2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∪B＝（）A．（0，2） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，4] D．（﹣1，4]2．（5分）若复数z满足zi＝2+i，则z的虚部为（）A．2i B．﹣2i C．﹣2 D．23．（5分）在等差数列{an}中，若a2+a6＝10，a5＝9，则a10＝（）A．20 B．24 C．27 D．294．（5分）“θ＝+2kπ，k∈Z”是“sinθ＝”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列命题中，真命题是（）A．函数y＝sin|x|的周期为2π B．∀x∈R，2x＞x2 C．“a+b＝0”的充要条件是“” D．函数y＝ln是奇函数6．（5分）设a＞0，b＞0，是lg4a与lg2b的等差中项，则的最小值为（）A． B．3 C．4 D．97．（5分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则•的最小值为（）A．27 B．0 C． D．8．（5分）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于R0＞1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数R0＝3，平均感染周期为7天（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，经过一个周期后这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（）（参考数据：36＝729，45＝1024）A．35 B．42 C．49 D．56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，下列说法正确的是（）A．数列为等比数列 B． C．数列{an}是递减数列 D．{an}的前n项和（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（）A．在△ABC中，，，，若，则△ABC为锐角三角形 B．非零向量和满足，||＝|+|＝2，则 C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 D．在△ABC中，若，则△AOC与△AOB的面积之比为（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，π]），则（）A．若，则 B．若函数y＝f（x）为偶函数，则cos2φ＝1 C．若f（x）在[a，b]上单调，则 D．若时，且f（x）在上单调，则（多选）12．（5分）已知，若f（x）≥0恒成立，则不正确的是（）A．f（x）的单调递增区间为（0，6π） B．方程f（x）＝m可能有三个实数根 C．若函数f（x）在x＝x0处的切线经过原点，则x0＝tanx0 D．过f（x）图象上任何一点，最多可作函数f（x）的8条切线三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，则{an}的通项公式为an＝．14．（5分）已知△ABC的面积，，则＝．15．（5分）若，则＝．16．（5分）A＝（a1，a2，a3，⋅⋅⋅，an），ai∈{﹣1，0，1}{i＝1，2，3，⋅⋅⋅，n}为一个有序实数组，f（A）表示把A中每个﹣1都变为﹣1，0，每个0都变为﹣1，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：A＝（﹣1，0，1），则f（A）＝（﹣1，0，﹣1，1，0，1）．定义Ak+1＝f（Ak），k＝1，2，3，⋅⋅⋅，若A1＝（﹣1，1），An中有bn项为1，则{bn}的前2n项和为．四、解答题：本题共有6个小题，共70分.17．（10分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，且点E，F分别为AB和PD中点．（1）求证：直线AF∥平面PEC；（2）求PB与平面PAD所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，且．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列的前n项和为Sn，且，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S△ABC．已知①，②（sinB+sinA）（sinB﹣sinA）＝sinC（sinC+sinA），③（c+2a）cosB＝﹣bcosC，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B；（2）若，求a2+c2的取值范围．21．（12分）已知等差数列{an}满足a2＝2a1，且a1，a3﹣2，a4成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．若{an}的公差为整数，且，求Tn．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+mx，m∈R．（1）当m＝﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当x∈（1，+∞）时，若不等式恒成立，求m的取值范围；（3）设n∈N*，证明：．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∪B＝（）A．（0，2） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，4] D．（﹣1，4]【考点】指、对数不等式的解法；一元二次不等式及其应用；并集及其运算．【答案】D【分析】解不等式可得集合A，B，根据集合的并集运算即得答案．【解答】解：因为A＝{x|log2x≤2}＝（0，4]，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝（﹣1，2），所以A⋃B＝（﹣1，4]．故选：D．2．（5分）若复数z满足zi＝2+i，则z的虚部为（）A．2i B．﹣2i C．﹣2 D．2【考点】复数的运算．【答案】C【分析】结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．【解答】解：∵zi＝2+i，∴，∴z的虚部为﹣2．故选：C．3．（5分）在等差数列{an}中，若a2+a6＝10，a5＝9，则a10＝（）A．20 B．24 C．27 D．29【考点】等差数列的通项公式．【答案】D【分析】由通项公式得，解出a1，d即可．【解答】解：设公差为d，则，解得，所以a10＝a1+9d＝﹣7+36＝29．故选：D．4．（5分）“θ＝+2kπ，k∈Z”是“sinθ＝”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；任意角的三角函数的定义．【答案】A【分析】要注意sinθ＝＞0，θ角的终边还可以在第二象限，再利用充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：θ＝+2kπ，k∈Z，则sinθ＝，反之，若sinθ＝，可得θ＝+2kπ或θ＝+2kπk∈Z，反之不成立，则“θ＝+2kπ，k∈Z”是“sinθ＝”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）下列命题中，真命题是（）A．函数y＝sin|x|的周期为2π B．∀x∈R，2x＞x2 C．“a+b＝0”的充要条件是“” D．函数y＝ln是奇函数【考点】命题的真假判断与应用．【答案】D【分析】分析函数的周期性，可判断A；举出反例x＝2，可判断B；根据充要条件的定义，可判断C；分析函数的奇偶性，可判断D．【解答】解：函数y＝sin|x|不是周期函数，故A是假命题；当x＝2时2x＝x2，故B是假命题；“a+b＝0”的必要不充分条件是“”，故C是假命题；函数y＝f（x）＝ln的定义域（﹣2，2）关于原点对称，且满足f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，即D是真命题．故选：D．6．（5分）设a＞0，b＞0，是lg4a与lg2b的等差中项，则的最小值为（）A． B．3 C．4 D．9【考点】基本不等式及其应用；等差数列的通项公式．【答案】D【分析】根据等差中项的定义建立a，b的关系，然后利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：∵是lg4a与lg2b的等差中项，∴2＝lg4a+lg2b，即lg2＝lg4a•2b，∴4a•2b＝22a+b＝2，即2a+b＝1．∵＝（）×1＝（）（2a+b）＝4+1+∴，当且仅当即a＝b＝时取等号，∴的最小值为9．故选：D．7．（5分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则•的最小值为（）A．27 B．0 C． D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A，C，D的坐标，再设出点M的坐标，将所求问题转化为函数的最小值问题即可．【解答】解：由题意，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．∵AB＝AC＝5，BC＝6，D为AC中点，∴C（3，0），A（0，4），D（，2），又点M在BC边上运动，可设M（t，0），其中t∈[﹣3，3]，∴＝（﹣t，2），＝（3﹣t，0），故＝（）×（3﹣t）＝t2﹣t+＝﹣，t∈[﹣3，3]，∴当t＝时，上式有最小值﹣．故选：D．8．（5分）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于R0＞1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数R0＝3，平均感染周期为7天（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，经过一个周期后这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（）（参考数据：36＝729，45＝1024）A．35 B．42 C．49 D．56【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】B【分析】根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．【解答】解：设感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，则每轮新增感染为，经过n轮感染，总感染人数为＝，∵R0＝3，∴当感染人数增加到1000人时，，化简可得3n＝667，∵35＝243，36＝729，∴n＝6，∵平均感染周期为7天，∴感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为6×7＝42天．故选：B．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，下列说法正确的是（）A．数列为等比数列 B． C．数列{an}是递减数列 D．{an}的前n项和【考点】等比数列的性质；数列递推式．【答案】AB【分析】推导出an+1+＝3（an+），＝，从而数列为首项为，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：∵数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣3an﹣1＝0，n∈N*，∴an+1＝3an+1，∴an+1+＝3（an+），∵＝，∴数列为首项为，公比为3的等比数列，故A正确；＝＝，∴，故B正确；数列{an}是递增数列，故C错误；数列的前n项和为：Sn′＝＝（3n﹣1）＝﹣，∴{an}的前n项和Sn＝Sn'﹣＝﹣﹣，故D错误．故选：AB．（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（）A．在△ABC中，，，，若，则△ABC为锐角三角形 B．非零向量和满足，||＝|+|＝2，则 C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 D．在△ABC中，若，则△AOC与△AOB的面积之比为【考点】平面向量数量积的性质及其运算；命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模．【答案】BD【分析】利用向量的数量积判断角的大小，判断A的正误；利用向量的模的运算法则求解判断B的正误；利用向量的数量积，转化求解λ的范围判断C的正误；通过向量关系，转化求解三角形的面积的比值，判断D的正确即可．【解答】解：对于A，在△ABC中，，，，若，说明C是锐角，不能判断B、A的大小，所以判断△ABC为锐角三角形是不正确的，所以A不正确；对于B，非零向量和满足，||＝|+|＝2，可得2+＝4，可得＝﹣1，＝1+1+4＝6，所以，所以B正确；对于C，因为，，且与的夹角为锐角，所以＞0，且与不共线，所以•（）＝（1，2）•（1+λ，2+λ）＝1+λ+4+2λ＞0，所以λ＞﹣，当与共线时，2（1+λ）＝2+λ，解得λ＝0，所以λ的取值范围为λ＞﹣且λ≠0，所以C不正确；对于D，△ABC中，，所以2（）＝﹣3（），分别取AC、BC的中点D，E，连接OD、OE和AE，则2＝﹣3，所以＝，所以＝，所以＝．又因为＝，所以＝．同理，所以，所以＝，所以D正确．故选：BD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，π]），则（）A．若，则 B．若函数y＝f（x）为偶函数，则cos2φ＝1 C．若f（x）在[a，b]上单调，则 D．若时，且f（x）在上单调，则【考点】余弦函数的图象．【答案】BD【分析】将x＝0代入f（x）求出函数值，根据φ的范围即可判断选项A；根据偶函数的性质即可判断选项B；根据f（x）在[a，b]上单调，则即可判断选项C；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D．【解答】解：对于选项A，若，则，即，∵φ∈[0，π]，∴，则A错误；对于选项B，若函数y＝f（x）为偶函数，则φ＝0或φ＝π，即cos2φ＝1，则B正确；对于选项C：若f（x）在[a，b]上单调，则，但不一定小于，则C错误；对于选项D：若，则f（x）＝﹣2sinωx，当时，，∵f（x）在上单调，∴，解得，则D正确．故选：BD．（多选）12．（5分）已知，若f（x）≥0恒成立，则不正确的是（）A．f（x）的单调递增区间为（0，6π） B．方程f（x）＝m可能有三个实数根 C．若函数f（x）在x＝x0处的切线经过原点，则x0＝tanx0 D．过f（x）图象上任何一点，最多可作函数f（x）的8条切线【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】ABC【分析】A选项，根据函数的图象在x轴上方，得到a≥1，画出函数图象得单调区间；B选项，结合函数图象得到方程f（x）＝m的根的个数；C选项，分x∈[0，6π）和x∈[6π，7π]两种情况，得到x0＝tanx0或1﹣cosx0＝x0sinx0；D选项，设f（x）上一点M（x1，ax1﹣sinx1）分M为切点和不是切点，结合函数图像可得过f（x）图象上任何一点，最多可作函数f（x）的8条切线．【解答】解：A选项，函数的图象恒在x轴上方，当x∈[6n，7π]时，因为1﹣cosx≥0恒成立，所以y＝3πa（1﹣cosx）要想恒正，则要满足a≥0，x∈[0，6π）时，y＝ax﹣sinx≥0恒成立，y′＝a﹣cosx，当a≥1时，y′＝a﹣cosx≥0在[0，6π）恒成立，故y＝ax﹣sinx在[0，6π）单调递增，又当x＝0时，y＝0，故y＝ax﹣sinx≥0在[06π）上恒成立，满足要求，当0＜a＜1时，令y′＝a﹣cosx＝0，故存在x0∈（0，），使得a＝cosx0，当x∈（0，x0）时，y′＜0，x∈（x0，）时，y′＞0，故y＝ax﹣sinx在x∈（0，x0）上单调递减，又当x＝0时，y＝0，故x∈（0，x0）时，y＝ax﹣sinx＜0，不合题意，舍去，综上，a≥1，当x→6π时，y＝ax﹣sinx→6πa，f（6π）＝3πa[1﹣cos（6π）]＝0，且f（7π）＝3πa[1﹣cos（7π）]＝6πa，画出函数图象如下：故f（x）的单调递增区间为（0，6π），（6π，7π），故A不正确；B选项，可以看出方程f（x）＝m最多有两个实数解，不可能有三个实数根，故B不正确；C选项，当x∈[0，6π）时，f′（x）＝a﹣cosx，则f′（x0）＝a﹣cosx0，则函数f（x）在x＝x0处的切线方程为y﹣（ax0﹣sinx0）＝（a﹣cosx0）（x﹣x0），将（0，0）代入切线方程得﹣（ax0﹣sinx0）＝﹣x0（a﹣cosx0），解得x0＝tanx0，当x∈[6π，7π]时，f′（x）＝3πasinx，则f′（x0）＝3πasinx0，则函数f（x）在x＝x0处的切线方程为y﹣[3πa（1﹣cosx0）]＝3πaasinx0（x﹣x0），将（0，0）代入切线方程得1﹣cosx0＝x0sinx0，其中x0＝6π，满足上式，不满足x0＝tanx0，故C不正确；D选项，当x∈[0，6π）时，设f（x）上一点M（x1，ax1﹣sinx1），则f′（x1）＝a﹣cosx1，故切线方程为y﹣（ax1﹣sinx1）＝（a﹣cosx1）（x﹣x1），此时有一条切线，当切点不为M（x1，ax1﹣sinx1）时，设切点为N（x2，ax2﹣sinx2），则f′（x2）＝a﹣cosx2，此时有，即，其中t＝表示直线NN的斜率，画出y＝cosx，x∈[0，6π）与y＝t的图象：最多有6个交点，故可作6条切线，x∈[6π，7π）时，当切点不为M（x1，ax1﹣sinx1）时，设切点N（x2，3πa（1﹣cosx2）），则f′（x）＝3πasinx，f′（x2）＝3πasinx2，f′（7π）＝3πasin7π＝0，f′（6π）＝3πasin6π＝0，，结合图象可得，存在一个点N（x2，3πa（1﹣cosx2））使得过点N（x2，3πa（1﹣cosx2））的切线过x∈[6π，7π]上时的函数图像上的一点，故可得一条切线，当M点在x∈[6π，7π]时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过f（x）图象上任何一点，最多可作函数f（x）的8条切线，故D正确．故选：ABC．三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，则{an}的通项公式为an＝2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式；数列递推式．【答案】见试题解答内容【分析】由Sn＝2an﹣1和Sn+1＝2an+1﹣1相减得an+1＝2an+1﹣2an，所以，由此可求出数列{an}的通项公式．【解答】解：由Sn＝2an﹣1，得Sn+1＝2an+1﹣1，二式相减得：an+1＝2an+1﹣2an，∴，∴数列{an}是公比为2的等比数列，又∵S1＝2a1﹣1，∴a1＝1，∴an＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．14．（5分）已知△ABC的面积，，则＝2．【考点】正弦定理；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】由三角形的面积公式S△ABC＝＝可求，由向量的数量积的定义可求【解答】解：∵S△ABC＝＝∴＝4∴＝＝2故答案为：215．（5分）若，则＝﹣．【考点】二倍角的三角函数．【答案】﹣．【分析】由题意利用二倍角公式、诱导公式，计算求得结果．【解答】解∵，∴．∵，∴，故答案为：﹣．16．（5分）A＝（a1，a2，a3，⋅⋅⋅，an），ai∈{﹣1，0，1}{i＝1，2，3，⋅⋅⋅，n}为一个有序实数组，f（A）表示把A中每个﹣1都变为﹣1，0，每个0都变为﹣1，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：A＝（﹣1，0，1），则f（A）＝（﹣1，0，﹣1，1，0，1）．定义Ak+1＝f（Ak），k＝1，2，3，⋅⋅⋅，若A1＝（﹣1，1），An中有bn项为1，则{bn}的前2n项和为．【考点】数列的求和．【答案】．【分析】设An中有cn项为0，其中1和﹣1的项数相同都为bn，由已知条件可得①，bn＝bn﹣1+cn﹣1（n≥2）②，进而可得③，再结合④可得，分别研究n为奇数与n为偶数时{bn}的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果．【解答】解：因为A1＝（﹣1，1），依题意得，A2＝（﹣1，0，0，1），A3＝（﹣1，0，﹣1，1，﹣1，1，0，1），显然，A1中有2项，其中1项为﹣1，1项为1，A2中有4项，其中1项为﹣1，1项为1，2项为0，A3中有8项，其中3项为﹣1，3项为1，2项为0，由此可得An中共有2n项，其中1和﹣1的项数相同，设An中有cn项为0，所以，b1＝1，从而①，因为f（A）表示把A中每个﹣1都变为﹣1，0，每个0都变为﹣1，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则bn＝bn﹣1+cn﹣1（n≥2）②，①+②得，③，所以④，④﹣③得，，所以当n为奇数且n≥3时，，经检验n＝1时符合，所以（n为奇数），当n为偶数时，则n﹣1为奇数，又因为，所以，所以，当n为奇数时，，所以{bn}的前2n项和为．故答案为：．四、解答题：本题共有6个小题，共70分.17．（10分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦函数的单调性；两角和与差的三角函数；向量的概念与向量的模．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可得sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可得＝+sin2x＝4sin2x，＝cos2x+sin2x＝1，由，可得4sin2x＝1，即sin2x＝．∵x∈[0，]，∴sinx＝，即x＝．（2）∵函数＝（sinx，sinx）•（cosx，sinx）＝sinxcosx+sin2x＝sin2x+＝sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝，sin（2x﹣）+取得最大值为1+＝．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，且点E，F分别为AB和PD中点．（1）求证：直线AF∥平面PEC；（2）求PB与平面PAD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）取PC的中点M，根据题意证得AE∥MF且AE＝MF，得到四边形AEMF为平行四边形，从而得到AE∥ME，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面PAD的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解．【解答】（1）证明：取PC的中点M，连接MF，EM，在△PCD中，因为M，F分别为PC，PD的中点，可得MF∥CD且，又因为E为AB的中点，所以AE∥CD且，所以AE∥MF且AE＝MF，所以四边形AEMF为平行四边形，所以AE∥ME，因为ME⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE．（2）解：因为底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，连接BD，可得△ABD为等边三角形，又因为E为AB的中点，所以DE⊥AB，则DE⊥DC，又由PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DE，DC，DP所在的直线分别为x，y和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD＝1，可得，则，设平面PAD的法向量为，则，取，可得y＝3，z＝0，所以，设直线PB与平面PAD所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为．19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，且．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列的前n项和为Sn，且，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）．【分析】（1）利用裂项相消法求解即可；（2）求出{bn}的通项公式，再利用错位相减求和法求解即可．【解答】解：（1）因为，所以＝，所以an＝2n﹣1．（2）因为，所以当n＝1时，，得b1＝1，当n≥2时，，所以（n＝1时也成立）．因为，所以，所以＝1+2×＝，故．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S△ABC．已知①，②（sinB+sinA）（sinB﹣sinA）＝sinC（sinC+sinA），③（c+2a）cosB＝﹣bcosC，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B；（2）若，求a2+c2的取值范围．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）B＝（2）a2+c2的取值范围是[8，12）．【分析】（1）选①：根据数量积公式及三角形面积公式化简求出tanB，即可得出答案；选②：由正弦定理及余弦定理求解，即可得出答案；选③：由正弦定理及三角恒等变换，即可得出答案；（2）由余弦定理及均值不等式，即可得出答案．【解答】解：（1）选①：∵，∴，故有，又∵B∈（0，π），∴；选②：∵（sinB+sinA）（sinB﹣sinA）＝sinC（sinC+sinA），由正弦定理得c2+ac＝b2﹣a2，∴由余弦定理得，又B∈（0，π），∴；选③：∵（c+2a）cosB＝﹣bcosC，由正弦定理得（sinC+2sinA）cosB＝﹣sinBcosC，∴2sinAcosB＝﹣sinBcosC﹣sinCcosB＝﹣sin（C+B）＝﹣sinA，∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴，又B∈（0，π），∴；（2）由（1）得，∵，∴由余弦定理得c2+a2＝b2+2accosB＝12﹣ac，∵ac＞0，∴