展开铺平在一个平面内，则线段A1D上的点P到A与B的距离之和PA+PB≥AB，当且仅当A，P，B三点共线时取得等号，而AB=2∴PA+PB的最小值为6+22对D选项，若∠PD1B＝∠B1D1B，又点P在正方体左侧面ADD1A1内，（包括边界），∴点P在线段AD1上，∴点P的轨迹为线段AD1，∴D选项错误．故选：AC．三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知X～B(3，35)，且Y＝﹣5X+2，则Y【考点】用样本估计总体的离散程度参数．【答案】见试题解答内容【分析】由随机变量X～B（3，35），先求出E（X）=95，D（X）=1825，再由变量Y＝﹣5X+1，得D（Y）＝25D（X【解答】解：随机变量X～B（3，35∴E（X）=3×3D（X）＝3×3∵变量Y＝﹣5X+1，D（Y）＝25D（X）＝25×18故答案为：18．13．（5分）已知(1+2x)2024+(1−x)2024=【考点】二项式定理的应用．【答案】2024．【分析】直接利用二项式展开式的通项公式进行运算求解即可．【解答】解：因为a1是x的系数，所以a1=C20241故答案为：2024．14．（5分）现有n（n＞3，n∈N*）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k＝1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，n﹣k个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n＝【考点】概率的应用；古典概型及其概率计算公式．【答案】9．【分析】根据题意，设取到第k个袋子为事件Ak，第四次取出的球为白球为事件B，求出P（Ak）和P（B|Ak），由全概率公式可得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+……+P（An）P（B|An）=49，可得关于【解答】解：根据题意，设取到第k个袋子为事件Ak，第四次取出的球为白球为事件B，则P（Ak）=1n，P（B|Ak）故P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+……+P（An）P（B|An）=1变形可得：n＝9．故答案为：9．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=n2+n，数列{log2（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=1anan+1+【考点】裂项相消法．【答案】（1）an（2）Tn【分析】（1）由an=S1，n=1Sn（2）由cn【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=n2+n，所以当n≥2时，an由于a1＝1满足an＝n，所以{an}的通项公式为an＝n．因为log2bn＝log2b1+（n﹣1）×（﹣1）＝1﹣n，所以bn（2）因为cn所以cn所以Tn16．（15分）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份x20182019202020212022销量y（万台）23.52.589（1）求氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；（2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：了解不了解合计男生25女生20合计（ⅰ）根据已知条件，填写上述2×2列联表；（ⅱ）依据α＝0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？参考公式：①回归方程ŷ=b②χα0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【考点】一元线性回归模型；经验回归方程与经验回归直线；独立性检验．【答案】（1）ŷ（2）（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）该校学生对氢能源的了解情况与性别有关．【分析】（1）利用已知数据和公式求线性回归方程，由方程进行数据预测；（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名补全2×2列联表；（ⅱ）计算χ2，与临界值比较下结论．【解答】解：（1）年份x的平均数x=15(2018+2019+2020+2021+2022)=2020，销量∴i=15i=15+（2020﹣2020）×（2.5﹣5）+（2021﹣2020）×（8﹣5）+（2022﹣2020）×（9﹣5）＝18.5，∴b̂=18.5∴氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程为ŷ令x＝2024，得ŷ故预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台；（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全2×2列联表为：了解不了解合计男生352560女生204060合计5565120（ⅱ）零假设H0：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，根据2×2列联表中的数据可得，χ2依据α＝0.01的独立性检验，可以推断H0不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关．17．（15分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝2．（Ⅰ）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（Ⅱ）若斜棱柱的高为3，求平面ABB1与平面AB1C1夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）平面ABB1与平面AB1C1夹角的余弦值为57【分析】（Ⅰ）取BC的中点M，连接B1M，利用点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，证明B1M⊥AC，结合AC⊥BC，由线面垂直的判定定理证明AC⊥平面B1C1CB，根据面面垂直的判定定理证明即可；（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BAB1和平面AB1C1的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】解：（I）证明：取BC中点为M，连接B1M，∵B1在底面内的射影恰好是BC中点，∴B1M⊥平面ABC，又∵AC⊂平面ABC，∴B1M⊥AC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵B1M，BC⊂平面B1C1CB，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB，又∵AC⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（II）以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，由BC＝CA＝2，可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(0，1，0)，B即有AB1→=（﹣2，1，3），设平面BAB1的法向量为n→即有n→⋅AB1→=0n→所以n→设平面AB1C1的法向量为m→即有m→⋅AB1→=0m→所以n→所以有|cos＜n→，m→由两平面夹角定义可知平面ABB1与平面AB1C1夹角为锐角，故平面ABB1与平面AB1C1夹角的余弦值为5718．（17分）函数f(x)=lnx−a(x−1)（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，曲线y＝f（x）上两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））连线斜率记为k，求证：k＞2−a【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】（1）当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞2时，f（x）在(0，a−1−a2−2a在(a−1−a（2）证明见解答．【分析】（1）先求导函数f'（x），分Δ≤0，Δ＞0两情况讨论，分别求函数的单调性；（2）由（1）得，函数f（x）有两个极值点，则a＞2，且x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝1，将不等式k＞2−aa−1转化为【解答】解：（1）函数f(x)=lnx−a(x−1)f′(x)=1对于方程x2+（2﹣2a）x+1＝0，Δ＝（2﹣2a）2﹣4＝4（a2﹣2a），当Δ≤0，即0≤a≤2时，x2+（2﹣2a）x+1≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当Δ＞0，即a＜0或a＞2时，方程x2+（2﹣2a）x+1＝0有两不等根，x1=a−1−a2−2a，x2=a−1+a2−2a，而x1+所以当a＜0时，x1＜x2＜0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞2时，0＜x1＜x2，x∈（0，x1）或x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上