2023-2024学年河南省周口市项城市五校高三(上)开学数学试卷(8月份)

2023-2024学年河南省周口市项城市五校高三（上）开学数学试卷（8月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|ex＞2}，，则A⋂B＝（）A．{x|ln2＜x＜3} B．{x|ln2＜x＜81} C．{x|0≤x＜3} D．{x|x＞e2}2．（5分）若复数z＝a+bi（a，b∈R）满足，则（）A．a＝0 B．b＝0 C．a+b＝0 D．a﹣b＝03．（5分）已知同一平面内的单位向量，，满足++＝，则|﹣|＝（）A． B． C． D．4．（5分）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悪，算水盆于下，则见四邻矣．”这是中国古代人民利用光的反射原理的实例，体现了传统文化中的数学智慧．光的反射原理可概述为：反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角．在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点（﹣2，0）射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设各项都为正数的无穷等差数列{an}的公差为d，且，则a5的最小值为（）A． B． C． D．6．（5分）已知圆锥SO的轴截面为正三角形，用平行于底面的平面截圆锥SO所得到的圆锥SO1与圆台O1O的体积之比为1：7，则圆锥SO1与圆台O1O的表面积之比为（）A． B． C． D．7．（5分）已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，点P在C的右支上，且满足PF⊥FA2，则tan∠A1PA2＝（）A． B．1 C． D．28．（5分）若函数f（x）＝ex+a+sinx+cosx在（0，+∞）单调递增，则a的最小值为（）A．﹣π B． C．﹣1 D．0二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知样本数据x1，x2，⋯，xn和样本数据y1，y2，⋯，yn满足yi＝axi+b（i＝1，2，⋯，n，0＜a＜1），则（）A．y1，y2，⋯，yn的平均数小于x1，x2，⋯，xn的平均数 B．y1，y2，⋯，yn的中位数小于x1，x2，⋯，xn的中位数 C．y1，y2，⋯，yn的标准差不大于x1，x2，⋯，xn的标准差 D．y1，y2，⋯，yn的极差不大于x1，x2，⋯，xn的极差（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移个单位长度得到的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（）A．ω＝2，φ＝ B．直线为f（x）的图象的一条对称轴 C．若f（x）在（﹣a，a）单调递增，则a的最大值为 D．对任意k＞0，关于x的方程总有奇数个不同的根（多选）11．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，f（0）＝1，且f（x﹣1）+f（x+1）＝f（x），则（）A． B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）以6为周期 D．（多选）12．（5分）已知球O的半径为2，点A，B，C是球O表面上的定点，且，，点D是球O表面上的动点，满足，则（）A．有且仅有一个点D使得∠CAD＝30° B．点O到平面ABC的距离为 C．存在点D使得BD∥平面AOC D．的取值范围为[﹣2，2]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数则＝．14．（5分）设，若，，则sin2α＝．15．（5分）一个不透明的盒子中有4个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，1个白球．从盒子中随机取两次球，每次取出1个球和2个球的概率均为，则最终盒子里只剩下1个球且是白球的概率为．16．（5分）已知椭圆的两个焦点为F1，F2．点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，△PF2Q的面积，则C的离心率的取值范围为．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S＝abtanC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝1，S＝，D为AB边的中点，求CD．18．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E，F，G，H分别为棱BB1，B1C1，C1D1，DD1的中点．（Ⅰ）证明：E，F，G，H四点在同一个平面内；（Ⅱ）若点P在棱CC1上且满足A1P⊥平面EFGH，求直线AP与平面B1BCC1所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{an}满足a1＝2，．（Ⅰ）设bn＝a2n﹣1，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，证明：c1+c2+⋯+cn﹣1+cn＜2．20．（12分）已知函数，a＞1．（Ⅰ）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）若x＝1为f（x）的极小值点，求a的取值范围．21．（12分）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有n（n∈N*）道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为．第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为X，第二轮答题的总得分为Y．（Ⅰ）若n＝30，求E（X）；（Ⅱ）证明：当n≥24时，E（X）＞E（Y）．22．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，以F为圆心作半径为1的圆，过F且倾斜角为的直线与抛物线E交于A，B两点，且．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为E上一点，过T作圆F的两条切线，分别交E于另外两点P，Q，直线PQ分别交x轴正半轴、y轴正半轴于M，N两点，求△MON面积的最小值．

2023-2024学年河南省周口市项城市五校高三（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|ex＞2}，，则A⋂B＝（）A．{x|ln2＜x＜3} B．{x|ln2＜x＜81} C．{x|0≤x＜3} D．{x|x＞e2}【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】B【分析】根据指数函数的性质以及根式的性质分别化简集合A和B，再由集合交集的定义求解即可．【解答】解：集合A＝{x|ex＞2}＝{x|x＞ln2}，＝{x|0≤x＜81}，则A⋂B＝{x|ln2＜x＜81}．故选：B．2．（5分）若复数z＝a+bi（a，b∈R）满足，则（）A．a＝0 B．b＝0 C．a+b＝0 D．a﹣b＝0【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：z＝a+bi，则，故，，∵，∴2a＝2bi•i＝﹣2b，即a+b＝0．故选：C．3．（5分）已知同一平面内的单位向量，，满足++＝，则|﹣|＝（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；向量的概念与向量的模．【答案】D【分析】将条件式移项后两边同时平方可得，再由和平面向量的数量积计算即可．【解答】解：因为同一平面内的单位向量，，满足++＝，所以，所以，化简可求得，所以＝＝＝．故选：D．4．（5分）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悪，算水盆于下，则见四邻矣．”这是中国古代人民利用光的反射原理的实例，体现了传统文化中的数学智慧．光的反射原理可概述为：反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角．在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点（﹣2，0）射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系．【答案】C【分析】求出（﹣2，0）关于y轴的对称点（2，0），设反射光线的方程，由圆心到直线的距离等于半径可得直线的斜率．【解答】解：因为（﹣2，0）关于y轴的对称点（2，0），由题意设反射光线的方程为x＝my+2，即x﹣my﹣2＝0，而圆x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圆心坐标（1，1），半径r＝，所以圆心（1，1）到直线的距离d＝＝，解得m＝1，所以直线的斜率k＝＝1．故选：C．5．（5分）设各项都为正数的无穷等差数列{an}的公差为d，且，则a5的最小值为（）A． B． C． D．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．【答案】C【分析】由条件以及等差数列的通项公式，将首项用公差表示，可得，再利用等差数列的通项公式，可得a5＝，再根据基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取等号）求其最小值即可．【解答】解：由题意，＝1+＝2d，所以，若2d﹣1＝0，则，又，所以d＝0，矛盾，故2d﹣1≠0，所以，由题意，，，所以2d﹣1＞0，所以a5＝a1+4d＝＝（2d﹣1）≥+2＝，当且仅当，即d＝时取等号，所以a5的最小值为．故答案为：C．6．（5分）已知圆锥SO的轴截面为正三角形，用平行于底面的平面截圆锥SO所得到的圆锥SO1与圆台O1O的体积之比为1：7，则圆锥SO1与圆台O1O的表面积之比为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】A【分析】根据题意，分析可得＝，作出圆锥的轴截面，设圆锥SO底面半径为2r，分析其母线长，和圆锥SO1的底面半径、母线长，进而求出圆锥SO1与圆台O1O的表面积，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆锥SO1与圆台O1O的体积之比为1：7，则圆锥SO1与圆锥SO的体积之比为1：8，则有＝，如图：由于圆锥SO的轴截面为正三角形，设圆锥SO底面半径为2r，则其母线SA＝4r，又由＝，则圆锥SO1底面半径为r，则其母线SA1＝2r，故圆锥SO1的表面积S1＝πr2+πr×（2r）＝3πr2，圆台O1O的表面积S1＝πr2+4πr2+π（r+2r）×2r＝11πr2，故圆锥SO1与圆台O1O的表面积之比为．故选：A．7．（5分）已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，点P在C的右支上，且满足PF⊥FA2，则tan∠A1PA2＝（）A． B．1 C． D．2【考点】双曲线的性质．【答案】A【分析】不妨设P在第一象限，由PF⊥FA2，得P（c，），分别求出∠A1PF与∠A2PF的正切值，再由两角差的正切求解．【解答】解：不妨设P在第一象限，由PF⊥FA2，得P（c，），则tan，tan，由题意，e＝，可得c＝2a，即c2＝a2+b2＝4a2，得b2＝3a2．∴tan∠A1PA2＝tan（∠A1PF﹣∠A2PF）＝＝＝＝．故选：A．8．（5分）若函数f（x）＝ex+a+sinx+cosx在（0，+∞）单调递增，则a的最小值为（）A．﹣π B． C．﹣1 D．0【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】B【分析】参变分离可得，令，利用导数求出函数g（x）的最大值，从而可得，由此得解．【解答】解：依题意，f′（x）＝ex+a+cosx﹣sinx≥0在（0，+∞）上恒成立，即ex+a≥sinx﹣cosx，可得，令，则，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）在时取得极大值，，所以当k＝0时，取得最大值，，所以，则．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知样本数据x1，x2，⋯，xn和样本数据y1，y2，⋯，yn满足yi＝axi+b（i＝1，2，⋯，n，0＜a＜1），则（）A．y1，y2，⋯，yn的平均数小于x1，x2，⋯，xn的平均数 B．y1，y2，⋯，yn的中位数小于x1，x2，⋯，xn的中位数 C．y1，y2，⋯，yn的标准差不大于x1，x2，⋯，xn的标准差 D．y1，y2，⋯，yn的极差不大于x1，x2，⋯，xn的极差【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【答案】CD【分析】根据数据的平均数、中位数，以及标准差和方差的定义和计算方法，逐项判断，即可求解．【解答】解：对于A，由题意，设数据x1，x2，⋯，xn的平均数为，数据y1，y2，⋯，yn的平均数为，因为yi＝axi+b（i＝1，2，⋯，n，0＜a＜1），所以＝a+b，所以不一定小于，故A错误；对于B，设数据x1，x2，⋯，xn的平均数为xm，数据y1，y2，⋯，yn的平均数为ym，因为yi＝axi+b（i＝1，2，⋯，n，0＜a＜1），所以ym＝axm+b，则ym不一定小于xm，故B错误；对于C，设数据x1，x2，⋯，xn的平均数为，数据y1，y2，⋯，yn的平均数为，因为yi＝axi+b（i＝1，2，⋯，n，0＜a＜1），所以，因为0＜a＜1，所以，可得，所以C正确；对于D，数据x1，x2，⋯，xn的极差为xmax﹣xmin，数据y1，y2，⋯，yn的极差为ymax﹣ymin，因为yi＝axi+b（i＝1，2，⋯，n，0＜a＜1），所以ymax﹣ymin＝a（xmax﹣xmin）＜xmax﹣xmin，故D正确．故选：CD．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移个单位长度得到的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（）A．ω＝2，φ＝ B．直线为f（x）的图象的一条对称轴 C．若f（x）在（﹣a，a）单调递增，则a的最大值为 D．对任意k＞0，关于x的方程总有奇数个不同的根【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】ABD【分析】首先根据函数的性质求函数的解析式，再利用整体代入的方法判断函数的对称轴，结合函数的单调区间，求a的值，最后利用数形结合，结合对称性，判断实数根的个数．【解答】解：对于A：由题意得＝＝，故ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）．将该图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin（2x+φ+）的图象，再根据得到的图象关于y轴对称，可得φ+＝kπ+，k∈Z．再根据0＜φ＜，可得φ＝，f（x）＝2sin（2x+），故A正确．对于B：令x＝，求得f（x）＝﹣2，为最小值，可得直线为f（x）的图象的一条对称轴，故B正确．对于C：若f（x）在（﹣a，a）单调递增，2x+∈（﹣2a+，2a+），故有﹣2a+≥﹣，且2a+≤，求得a≤，可得a的最大值为，故C错误．对于D：，所以函数关于（，0）对称，而也关于对称，所以两个函数图象必有一个交点，若有其他交点，交点也关于（，0）对称，所以交点个数是奇数个，方程总有奇数个不同的根，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，f（0）＝1，且f（x﹣1）+f（x+1）＝f（x），则（）A． B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）以6为周期 D．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质与判断．【答案】ABC【分析】利用代入法和消元法对各式进行分析．【解答】解：对于A，由题意得f（﹣1）+f（1）＝2f（1）＝f（0）＝1，所以f（1）＝，A正确；对于B，由f（x）＝f（x﹣1）+f（x+1）得f（x﹣1）＝f（x﹣2）+f（x），二式相减得f（x﹣2）＝﹣f（x+1），所以有f（x）＝﹣f（x+3），又f（x）是偶函数，所以有f（﹣x）＝﹣f（x+3），即f（﹣x）+f（x+3）＝0，即f（x）关于（，0）对称，B正确；对于C，由于f（x）＝﹣f（x+3），即f（x）＝﹣f（x+3）＝f（x+6），所以f（x）以6为周期，C正确；对于D，对于D，＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+…+f（2017）+f（2018）+f（2019）+f（2020）+f（2021）+f（2022）+f（2023）＝f（1）+f（2）+f（3）﹣f（1）﹣f（2）﹣f（3）+…+f（2017）+f（2018）+f（2019）﹣f（2017）﹣f（2018）﹣f（2019）+f（2023）＝f（2023）＝f（1）＝，D错误．故选：ABC．（多选）12．（5分）已知球O的半径为2，点A，B，C是球O表面上的定点，且，，点D是球O表面上的动点，满足，则（）A．有且仅有一个点D使得∠CAD＝30° B．点O到平面ABC的距离为 C．存在点D使得BD∥平面AOC D．的取值范围为[﹣2，2]【考点】平面向量数量积的性质及其运算；点、线、面间的距离计算．【答案】ABD【分析】对于B，先根据向量数量积公式得到AB＝BC＝，AC＝2，画出三棱锥O﹣ABC，设点O在平面ABC上的投影为Q，则OQ⊥平面ABC，设BQ＝QC＝m，由勾股定理列出方程，求出m＝，进而求出点O到平面ABC的距离；对于ABC，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【解答】解：对于B，∵＝，两边平方得：＝4+4﹣2＝10，∴AB＝||＝，同理，BC＝||＝，AC＝||＝2，画出三棱锥O﹣ABC，设点O在平面ABC上的投影为Q，则OQ⊥平面ABC，其中，Q为平面ABC的外心，连接BQ并延长，交AC于点E，则E为AC的中点，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，∴AE＝CE＝，由勾股定理得BE＝＝，∴BQ＝QC，设BQ＝QC＝m，则QE＝﹣m，由勾股定得QE2+CE2＝CQ2，即（﹣m）2+3＝m2，解得m＝＝，由勾股定理得OQ＝＝＝，∴点O到平面ABC的距离为，故B正确；对于A，以O为坐标原点，平行于QB的直线为x轴，平行于AC的直线为y轴，垂直于平面xoy的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则球O的方程为x2+y2+z2＝4，设B（，0，﹣），A（﹣，，﹣），C（﹣，﹣，﹣），∵＝0，∴＝＝0，解得＝＝12，设D（m，n，t），则m2+n2+t2＝4，当∠CAD＝30°时，＝，其中||＝2，∴||＝4，∴AD为直径，∴D（，﹣，），故有且仅有一个点D使得∠CAD＝30°，故A正确；对于C，设平面AOC的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（﹣，0，1），＝（m﹣，n，t+），∵＝2（n+）＝0，解得n＝﹣，∵m2+n2+t2＝4，∴m2+t2＝1，＝﹣，假设存在点D使得BD∥平面AOC，则有＝﹣＝0，∴t＝，代入m2+t2＝1，得（）2+m2＝1，整理得＝0，解得m＝或m＝，当m＝时，t＝﹣，∵|t|＝＞1，此时不满足m2+t2＝1，不合题意，当m＝时，此时不满足m2+n2＝1，不合要求，当m＝时，不满足m2+t2＝1，不合要求，∴不存在点D使得BD∥平面AOC，故C错误；对于D，•＝，其中m2+t2＝1，设m＝cosθ，n＝sinθ，θ∈[0，2π]，则＝cosθ﹣sinθ＝2cos（θ+φ），其中tanφ＝，∴＝2cos（θ+φ）∈[﹣2，2]，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数则＝3．【考点】函数的值．【答案】3．【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f（f（））的值．【解答】解：∵函数，∴f（）＝log3＝﹣1，∴f（f（））＝f（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝3．故答案为：3．14．（5分）设，若，，则sin2α＝．【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．【答案】．【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式即可求解．【解答】解：因为，若，＝cos（2），则，即，所以，sin（2）＝＝，则sin2α＝sin（2）＝[sin（2）+cos（2）]＝（）＝．故答案为：．15．（5分）一个不透明的盒子中有4个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，1个白球．从盒子中随机取两次球，每次取出1个球和2个球的概率均为，则最终盒子里只剩下1个球且是白球的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】．【分析】分两种情况，结合组合数公式，计算即可求得概率．【解答】解：第一种情况，第一次先拿1个红色球，第二次拿2个红色球，则概率；第二种情况，第一次先拿2个红色球，第二次拿1个红色球，则概率，综上可知，最终盒子里只剩下1个球且是白球的概率为．故答案为：．16．（5分）已知椭圆的两个焦点为F1，F2．点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，△PF2Q的面积，则C的离心率的取值范围为．【考点】椭圆的性质．【答案】．【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形PF1QF2为矩形，进而有四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn，再根据椭圆定义、勾股定理求PF1⋅PF2即可，列出不等式，转化求解离心率的范围即可．【解答】解：因为P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，并且c≥b，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a，所以m2+2mn+n2＝4a2，因为|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2−b2），所以mn＝2b2，因为四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝2b2，△PF2Q的面积，可得b2，2（a2﹣c2）≥c2，可得，又c≥b，可得c2≥a2﹣c2，可得e≥，所以e∈．故答案为：．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S＝abtanC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝1，S＝，D为AB边的中点，求CD．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（Ⅰ）C＝60°；（Ⅱ）CD＝．【分析】（Ⅰ）由已知结合三角形面积公式进行化简可求cosC，进而可求C；（Ⅱ）由已知结合三角形面积公式先求出ab，然后结合余弦定理可求a2+b2，再由向量的线性表示及向量数量积的性质可求．【解答】解：（Ⅰ）因为△ABC的面积为S＝abtanC＝absinC，所以sinC＝2tanC＝，因为sinC＞0，所以cosC＝，由C为三角形内角可得C＝60°；（Ⅱ）因为S＝ab＝，所以ab＝，因为c＝1，C＝60°，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣＝1，所以a2+b2＝，因为D为AB边的中点，所以＝（），所以＝（）＝（b2+a2+ab）＝（）＝，故CD＝||＝．18．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E，F，G，H分别为棱BB1，B1C1，C1D1，DD1的中点．（Ⅰ）证明：E，F，G，H四点在同一个平面内；（Ⅱ）若点P在棱CC1上且满足A1P⊥平面EFGH，求直线AP与平面B1BCC1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）连接B1D1，由平行四边形的判定推得四边形EB1D1H为平行四边形，再由平行公理可得FG∥EH，即可得证；（Ⅱ）以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，再由线面角的向量表示，计算可得所求值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，连接B1D1．由BE＝EB1，DH＝HD1，B1F＝FC1，D1G＝GC1，可得EB1∥D1H且EB1＝D1H，即四边形EB1D1H为平行四边形，由平行四边形的性质：对边平行，可得B1D1∥EH．又可得FG∥B1D1，所以FG∥EH，所以E，F，G，H四点在同一个平面内．（Ⅱ）由正四棱柱的定义可得底面ABCD为正方形，且侧棱垂直于底面，可以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz．由AB＝2，AA1＝4，可知A（2，2，0），E（0，2，2），F（0，1，4），A1（2，2，4），则，设P（0，0，t）（0≤t≤4），则．因为A1P⊥平面EFGH，所以，即﹣2+2（4﹣t）＝0，得t＝3．所以．易得平面B1BCC1的一个法向量为．设AP与平面B1BCC1所成的角为θ，则．19．（12分）已知数列{an}满足a1＝2，．（Ⅰ）设bn＝a2n﹣1，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，证明：c1+c2+⋯+cn﹣1+cn＜2．【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程见解析．【分析】（Ⅰ）利用bn＝a2n﹣1和关系式的变换求出数列的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．【解答】解：（I）由已知得，所以{bn}是首项为b1＝a1＝2，公比为的等比数列，所以．（II）由（I）可知，所以．20．（12分）已知函数，a＞1．（Ⅰ）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）若x＝1为f（x）的极小值点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（e，+∞）．【分析】（Ⅰ）将a＝e代入函数解析式，求导，利用导数的几何意义即可得解；（Ⅱ）对函数f（x）求导，分1＜a＜e，a＝e以及a＞e讨论即可得出答案．【解答】解：（I）当a＝e时，，则，则f′（1）＝0，又，所以切线方程为，即．（II），x＞0，令f′（x）＝0，则x＝1或．①当a＝e时，f′（x）≥0，无极值点；②当1＜a＜e时，，可知f（x）在（0，1）单调递增，在单调递减，在单调递增，故x＝1为f（x）的极大值点，不符合条件；③当a＞e时，，可知f（x）在单调递增，在单调递减，在（1，+∞）单调递增，故x＝1为f（x）的极小值点，符合条件．综上，a的取值范围为（e，+∞）．21．（12分）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有n（n∈N*）道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮每道题答对得20分，否则得0分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均为．第二轮每题答对的概率均为．设小明第一轮答题的总得分为X，第二轮答题的总得分为Y．（Ⅰ）若n＝30，求E（X）；（Ⅱ）证明：当n≥24时，E（X）＞E（Y）．【考点】离散型随机变量的期望与