2023-2024学年黑龙江省大庆中学高二(上)开学数学试卷

2023-2024学年黑龙江省大庆中学高二（上）开学数学试卷一、单选题1．集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|﹣2＜x＜5}，则M∩N＝（）A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，5，7，9}2．已知是数z满足（1+i）z﹣2i＝3，则对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设a∈R，则“a（a﹣3）＞0”是“a＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，边长为2的正方形O′A′B′C′是水平放置的平行四边形OABC的直观图，则平行四边形OABC的面积为（）A． B． C．4 D．85．已知a＝log0.23，b＝20.3，c＝0.30.2，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c6．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列φ值最符合的是（）A． B． C． D．8．已知定义在R上的偶函数f（x）的图像是连续的，f（x+6）+f（x）＝f（3），f（x）在区间[﹣6，0]上是增函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）的一个周期为6 B．f（x）在区间[12，18]上单调递增 C．f（x）的图像关于直线x＝12对称 D．f（x）在区间[﹣2022，2022]上共有100个零点二、多选题（多选）9．下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0” B．若正数a，b满足a+b＝1，则 C．函数的最小正周期是π D．半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于（多选）10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A．若a2+b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形 B．若sinA＞sinB，则A＞B C．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB（多选）11．已知a，b∈R，a＞0，b＞0，且a+b＝2，则下列说法正确的为（）A．ab的最小值为1 B．log2a+log2b≤0 C．2a+2b≥4 D．（多选）12．下列说法正确的是（）A．“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件 B．命题“∀x∈R+，”的否定是“∀x∈R+，” C．若cos2α+sin2β＝1，则α＝β D．的最大值为﹣2三、填空题13．函数的定义域为．14．已知，与的夹角为60°，则＝．15．，则＝．16．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的外接球的表面积为．四、解答题17．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若b+c＝4，△ABC的面积为，求a的值．18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求异面直线AB1与BC1所成的角的大小；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的大小．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．20．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式．（2）求函数的单调递增区间．（3）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：（1）PA⊥底面ABCD；（2）平面BEF∥平面PAD．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD＝CD＝4，PA＝3且∠ADB＝∠BAC＝30°．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求点A到平面PCD的距离．

2023-2024学年黑龙江省大庆中学高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|﹣2＜x＜5}，则M∩N＝（）A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4} D．{1，2，5，7，9}【考点】交集及其运算．【答案】A【分析】利用交集的定义求解即可．【解答】解：∵M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|﹣2＜x＜5}，∴M∩N＝{1，3}．故选：A．2．已知是数z满足（1+i）z﹣2i＝3，则对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算；共轭复数．【答案】A【分析】利用复数的运算化简复数z，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论．【解答】解：因为（1+i）z﹣2i＝3，则，则，因此，对应的点（，）位于第一象限．故选：A．3．设a∈R，则“a（a﹣3）＞0”是“a＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】先解不等式a（a﹣3）＞0可得a＞3或a＜0，然后检验充分性及必要性即可判断．【解答】解：由a（a﹣3）＞0可得a＞3或a＜0，故“a（a﹣3）＞0”是“a＞3”的必要不充分条件．故选：B．4．如图，边长为2的正方形O′A′B′C′是水平放置的平行四边形OABC的直观图，则平行四边形OABC的面积为（）A． B． C．4 D．8【考点】平面图形的直观图．【答案】B【分析】把直观图O'A'B'C'还原为原图形，求出平面四边形OABC的面积即可．【解答】解：把直观图O'A'B'C'还原为原图形，如图所示，则OA＝O′A′＝2，OB＝2O′B′＝4，∴原平面四边形OABC的面积为2×4＝8．故选：B．5．已知a＝log0.23，b＝20.3，c＝0.30.2，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵log0.23＜log0.21＝0，∴a＜0，∵20.3＞20＝1，∴b＞1，∵0＜0.30.2＜0.30＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：C．6．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】D【分析】根据空间中的平行关系逐项分析判断即可．【解答】解：对于A，若a∥α，b⊂α，则a可以与b平行，也可以与b异面，选项A错误；对于B，若a∥α，b∥β，α∥β，则a与b可以平行，可以相交，还可以异面，选项B错误；对于C，由面面平行的判定可知，若a⊂α，b⊂β，a∥b，不能推导出α∥β，选项C错误；对于D，若a⊄α，b⊂α，a∥b，则由线面平行的判定可知，a∥α，选项D正确．故选：D．7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列φ值最符合的是（）A． B． C． D．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】C【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，可判断出A；把点（，0）代入解析式化简后，由题意求出φ的值【解答】解：由图象得，A＝1，T＝﹣＝1，则T＝2，由T＝＝2得，ω＝π，因为过点（，0），所以sin（π+φ）＝0，则π+φ＝kπ（k∈Z），可得：φ＝﹣+kπ（k∈Z），又|φ|＜π，则φ＝或．由于当φ＝时，取x＝0，则f（0）＜0与题图不符，故φ＝．故选：C．8．已知定义在R上的偶函数f（x）的图像是连续的，f（x+6）+f（x）＝f（3），f（x）在区间[﹣6，0]上是增函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）的一个周期为6 B．f（x）在区间[12，18]上单调递增 C．f（x）的图像关于直线x＝12对称 D．f（x）在区间[﹣2022，2022]上共有100个零点【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】C【分析】由条件结合周期函数的定义证明函数f（x）为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判断B，C，并由零点的定义判断D．【解答】解：因为f（x+6）+f（x）＝f（3），取x＝﹣3，得f（3）+f（﹣3）＝f（3），故f（﹣3）＝0，又f（x）是偶函数，所以f（3）＝f（﹣3）＝0，所以f（x+6）+f（x）＝0，故f（x+12）＝﹣f（x+6）＝f（x），即f（x）的一个周期为12，故A项错误；又f（x）在区间[﹣6，0]上是增函数，所以f（x）在区间[0，6]上为减函数，由周期性可知，f（x）在区间[12，18]上单调递减，故B项错误；因为f（x）是偶函数，所以f（x）的图像关于y轴对称，由周期性可知f（x）的图像关于直线x＝12对称，故C项正确；因为f（x）在区间[﹣6，0]上是增函数，所以f（x）在区间[0，6]上为减函数，f（3）＝f（﹣3）＝0，由周期性可知，在区间[0，12]上，f（3）＝f（9）＝0，而区间[0，2016]上有168个周期，故f（x）在区间[0，2016]上有336个零点，又f（2019）＝f（3）＝0，所以f（x）在区间[0，2022]上有337个零点，由f（x）为偶函数，可知f（x）在区间[﹣2022，2022]上有674个零点，故D项错误．故选：C．二、多选题（多选）9．下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2≤0” B．若正数a，b满足a+b＝1，则 C．函数的最小正周期是π D．半径为1，圆心角为的扇形的弧长等于【考点】全称命题的否定；基本不等式及其应用；弧长公式；三角函数的周期性．【答案】BCD【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；利用基本不等式可判断B；利用三角函数的周期公式可判断C；利用扇形的弧长公式可判断D．【解答】解：命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”，故A错误；，当且仅当时，等号成立，故B正确；函数的最小正周期，故C正确；半径为1，圆心角为的扇形的弧长为，故D正确．故选：BCD．（多选）10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A．若a2+b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形 B．若sinA＞sinB，则A＞B C．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形 D．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB【考点】解三角形；三角形的形状判断；正弦定理；余弦定理．【答案】ABD【分析】选项A，利用余弦定理，可得cosC＜0，得解；选项B，结合正弦定理与“大边对大角”，即可得解；选项C，利用余弦定理，将acosA＝bcosB中的角化边，推出a＝b或a2+b2＝c2，从而知△ABC的形状；选项D，由，结合诱导公式，得解．【解答】解：对于选项A，由余弦定理知，，即角C为钝角，故选项A正确；对于选项B，因为sinA＞sinB，由正弦定理可得a＞b，所以A＞B，即选项B正确；对于选项C，由余弦定理及acosA＝bcosB，知，整理得（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，所以a＝b或a2+b2＝c2，即△ABC为等腰或直角三角形，故选项C错误；对于选项D，若△ABC为锐角三角形，则，所以，所以，即选项D正确．故选：ABD．（多选）11．已知a，b∈R，a＞0，b＞0，且a+b＝2，则下列说法正确的为（）A．ab的最小值为1 B．log2a+log2b≤0 C．2a+2b≥4 D．【考点】基本不等式及其应用．【答案】BC【分析】由基本不等式和乘“1”法、换元法，结合对勾函数的单调性，注意等号成立的条件，可得结论．【解答】解：选项A，只有当a＞0，b＞0时，不等式2＝a+b≥2，即ab≤1，当且仅当a＝b时取最大值1，即A错误；选项B，log2a+log2b＝log2ab≤log21＝0，当且仅当a＝b时时取＝，即B正确；选项C，2a+2b≥2＝2＝2×＝4，当且仅当a＝b时取＝，即C正确；选项D，＝（）（a+b）＝（1+++2）≥（3+2）＝（3+2），当且仅当a＝b时取＝，即D错误．故选：BC．（多选）12．下列说法正确的是（）A．“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件 B．命题“∀x∈R+，”的否定是“∀x∈R+，” C．若cos2α+sin2β＝1，则α＝β D．的最大值为﹣2【考点】充分条件与必要条件；全称命题的否定；命题的真假判断与应用．【答案】AD【分析】由充分条件和必要条件的定义判断A，由全称命题的否定为特称命题判断B，根据同角三角函数间的基本关系判断C，利用换元法，结合对数函数的单调性判断D．【解答】解：对于A，当a＞b时，取a＝﹣2，b＝﹣3，此时a2＜b2，所以a＞b推不出a2＞b2，当a2＞b2时，取a＝﹣3，b＝2，此时a＜b，所以a2＞b2推不出a＞b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于B，命题“∀x∈R+，”是一个全称命题，其否定是“∃x∈R+，”，故B错误；对于C，因为cos2α+sin2β＝1，所以sin2β＝1﹣cos2α＝sin2α，所以|sinα|＝|sinβ|，当α＝0，β＝π时，|sinα|＝|sinβ|＝0，所以由cos2α+sin2β＝1不能得到α＝β，故C错误；对于D，令t＝﹣x2，则y＝log2t，由0＜，得0，因为函数y＝log2t在（0，]上单调递增，所以函数y＝的最大值为＝＝﹣2，故D正确．故选：AD．三、填空题13．函数的定义域为（0，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【答案】（0，2）．【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域．【解答】解：由题意得，解得0＜x＜2，故定义域为（0，2）．故答案为：（0，2）．14．已知，与的夹角为60°，则＝0．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】0．【分析】根据向量数量积运算求得正确答案．【解答】解：因为，与的夹角为60°，则，所以＝．故答案为：0．15．，则＝4．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】4．【分析】由题意，根据诱导公式化简求解即可．【解答】解：由诱导公式，，显然cosα≠0，故，解得．则．故答案为：4．16．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的外接球的表面积为14π．【考点】球的体积和表面积．【答案】14π．【分析】以PA，AB，AD为棱作长方体，长方体的对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．【解答】解：如图，以PA，AB，AD为棱作长方体，则长方体的对角线即为该“阳马”的外接球的直径，设直径为R，则（2R）2＝32+22+12＝14，所以4R2＝14，所以该“阳马”的外接球的表面积为S＝4πR2＝14π．故答案为：14π．四、解答题17．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若b+c＝4，△ABC的面积为，求a的值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得bc＝6，结合余弦定理即可得到结果．【解答】解：（1）原式化简可得：sin2B﹣2sinBsinC+sin2C＝sin2A﹣sinBsinC，整理得：sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，∴，∵A∈（0，π），∴；（2）∵，∴bc＝2，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc＝16﹣6＝10，∴．18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求异面直线AB1与BC1所成的角的大小；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）作出异面直线AB1与BC1所成的角，即可得出角的大小．（2）判断二面角C1﹣AB﹣C的平面角，结合正方体的性质求得角的大小．【解答】解：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BD，DC1，∵DC1∥AB1，∴∠DC1B是异面直线AB1与BC1所成的角，∵三角形BDC1是等边三角形，∴，∴异面直线AB1与BC1所成的角的大小为．（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC是二面角C1﹣AB﹣C的平面角，根据正方体的性质可知，∴二面角C1﹣AB﹣C的大小为．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行．【答案】见试题解答内容【分析】（1）取PD的中点G，连接AG，FG，则由中位线定理可知四边形AEFG是平行四边形，于是EF∥AG，从而得出EF∥平面PAD；（2）由PD⊥平面ABCD得出PD⊥CE，由勾股定理的逆定理得出CE⊥DE，于是CE⊥平面PDE，故而平面PDE⊥平面PEC．【解答】证明：（1）取PD的中点G，连接AG，FG．∵F，G分别是PC，PD的中点，∴GF∥DC，GF＝DC，又E是AB的中点，∴AE∥DC，且AE＝DC，∴GF∥AE，且GF＝AE，∴四边形AEFG是平行四边形，故EF∥AG．又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）∵PD⊥底面ABCD，EC⊂底面ABCD，∴CE⊥PD．∵四边形ABCD是矩形，AB＝2AD，∴DE＝AD，CE＝AD，CD＝2AD，∴DE2+CE2＝CD2，即CE⊥DE，又PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，PD∩DE＝D，∴CE⊥平面PDE．∵CE⊂平面PEC，∴平面PDE⊥平面PEC．20．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式．（2）求函数的单调递增区间．（3）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由函数f（x）的图象求得A、T和ω、φ的值，即可写出函数的解析式；（2）由三角函数的图象与性质，即可求f（x）的单调递增区间；（3）根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的取值范围即可．【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象知，A＝2，T＝2×（﹣）＝π，所以＝π，解得ω＝2；由函数图象过点（，0），得2sin（+φ）＝0，则+φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝，所以函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+）；（2）由函数f（x）的解析式，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（3）当x∈[0，]时，2x∈[0，π]，则（2x+）∈[，]，所以sin（2x+）∈[﹣，1]，则f（x）＝2sin（2x+）的取值范围是[﹣1，2]．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD