2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一（下）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝3+5i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．15 B．4 C．17 D．52．（5分）已知圆台O1O上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（）A．8π B．16π C．26π D．32π3．（5分）向量a→=（2，1），b→=（1，x），若A．x=12 B．x=−12 C．x＝24．（5分）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（）A．π3立方米 B．2π立方米C．13π6立方米 D．5π5．（5分）已知向量a→=（2，1），b→=（k，3），且A．5 B．65 C．10 D．526．（5分）已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（）A．12 B．14 C．16 D．187．（5分）已知a，b∈R，若a2+b+（a﹣b）i＞2（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（）A．a＞2或a＜﹣1 B．a＞1或a＜﹣2 C．﹣1＜a＜2 D．﹣2＜a＜18．（5分）已知向量a→=（x，1），b→=（4，x），则“x＞0”是“向量A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）下列说法错误的是（）A．过球心的截面是半径等于球的半径的圆面 B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 C．正四棱锥的侧面都是正三角形 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台（多选）10．（6分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的侧面积为5πC．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小（多选）11．（6分）在△ABC中，AB=3，B=60°，若满足条件的三角形有两个，则A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知A，B，C三点在半径为5的球O的表面上，△ABC是边长为43的正三角形，则球心O到平面ABC的距离为13．（5分）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为．14．（5分）在△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点．F为边AB上的点，且AB→=3AF→，若AD→=xAF→+yAE→，x，y∈R，则四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过15．（13分）已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若z1z2（2）若|z1−z2|＜|z116．（15分）如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，PB＝5，OB＝3．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．17．（15分）已知平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠DAB＝60°，点E是线段BC的中点．（Ⅰ）求AB→（Ⅱ）若AF→=AE→+λ18．（17分）已知函数f(x)=sin（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2，f（C）＝1且C≠π2，求△19．（17分）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（1）求角A的大小；（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．

2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝3+5i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．15 B．4 C．17 D．5【考点】复数的模；复数的运算．【答案】C【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再利用模长公式计算即可．【解答】解：因为（1+i）z＝3+5i，所以z=3+5i所以|z|=4故选：C．2．（5分）已知圆台O1O上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（）A．8π B．16π C．26π D．32π【考点】圆台的侧面积和表面积．【答案】B【分析】根据圆台的侧面积公式计算即可．【解答】解：圆台O1O上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，所以圆台的侧面积为S侧＝π（r+r′）l＝π（1+3）×4＝16π．故选：B．3．（5分）向量a→=（2，1），b→=（1，x），若A．x=12 B．x=−12 C．x＝2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】直接利用向量垂直的充要条件求出结果．【解答】解：由于向量a→=（2，1），b→=（1，x），且a→⊥b故选：D．4．（5分）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（）A．π3立方米 B．2π立方米C．13π6立方米 D．5π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】C【分析】由题知底面圆的半径为r＝1，圆柱高h1＝2，圆锥高h2=1【解答】解：由题知底面圆的半径r＝1，圆柱高h1＝2，圆锥高h2=1圆柱体积V1＝πr2h1＝2π，圆锥的体积V2∴该组合体体积为V＝V1+V2=13π故选：C．5．（5分）已知向量a→=（2，1），b→=（k，3），且A．5 B．65 C．10 D．52【考点】平面向量数量积的坐标运算．【答案】A【分析】先由向量数量积的坐标运算求出k，然后结合向量模的运算求解即可．【解答】解：已知向量a→=（2，1），b→=（则2k+3＝5，即k＝1，即b→则|a→|=则|a→−2b故选：A．6．（5分）已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（）A．12 B．14 C．16 D．18【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】C【分析】根据题意，设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求．【解答】解：根据题意，设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则有2πr=π2l故选：C．7．（5分）已知a，b∈R，若a2+b+（a﹣b）i＞2（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（）A．a＞2或a＜﹣1 B．a＞1或a＜﹣2 C．﹣1＜a＜2 D．﹣2＜a＜1【考点】虚数单位i、复数．【答案】B【分析】利用虚数不能比较大小，得到a2+b+（a﹣b）i为实数，列式求解即可．【解答】解：因为a2+b+（a﹣b）i＞2，根据虚数不能比较大小，可得a2+b+（a﹣b）i为实数，所以a﹣b＝0且a2+b＞2，即a2+a﹣2＞0，解得a＜﹣2或a＞1．故选：B．8．（5分）已知向量a→=（x，1），b→=（4，x），则“x＞0”是“向量A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；充分条件与必要条件．【答案】C【分析】将向量夹角为锐角转化为两向量数量积大于0求解，再将两向量同向的情况排除即可判定结论．【解答】解：由题意，若a→∥b→，则有x若向量a→与b→的夹角为锐角，则有a→所以4x+x＞0且x≠2，解得x∈（0，2）∪（2，+∞），故“x＞0”是“向量a→与b故选：C．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）下列说法错误的是（）A．过球心的截面是半径等于球的半径的圆面 B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 C．正四棱锥的侧面都是正三角形 D．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台【考点】棱台的结构特征；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合球、棱锥、棱柱、棱台的结构特征，即可求解．【解答】解：对于A，过球心的截面是半径等于球的半径的圆面，故A正确；对于B，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体，侧棱不一定平行，故B错误；对于C，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，故C错误；对于D，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体，还需满足棱延长后交于一点，故D错误．故选：BCD．（多选）10．（6分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的侧面积为5πC．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】ABC【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算即可．【解答】解：依题意球的表面积为4πR2，圆柱的侧面积为2π×R×2R＝4πR2，所以AC选项正确．圆锥的侧面积为π×R×R2+(2R圆锥的表面积为πR圆柱的表面积为4πR2+2πR2＝6πR2，所以D选项不正确．故选：ABC．（多选）11．（6分）在△ABC中，AB=3，B=60°，若满足条件的三角形有两个，则A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8【考点】正弦定理；解三角形．【答案】BC【分析】根据AB×sinB＜AC＜AB即可求解．【解答】解：根据题意可得：满足条件的△ABC有两个，可得AB×sinB＜AC＜AB⇒3故选：BC．三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知A，B，C三点在半径为5的球O的表面上，△ABC是边长为43的正三角形，则球心O到平面ABC的距离为3【考点】点、线、面间的距离计算．【答案】见试题解答内容【分析】△ABC所在截面圆的半径r=23(43)【解答】解：∵A，B，C三点在半径为5的球O的表面上，△ABC是边长为43∴△ABC所在截面圆的半径r=2∴球心O到平面ABC的距离：d=R故答案为：3．13．（5分）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为54π．【考点】圆柱的体积．【答案】54π．【分析】由题意知球的半径与圆柱底面圆半径相同，写出球的半径，得出圆柱的高，代入体积公式求解即可．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，由题意知：R＝r＝3，圆柱的高为2R＝6，所以圆柱的体积为πr2×2R＝π×9×6＝54π．故答案为：54π．14．（5分）在△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点．F为边AB上的点，且AB→=3AF→，若AD→=xAF→+yAE→，x，y∈R，则x＝【考点】平面向量的基本定理．【答案】见试题解答内容【分析】AD为△ABC的中线，从而有AD→=12(AB→【解答】解：如图，根据条件，AD→又AD→∴x=3故答案为：32四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过15．（13分）已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若z1z2（2）若|z1−z2|＜|z1【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用复数运算化简z1（2）化简Z1−Z2，由|Z1−Z2|＜|【解答】解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得Z1又因为Z1Z2所以，a=8（2）Z1又因为|Z1−即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，a＞316．（15分）如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，PB＝5，OB＝3．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．【考点】圆台的体积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用圆锥的表面积公式求解即可；（2）先计算出PO的长，从而得到PO'的长，然后利用圆台的体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，由锥体的体积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径r＝3，母线l＝5，所以该圆锥的表面积为S＝πr2+πrl＝π×32+π×3×5＝24π；（2）在Rt△POB中，PO=P因为O'是PO的中点，所以PO'＝2，则小圆锥的高h'＝2，小圆锥的底面半径r'=3故截得的圆台的体积V台＝V大﹣V小=117．（15分）已知平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠DAB＝60°，点E是线段BC的中点．（Ⅰ）求AB→（Ⅱ）若AF→=AE→+λ【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（I）AB→（II）λ=−1【分析】法一：（I）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法能求出结果．（II）AF→=AE→+λ法2：（I）利用向量数量积公式直接求解；（II）AF→=AE→+λAD→⇒EF→=λ【解答】解法1：（I）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，C(4，23AD→∴AB→（II）AF→∵BD⊥AF，∴BD→∴λ=−1法2：（I）AB→（II）AF→=AE而BD→⊥AF所以F与B重合，所以λ=−118．（17分）已知函数f(x)=sin（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2，f（C）＝1且C≠π2，求△【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【答案】（1）{x|kπ−π（2）（4，6]．【分析】（1）化简f（x），根据三角函数的图象与性质求出f（x）的单调递增区间；（2）由f（C）＝1，求出C的值，根据正弦定理求出a、b，再求△ABC的周长取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+3sinxcosx﹣2cos2x=32sin2x−32cos2x−1令2kπ−π2≤2x