2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)第一次开学数学试卷

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）第一次开学数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）给出下列关系：①π∈R；②{2024，1}＝{x|x2﹣2025x+2024＝0}；③∅⊆{0}；④{（1，﹣2）}⊆{（x，y）|y＝x2﹣x﹣2}．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）下列选项中表示同一函数的是（）A．f（x）＝x0与g（x）＝1 B．f（x）＝x与 C．与g（x）＝x﹣2023 D．与3．（5分）若集合A＝{x||x|≥1}，，则A∩B＝（）A．[1，5] B．（1，5] C．{2，3，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，6}4．（5分）若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，则函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣1，2] D．（1，2]5．（5分）已知x∈（0，1），则的最小值为（）A．6 B． C． D．46．（5分）已知函数的最大值为1，则实数a的值为（）A．a＝±1 B． C．a＝7 D．或a＝77．（5分）已知a＞b＞0且ab＝1，若把，，按照从大到小的顺序排列，则排在中间的数是（）A． B． C． D．无法确定8．（5分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对∀m，n＞0满足f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣3，f（3）＝6，当x＞0时f（x）＞3，则关于a的不等式f（a2﹣a﹣5）＜4的解集为（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C． D．二、多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）若a＞0＞b，则下列说法一定成立的是（）A． B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．（多选）10．（5分）已知函数，下列说法正确的是（）A．f（x）定义域为[﹣3，0）∪（0，3] B．f（x）值域为（﹣3，3） C．f（x）为定义域内的增函数 D．f（x）为（0，3]内的增函数（多选）11．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．命题：“∀x∈（0，+∞），＞x+1”的否定为：“∃x∈（﹣∞，0]，≤x+1” B．设A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝{0，m}，且A∩B有四个子集，则实数m的取值范围是（﹣3，2） C．已知p：{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，q：{x|x＝6k+1，k∈N}，p是q的充分不必要条件 D．方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数f（x），对于给定集合A，若∀x1，x2∈R，当x1﹣x2∈A时都有f（x1）﹣f（x2）∈A，则称f（x）是“A封闭”函数，则下列命题正确的是（）A．f（x）＝3x+1不是“[﹣2023，2023]封闭”函数 B．定义在R上的函数f（x）都是“{0}封闭”函数 C．若f（x）是“{1}封闭”函数，则f（x）一定是“{2023}封闭”函数 D．若f（x）是“[a，b]封闭”函数（a，b∈N*），则f（x）在区间[a，b]上单调递减三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）函数的单调递增区间为．14．（5分）关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为[2，3]，则cx2+bx+a≤0的解集为．15．（5分）关于x的不等式（2x+1）2＜ax2的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是．16．（5分）若A是正整数集的非空子集，称集合B＝{|u﹣v||u，v∈A且u≠v}为集合A的生成集．若A是由n个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，B＝{x|a﹣1＜x＜3a+2}．（1）当a＝1时，求A∩∁RB；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知关于x的不等式x2﹣2x﹣1＞a（a∈R）．（1）若a＝2，求不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集；（2）若不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集为R，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数．（1）当a＝1，b＝0时，求函数f（x）的值域；（2）若b＝﹣2，且∀x∈[2，3]，f（2x）≥1，求实数a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2．（1）若a＝1，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝ex•f（x）在（0，2]内单调递减，求实数a的取值范围．21．（12分）今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍．自福建南部沿海登陆以来，“杜苏芮”一路北上，国内不少城市因此遭遇了百年一遇的极端强降水天气，并伴随着洪涝、塌方、泥石流等次生灾害，其中对黑龙江哈尔滨等地影响尤为巨大，此次强降雨时段，不仅带来了严重的城市内涝，部分公路、桥梁发生不同程度水毁．哈尔滨五常市某农场已发现有400m2的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面积将以每天10m2的速度扩散．灾情发生后，某公司立即组织人力进行救援，每位救援人员每天可抢修农田5m2，劳务费为每人每天400元，公司还为每位救援人员提供240元物资补贴．若安排x名人员参与抢修，需要t天完成抢修工作，渗水造成总损失为y元（总损失＝因渗水造成的直接损失+各项支出费用）．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小，并求出总损失．22．（12分）已知函数f（x）＝1+ax﹣．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：∀n∈N*，ln．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）第一次开学数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）给出下列关系：①π∈R；②{2024，1}＝{x|x2﹣2025x+2024＝0}；③∅⊆{0}；④{（1，﹣2）}⊆{（x，y）|y＝x2﹣x﹣2}．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．【答案】D【分析】对于①，由π是实数，判断①；对于②，解方程x2﹣2025x+2024＝0，判断②；对于③，由∅是{0}的子集，判断③；对于④，由满足y＝x2﹣x﹣2，判断④．【解答】解：对于①，∵π是实数，∴π∈R，故①正确；对于②，解方程x2﹣2025x+2024＝0，得x1＝1，x2＝2024，∴{2024，1}＝{x|x2﹣2025x+2024＝0}，故②正确；对于③，∅是{0}的子集，∴∅⊆{0}，故③正确；对于④，∴满足y＝x2﹣x﹣2，∴{（1，﹣2）}⊆{（x，y）|y＝x2﹣x﹣2}，故④正确．故选：D．2．（5分）下列选项中表示同一函数的是（）A．f（x）＝x0与g（x）＝1 B．f（x）＝x与 C．与g（x）＝x﹣2023 D．与【考点】判断两个函数是否为同一函数．【答案】D【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域是否相同，由此一一判断各选项，即得答案．【解答】解：对于A，f（x）＝x0的定义域为{x|x≠0），而g（x）＝1定义域为R，故二者不是同一函数；对于B，f（x）＝x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0），故二者不是同一函数；对于C，与g（x）＝x﹣2023对应关系不同，故二者不是同一函数；对于D，g（x）＝＝＝，与f（x）＝的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数．故选：D．3．（5分）若集合A＝{x||x|≥1}，，则A∩B＝（）A．[1，5] B．（1，5] C．{2，3，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，6}【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答．【解答】解：解不等式|x|≥1，得x≤﹣1或x≥1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），解不等式，得1＜x≤6，于是B＝{2，3，4，5，6}，所以A∩B＝{2，3，4，5，6}．故选：C．4．（5分）若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，则函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[0，2] C．[﹣1，2] D．（1，2]【考点】函数的定义域及其求法．【答案】D【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答．【解答】解：由函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，即﹣1≤x≤1，得﹣3≤2x﹣1≤1，因此由函数有意义，得，解得1＜x≤2，所以函数的定义域为（1.2]．故选：D．5．（5分）已知x∈（0，1），则的最小值为（）A．6 B． C． D．4【考点】基本不等式及其应用．【答案】B【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为x∈（0，1），则＝3++，当且仅当＝，即x＝时取等号．故选：B．6．（5分）已知函数的最大值为1，则实数a的值为（）A．a＝±1 B． C．a＝7 D．或a＝7【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【答案】A【分析】根据给定的函数，分段讨论并结合二次函数、均值不等式求出最大值即可得答案．【解答】解：当x＞2时，f（x）＝a﹣x+＝2﹣x++a﹣2＝a﹣2﹣[（x﹣2）+]≤a﹣2﹣2＝a﹣6，当且仅当x﹣2＝，即x＝4时，等号成立，又因为函数的最大值为1，所以a﹣6≤1，解得a≤7；当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2ax＝a2﹣（x﹣a）2，若a≤2，则当x＝a时，f（x）max＝a2＝1，解得a＝±1，满足a≤2；若2＜a≤7，则当a＝2时，f（x）max＝﹣4+4a＝1，解得a＝，不满足2＜a≤7；综上所述，实数a的值为±1．故选：A．7．（5分）已知a＞b＞0且ab＝1，若把，，按照从大到小的顺序排列，则排在中间的数是（）A． B． C． D．无法确定【考点】有理数指数幂及根式．【答案】B【分析】利用不等式的性质，结合指数函数的性质判定即可．【解答】解：∵a＞b＞0且ab＝1，∴a＞1＞b＞0，∴2a＞2b＞0，∴a•2a＞b•2b，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴排在中间的数是．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对∀m，n＞0满足f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣3，f（3）＝6，当x＞0时f（x）＞3，则关于a的不等式f（a2﹣a﹣5）＜4的解集为（）A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C． D．【考点】抽象函数及其应用．【答案】D【分析】由已知判断函数在（0，+∞）上的单调性，再求出f（1）＝4，即可求解不等式f（a2﹣a﹣5）＜4．【解答】解：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞3，又f（x2）﹣f（x1）＝f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣3﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）是（0，+∞）上的增函数．∵m，n∈（0，+∞），不妨设m＝n＝1，∴f（1+1）＝f（1）+f（1）﹣3，即f（2）＝2f（1）﹣3，f（3）＝f（2+1）＝f（2）+f（1）﹣3＝2f（1）﹣3+f（1）﹣3＝3f（1）﹣6＝6，∴f（1）＝4，∴f（a2﹣a﹣5）＜4＝f（1），∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴0＜a2﹣a﹣5＜1，解得a∈．故选：D．二、多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）若a＞0＞b，则下列说法一定成立的是（）A． B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式；基本不等式及其应用．【答案】AC【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．【解答】解：若a＞0＞b，则，A正确；当a＝2，b＝﹣2时，B显然错误；因为y＝x3在R上单调递增由a＞b可得a3＞b3，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：AC．（多选）10．（5分）已知函数，下列说法正确的是（）A．f（x）定义域为[﹣3，0）∪（0，3] B．f（x）值域为（﹣3，3） C．f（x）为定义域内的增函数 D．f（x）为（0，3]内的增函数【考点】函数的值域；函数单调性的性质与判断；函数的定义域及其求法．【答案】AD【分析】先求出函数定义域，然后结合函数解析式判断函数的单调性及值域，检验各选项．【解答】解：由题意得﹣3≤x≤3且x≠0，A正确；＝＝，因为f（）＝﹣＜﹣3，B错误；而f（﹣）＝＞f（），则f（x）在[﹣3，0）∪（0，3]上不是增函数，C错误；0＜x≤3时，因为y＝在（0，3]上单调递减，所以f（x）在（0，3]上单调递增，D正确．故选：AD．（多选）11．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．命题：“∀x∈（0，+∞），＞x+1”的否定为：“∃x∈（﹣∞，0]，≤x+1” B．设A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝{0，m}，且A∩B有四个子集，则实数m的取值范围是（﹣3，2） C．已知p：{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，q：{x|x＝6k+1，k∈N}，p是q的充分不必要条件 D．方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0【考点】全称命题的否定；命题的真假判断与应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系；充分条件与必要条件．【答案】ABC【分析】根据命题的否定判断A，根据集合的关系以及子集的定义判断B，根据充分必要条件的定义判断C，根据韦达定理判断D．【解答】解：命题“∀x∈（0，+∞），＞x+1”的否定为：“∃x∈（0，+∞），≤x+1，故A错误；A＝{x|x2+x﹣6＜0}＝（﹣3，2），B＝{0，m}，且A∩B有四个子集，则实数m的取值范围是（﹣3，0）∪（0，2），故B错误；p：{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，q：{x|x＝6k+1，k∈N}，p是q的必要不充分条件，故C错误；方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0，故D正确．故选：ABC．（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数f（x），对于给定集合A，若∀x1，x2∈R，当x1﹣x2∈A时都有f（x1）﹣f（x2）∈A，则称f（x）是“A封闭”函数，则下列命题正确的是（）A．f（x）＝3x+1不是“[﹣2023，2023]封闭”函数 B．定义在R上的函数f（x）都是“{0}封闭”函数 C．若f（x）是“{1}封闭”函数，则f（x）一定是“{2023}封闭”函数 D．若f（x）是“[a，b]封闭”函数（a，b∈N*），则f（x）在区间[a，b]上单调递减【考点】函数恒成立问题；命题的真假判断与应用．【答案】ABC【分析】A：特殊值x1＝2023，x2＝0判断即可；B：根据定义及函数的性质即可判断；C：根据定义得到∀x∈R都有f（x2+k）＝f（x2）+k即可判断；D：利用“A封闭”函数的定义及单调性的定义即可判断．【解答】解：A：函数f（x）＝3x+1，当x1＝2023，x2＝0时，x1﹣x2＝2023∈[﹣2023，2023]，而f（x1）﹣f（x2）＝63×2023+1﹣3×0﹣1＝6069∉[﹣2023，2013]，故A正确；B：对于区间{0}，∀x1，x2∈R使x1﹣x2＝0，即x1＝x2，必有f（x1）﹣f（x2）＝0，所以定义在R上的函数f（x）都是“{0}封闭”函数，故B正确；C：对于区间{1}，∀x1，x2∈R使x1﹣x2∈{1}，则x1＝x2+1，而f（x）是“{1}封闭”函数，则f（x2+1）﹣f（x2）＝1，即∀x∈R，都有f（x+1）＝f（x）+1，对于区间{k}，∀x1，x2∈R使x1﹣x2∈{k}，则x1＝x2+k，k∈N*，而f（x2+k）＝f（x2+k﹣1）+1，f（x2+k﹣1）＝f（x2+k﹣2）+1，…，f（x2+1）＝f（x2）+1，所以f（x2+k）+f（x2+k﹣1）+...+f（x2+1）＝f（x2+k﹣1）+f（x2+k﹣2）+...+f（x2）+k﹣1，即f（x2+k）＝f（x2）+k，故f（x2+k）﹣f（x2）＝k，k∈N*，当k＝2023时，可得f（x2+2023）﹣f（x2）＝2023，所以f（x）一定是“{2023}封闭”函数，故C正确；D：若f（x）是“[a，b]封闭”函数（a，b∈N*），则当x1﹣x2∈[a，b]时都有f（x1）﹣f（x2）∈[a，b]，所以x1﹣x2＞0，即x1＞x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间[a，b]上单调递增，故D错误．故选：ABC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【考点】复合函数的单调性．【答案】（﹣∞，﹣1）．【分析】由对数函数的真数大于0求得函数的定义域，再求出内层函数在定义域内的减区间，结合复合函数的单调性得答案．【解答】解：由x2﹣5x﹣6＞0，得（x﹣6）（x+1）＞0，即6＜x或x＜﹣1．∴函数f（x）的定义域为（6，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．令t（x）＝x2﹣5x﹣6，该函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝，且在（﹣∞，﹣1）上单调递减，而函数y＝t是减函数，∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．14．（5分）关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为[2，3]，则cx2+bx+a≤0的解集为{x|≤x≤}．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】{x|≤x≤}．【分析】根据不等式ax2+bx+c≤0的解集求出a与b、c的关系，代入不等式cx2+bx+a≤0中化简求解即可．【解答】解：因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为[2，3]，所以2和3是方程ax2+bx+c＝0的解，由根与系数的关系，得，解得b＝﹣5a，c＝6a；所以不等式cx2+bx+a≤0可化为6x2﹣5x+1≤0，解得≤x≤，所以该不等式的解集为{x|≤x≤}．故答案为：{x|≤x≤}．15．（5分）关于x的不等式（2x+1）2＜ax2的整数解恰有3个，则实数a的取值范围是（，]．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（，]．【分析】根据不等式（﹣a+4）x2+4x+1＜0的整数解恰有3个，先确定Δ＞0，且4﹣a＞0，求出0＜a＜4，再用a表示出不等式解集，确定出三个整数解，从而可列出另一个端点的取值范围，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：关于x的不等式（2x+1）2＜ax2等价于（﹣a+4）x2+4x+1＜0，此不等式整数解恰有3个，则有Δ＝4a＞0，且有4﹣a＞0，解得0＜a＜4，令（﹣a+4）x2+4x+1＝0，即（2x+1）2＝ax2，得x＝﹣，x＝﹣，所以不等式（﹣a+9）x2+6x+1＜0的解集为{x|﹣＜x＜﹣}，因为0＜a＜4，所以﹣＜﹣＜﹣，所以解集中一定恰有﹣1，﹣2，﹣3三个整数，可得﹣4≤﹣＜﹣3，解得＜a≤，所以实数a的取值范围是（，]．故答案为：（，]．16．（5分）若A是正整数集的非空子集，称集合B＝{|u﹣v||u，v∈A且u≠v}为集合A的生成集．若A是由n个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为n﹣1．【考点】子集与真子集；集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断．【答案】n﹣1．【分析】根据生成集的定义判断即可．【解答】解：由题意可得，当集合A中的n个元素从小到大排列成等差数列时其生成集B中的元素个数最少，设n个元素分别为x1，x2⋯xn，且x1＜x2＜⋯＜xn，则集合B＝{xn﹣x1，xn﹣1﹣x1，⋯x2﹣x1}，所以生成集B中元素个数最小值为n﹣1．故答案为：n﹣1．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}，B＝{x|a﹣1＜x＜3a+2}．（1）当a＝1时，求A∩∁RB；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】（1）[﹣2，0]∪[5，6]．（2）（﹣∞，﹣]∪[﹣1，]．【分析】（1）解一元二次不等式，求出集合A，再把a＝1代入，利用补集、交集定义能求出结果；（2）由已知可得B⊆A，再由集合的包含关系能求出结果．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣4x﹣12≤0}＝{x|﹣2≤x≤6}，a＝1时，B＝{x|0＜x＜5}，∁RB＝{x|x≤0或x≥5}，∴A∩∁RB＝{x|﹣2≤x≤0或5≤x≤6}．（2）∵A∩B＝B，∴B⊆A，当a﹣1≥3a+2，即a时，B＝∅，满足B⊆A，∴a≤﹣；当a﹣1≤3a+2，即a＞﹣时，B≠∅，∴（a﹣1，3a+2）⊆[﹣2，6]，∴，解得﹣1，∴﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[﹣1，]．18．（12分）已知关于x的不等式x2﹣2x﹣1＞a（a∈R）．（1）若a＝2，求不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集；（2）若不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞3}．（2）（﹣∞，﹣2）．【分析】（1）利用二次不等式的解法求解即可；（2）利用二次不等式恒成立的条件即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）因为a＝2，所以x2﹣2x﹣1＞a可化为x2﹣2x﹣1＞2，整理得（x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，所以不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（2）不等式x2﹣2x﹣1＞a可化为x2﹣2x﹣1﹣a＞0，因为不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集为R，所以x2﹣2x﹣1﹣a＞0在R上恒成立，则函数y＝x2﹣2x﹣1﹣a的图像恒在x轴上方，与x轴无交点，所以一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣a＝0无实数根，所以Δ＜0，即（﹣2）2﹣4（﹣1﹣a）＜0，解得a＜﹣2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．19．（12分）已知函数．（1）当a＝1，b＝0时，求函数f（x）的值域；（2）若b＝﹣2，且∀x∈[2，3]，f（2x）≥1，求实数a的取值范围．【考点】函数的值域；函数恒成立问题．【答案】（1）[，]；（2）（﹣∞，]．【分析】（1）代入数据进行分析即可；（2）分离变量，求出值域．【解答】解：（1）当a＝1，b＝0时，若x＝0，则f（x）＝0，若x≠0，f（x）＝＝，当x＞0，≥2，0＜f（x）≤，当x＜0，≤﹣2，0＞f（x）≥﹣，所以函数的值域为[，]；（2）若b＝﹣2，f（x）＝，令2x＝t，当x∈[2，3]，t∈[4，8]，令f（t）＝≥1，得a≤﹣，令g（t）＝﹣，则g′（t）＝＝，令g′（t）＝0，解得t＝6，当4≤t≤6，g′（t）≥0，g（t）单调递增，当6＜t≤8，g′（t）＜0，g（t）单调递减，又g（4）＝＜g（8）＝，所以g（t）在t∈[4，8]的最小值为，所以a≤，即a的取值范围为（﹣∞，]．20．（12分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2．（1）若a＝1，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝ex•f（x）在（0，2]内单调递减，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）3x+y﹣1＝0．（2）（﹣∞，]．【分析】（1）a＝1时，f（x）＝x3﹣3x2，f（1）＝﹣2，利用导数的几何意义可得切线斜率，再利用点斜式即可得出结论．（2）函数g（x）＝ex•f（x）＝ex•（ax3﹣3x2），根据函数g（x）在（0，2]内单调递减，可得g′（x）≤0，通过分离参数，利用导数研究函数的单调性与极值及最值即可得出结论．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝x3﹣3x2，f（1）＝﹣2，f′（x）＝3x2﹣6x，∴f′（1）＝﹣3，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣1＝0．（2）函数g（x）＝ex•f（x）＝ex•（ax3﹣3x2），g′（x）＝ex•（ax3﹣3x2+3x2﹣6x），∵函数g（x）在（0，2]内单调递减，∴ex•（ax3﹣3x2+3ax2﹣6x）≤0，即a≤在（0，2]内恒成立，令h（x）＝，x∈（0，2]，h′（x）＝＜0，∴函数h（x）在x∈（0，2]内单调递减，∴a≤h（2）＝，∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．21．（12分）今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍．自福建南部沿海登陆以来，“杜苏芮”一路北上，国内不少城市因此遭遇了百年一遇的极端强降水天气，并伴随着洪涝、塌方、泥石流等次生灾害，其中对黑龙江哈尔滨等地影响尤为巨大，此次强降雨时段，不仅带来了严重的城市内涝，部分公路、桥梁发生不同程度水毁．哈尔滨五常市某农场已发现有400m2的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面积将以每天10m2的速度扩散．灾情发生后，某公司立即组织人力进行救援，每位救援人员每天可抢修农田5m2，劳务费为每人每天400元，公司还为每位救援人员提供240元物资补贴．若安排x名人员参与抢修，需要t天完成抢修工作，渗水造成总损失为y元（总损失＝因渗水造成的直接损失+各项支出费用）．（1）写出y关于x的函数解析式；（2）应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小，并求出总损失．【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）（x＞2，x∈N*）；（2）211680元．【分析】（1）根据t，x的关系，结合总损失的计算方法进行求解即可；（2）利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：（1）因为每位救援人员每天可抢修农田5m2，需要t天完成抢修工作，所以可得，显然可得x﹣2＞0，所以x＞2，且