2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期中数学试卷一、单选题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共40分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数02．（5分）如图，在矩形ABCD中，AO→A．AB→ B．AC→ C．AD→3．（5分）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）4．（5分）在△ABC中，D点为边BC中点，记AB→=a→，A．2（a→+b→） B．2（a→−b→） C．125．（5分）棱长均为1的正四面体的表面积是（）A．3 B．23 C．33 D．436．（5分）在△ABC中，AB＝5，BC＝2，∠B＝60°，则AB→•BCA．53 B．5 C．−537．（5分）直线m与平面α平行，且直线a⊂α，则直线m和直线a的位置关系不可能为（）A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点8．（5分）已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=3A．6 B．8 C．10 D．14二、多选题（每小题有多个选项符合题意，全选对每小题5分，选对不全的每题3分，有选错的每题0分，共15分）（多选）9．（5分）已知向量a→=(2，0)，A．a→⋅b→=−2 B．a→（多选）10．（5分）已知某球的表面积为16π，则下列说法中正确的是（）A．球的半径为2 B．球的体积为10π C．球的体积为323π（多选）11．（5分）分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆不可能三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）已知a→=（1，2），b→=（x，4）且a→•b13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA=bc，则△ABC的形状是14．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为92π，则该圆锥的体积为四、解答题（每题10分，每小问5分，共30分）15．（10分）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm．（1）求纸篓的容积；（2）现有制作这种纸篓的塑料制品100cm2，请问最多可以做这种纸篓多少个？（假设塑料制品没有浪费）．16．（10分）如图，已知△ABC中，AB=362，∠ABC（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．17．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，M，N，P分别为A1B1，AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求三棱锥B﹣PMN的体积．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共40分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0【考点】平面向量的概念与平面向量的模．【答案】C【分析】由向量的模、零向量及单位向量的定义，直接判断选项即可．【解答】解：零向量的模长为0，不是正实数，故A错误；根据零向量的定义可知：零向量方向是任意的，故B错误；模长为1个单位长度的向量叫单位向量，故C正确；向量是既有大小又有方向的量，不是实数，故D错误．故选：C．2．（5分）如图，在矩形ABCD中，AO→A．AB→ B．AC→ C．AD→【考点】平面向量的加法．【答案】B【分析】根据向量加法法则以及向量相等的定义进行转化求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，AD→则AO→故选：B．3．（5分）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【考点】棱柱的结构特征；构成空间几何体的基本元素．【答案】A【分析】结合棱柱的定义，即可求解．【解答】解：由棱柱的定义可知，（1）（3）（5）满足棱柱的定义．故选：A．4．（5分）在△ABC中，D点为边BC中点，记AB→=a→，A．2（a→+b→） B．2（a→−b→） C．12【考点】平面向量的基本定理．【答案】D【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出【解答】解：△ABC中，D点为边BC中点，记AB→=a→，AC→=b→，则故选：D．5．（5分）棱长均为1的正四面体的表面积是（）A．3 B．23 C．33 D．43【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】A【分析】由题意，该正四面体每一个面均为边长等于1的等边三角形，其面积等于S1=12×【解答】解：∵正四面体的棱长均为1∴正四面体每一个面均为边长等于1的等边三角形，其面积S1=12因此正四面体的表面积是S＝4S1=故选：A．6．（5分）在△ABC中，AB＝5，BC＝2，∠B＝60°，则AB→•BCA．53 B．5 C．−53【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可．【解答】解：在△ABC中，AB＝5，BC＝2，∠B＝60°，则AB→•BC→=|AB→||BC→|cos（π故选：D．7．（5分）直线m与平面α平行，且直线a⊂α，则直线m和直线a的位置关系不可能为（）A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】C【分析】由直线与平面平行的定义可得m与平面α没有公共点，即可判断C与D；结合没有公共点的直线可能平行也可能异面判断A与B．【解答】解：∵直线m与平面α平行，∴m与平面α没有公共点，又直线a⊂α，∴m与a没有公共点，故C错误，D正确；直线m与直线a没有公共点，则m与a可能平行，也可能异面，故A与B都有可能．故选：C．8．（5分）已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=3A．6 B．8 C．10 D．14【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】B【分析】根据向量的数量积运算以及运算法则，即可得出答案．【解答】解：∵|a→|=2，|b→|=3∴a→∴(a故选：B．二、多选题（每小题有多个选项符合题意，全选对每小题5分，选对不全的每题3分，有选错的每题0分，共15分）（多选）9．（5分）已知向量a→=(2，0)，A．a→⋅b→=−2 B．a→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】AC【分析】根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．【解答】解：a→⋅b2×（﹣1）≠0×（﹣1），故B错误；a→所以b→⊥(a|a→|=2，|故选：AC．（多选）10．（5分）已知某球的表面积为16π，则下列说法中正确的是（）A．球的半径为2 B．球的体积为10π C．球的体积为323π【考点】球的体积和表面积．【答案】AC【分析】根据已知条件求得球的半径，从而求得球的体积．【解答】解：设球的半径为r，r＞0，则4πr2＝16π，r＝2，所以球的体积为4π3所以AC选项正确，BD选项错误．故选：AC．（多选）11．（5分）分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆不可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】ABC【分析】利用空间中两直线的位置关系求解．【解答】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；故选：ABC．三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）已知a→=（1，2），b→=（x，4）且a→•b→=【考点】平面向量数量积的坐标运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用向量的数量积曲线x，然后求解向量的模．【解答】解：a→=（1，2），b→=（x，4）且可得x+8＝10．解得x＝2，a→|a→−b故答案为：5．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA=bc，则△ABC的形状是【考点】三角形的形状判断．【答案】见试题解答内容【分析】利用余弦定理表示出cosA，把cosA代入已知等式，整理得到c2＝a2+b2，即可确定出三角形形状．【解答】解：把cosA=b2+整理得：2b2＝b2+c2﹣a2，即c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角三角形．14．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为92π，则该圆锥的体积为9π【考点】圆锥的体积．【答案】见试题解答内容【分析】根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解．【解答】解：设圆锥底面半径为r，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得：圆锥高h＝r，母线长l=2圆锥的侧面积为πrl=2πr所以圆锥的体积为13πr故答案为：9π．四、解答题（每题10分，每小问5分，共30分）15．（10分）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为40cm，底面的半径长为10cm．（1）求纸篓的容积；（2）现有制作这种纸篓的塑料制品100cm2，请问最多可以做这种纸篓多少个？（假设塑料制品没有浪费）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】（1）4000π（cm3）．（2）353个．【分析】（1）利用已知条件求解体积即可．（2）求解一个纸篓的面积，然后求解纸篓的个数．【解答】解：（1）纸篓的容积为V＝π×102×40＝4000π（cm3），（4分）（2）一个纸篓要用的塑料的面积为S＝2π×10×40+π×102＝900π（cm2）．（8分）由100×10016．（10分）如图，已知△ABC中，AB=362，∠ABC（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．【考点】余弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用正弦定理的应用求出结果．（2）直接利用（1）的结论和余弦定理的应用求出结果．【解答】解：（1）如图所示：已知△ABC中，AB=362，∠ABC利用正弦定理ACsin∠ABC整理得AC=3（2）利用AC＝3，∠ACD＝120°，CD＝5，利用余弦定理AD=AC17．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，M，N，P分别为A1B1，AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求三棱锥B﹣PMN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；（Ⅱ）13【分析】（Ⅰ）以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）PN⊥BC，BP＝PN＝1，从而S△BPN=12×1×1=12，点M到平面BPN的距离