2023-2024学年黑龙江省哈尔滨十一中高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨十一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1．（5分）(x2−2A．10 B．20 C．40 D．802．（5分）在等比数列{an}中，a3a5a7＝﹣27，则a5＝（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．23．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么对于函数y＝f（x），下列说法正确的是（）A．在（﹣∞，﹣1）上单调递增 B．在（1，+∞）上单调递减 C．在x＝1处取得最大值 D．在x＝2处取得极大值4．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（）A．9x﹣y﹣16＝0 B．9x+y﹣18＝0 C．6x﹣y﹣10＝0 D．6x+y﹣14＝05．（5分）在等差数列{an}中，若a2+a5+a19+a22＝28，则a12＝（）A．45 B．6 C．7 D．86．（5分）有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）A．300 B．360 C．390 D．4207．（5分）若函数f(x)=−12xA．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（0，2） D．（2，+∞）8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n2n，若Sn+aA．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．(−1，32)二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分）（多选）9．（6分）下列四个关系式中，一定成立的是（）A．3CB．An−1m−1=(n−1)!(m−n)!（n≥m≥2，m，C．Anm=nAn−1m−1（n≥m≥2，mD．C（多选）10．（6分）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）A．若数列{an}的前n项和Sn=2−2n+1，则数列{B．若{bn}的前n项和Sn=n2+n+2C．若数列{an}为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…成等比数列 D．若数列{bn}为等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…成等差数列（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递减，则a的值可能为（）A．e2 B．e﹣2 C．e﹣3 D．﹣e三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12．（5分）已知函数f(x)=x−2sinx，x∈[0，π]，则f（x）的最大值为13．（5分）（a+x）（1﹣x）2024展开式中x2024的系数为﹣2023，则a的值为．14．（5分）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有种．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在[76，84）的游客人数为18．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）从抽取的50名游客中满意度评分在[60，68）及[92，100]的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在[60，68）的概率．16．（15分）已知数列{an}满足an+1−an=2(n∈N∗)，且a（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及此时n的值．17．（15分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+1（a∈R），当x＝2时，f（x）取得极值﹣3．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在区间[﹣2，3]上的最值．18．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an﹣2．（1）求{an}的通项公式；（2）删去数列{an}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{bn}，设{bn}的前n项和为Tn，请写出{bn}的前6项，并求出T6和T2n．19．（17分）已知函数f(x)=lnx+m（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当m＝1时，证明：当x≥1时，xf（x）﹣ex﹣x+e≤0．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨十一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1．（5分）(x2−2A．10 B．20 C．40 D．80【考点】二项式定理．【答案】C【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令10﹣3k＝4，求出k即可．【解答】解：(x2−2x)5的展开式的通项公式为Tk+1=C5k（x2令10﹣3k＝4，则k＝2，∴展开式中x4的系数为C52（﹣2）故选：C．2．（5分）在等比数列{an}中，a3a5a7＝﹣27，则a5＝（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【答案】A【分析】利用等比中项的性质即可求出a5的值．【解答】解：在等比数列{an}中，有a3a5a故选：A．3．（5分）已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么对于函数y＝f（x），下列说法正确的是（）A．在（﹣∞，﹣1）上单调递增 B．在（1，+∞）上单调递减 C．在x＝1处取得最大值 D．在x＝2处取得极大值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【答案】D【分析】根据给定函数图象，判断导数的正负时x的取值范围，再利用单调性逐项判断即可．【解答】解：由导函数图象可知，当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜2，f′（x）≥0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减，在（﹣1，2）上单调递增，故选项A，B错误；在x＝2处取得极大值，且f（1）＜f（2），故C错误，D正确．故选：D．4．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3x，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（）A．9x﹣y﹣16＝0 B．9x+y﹣18＝0 C．6x﹣y﹣10＝0 D．6x+y﹣14＝0【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【答案】A【分析】根据导数的几何意义计算即可求解．【解答】解：由题意知，f（2）＝2，f′（x）＝3x2﹣3，所以f′（2）＝9，所以曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y﹣2＝9（x﹣2），即9x﹣y﹣16＝0．故选：A．5．（5分）在等差数列{an}中，若a2+a5+a19+a22＝28，则a12＝（）A．45 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【答案】C【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．【解答】解：因为a2+a5+a19+a22＝（a2+a22）+（a5+a19）＝4a12＝28，所以a12＝7．故选：C．6．（5分）有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）A．300 B．360 C．390 D．420【考点】排列组合的综合应用．【答案】C【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解．【解答】解：当5个人中有3个人被录用，则不同的录用情况种数是A5当5个人中有4个人被录用，则不同的录用情况种数是C5当5个人中全部被录用，则不同的录用情况种数是C5则不同的录用情况种数共有60+180+150＝390．故选：C．7．（5分）若函数f(x)=−12xA．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（0，2） D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】C【分析】计算f′（x），再将问题转化为x2﹣4x+2a＝0在（0，+∞）有2个不同的两侧异号的实数根，从而利用二次函数的根的分布即可得解．【解答】解：因为f(x)=−1所以f′(x)=−x+4−2a所以x2﹣4x+2a＝0在（0，+∞）有2个不同的实数根x1，x2，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，所以Δ=16−4×2a＞0x1+故选：C．8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn且an=n2n，若Sn+aA．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．(−1，32)【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【答案】C【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出Sn，再按奇偶讨论求出a的范围．【解答】解：由数列{an}的前n项和为Sn且an=n于是12两式相减得：12因此Sn=2−n+22n，Sn+当n为偶数时，(Sn+an)min当n为奇数时，（Sn+an）min＝S1+a1＝1，由Sn+an＞(−1所以实数a的取值范围是(−1，3故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分）（多选）9．（6分）下列四个关系式中，一定成立的是（）A．3CB．An−1m−1=(n−1)!(m−n)!（n≥m≥2，m，C．Anm=nAn−1m−1（n≥m≥2，mD．C【考点】排列数的化简计算及证明．【答案】AC【分析】根据排列数和组合数的公式和性质逐项计算即可求解．【解答】解：A选项，3C83−2C52=B选项，An−1m−1=C选项，Anm=n!(n−m)!D选项，C43+C53+故选：AC．（多选）10．（6分）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）A．若数列{an}的前n项和Sn=2−2n+1，则数列{B．若{bn}的前n项和Sn=n2+n+2C．若数列{an}为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…成等比数列 D．若数列{bn}为等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…成等差数列【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【答案】AD【分析】选项A，利用等比数列的前n项和与通项公式判断即可；选项B，利用等差数列的前n项和与通项公式判断即可；选项C，举例说明即可；选项D，根据等差数列的通项公式与性质，判断即可．【解答】解：对于A，因为数列{an}的前n项和为Sn=2−2n+1，所以Sn﹣1＝2﹣2所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2n+1+2n＝﹣2n，n≥2；当n＝1时，a1＝S1＝2﹣4＝﹣2，满足an；所以数列{an}为等比数列，选项A正确；对于B，数列{bn}的前n项和为Sn=n2+n+2，所以Sn﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1）+2＝n2所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n，n≥2；当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足an；所以数列{bn}不是等差数列，选项B错误；对于C，例如bn＝（﹣1）n，则S2＝b1+b2＝﹣1+1＝0，可得Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，⋯不一定成等比数列，选项C错误；对于D，因为S（k+1）n﹣Skn＝akn+1+akn+2+…+a（k+1）n＝a1+knd+a2+knd+...+an+knd＝Sn+k（n2d），k∈N*，是k的一次函数，所以Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，⋯成等差数列，选项D正确．故选：AD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递减，则a的值可能为（）A．e2 B．e﹣2 C．e﹣3 D．﹣e【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】CD【分析】根据题意得到f′（x）≥0在（1，2）上恒成立，分类讨论a的取值范围，结合参数分离法，构造函数g（x）＝xex即可得解．【解答】解：因为f（x）＝aex﹣lnx（x＞0），所以f′(x)=ae因为f（x）在区间（1，2）上单调递减，所以f′(x)=aex−当a≤0时，因为1x当a＞0时，则1a令g（x）＝xex，x∈（1，2），所以g′（x）＝（x+1）ex＞0在（1，2）上恒成立，所以g（x）在（1，2）上单调递增，又g（x）＜g（2）＝2e2，故1a≥2e综上，a≤12e2，经检验，故选：CD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12．（5分）已知函数f(x)=x−2sinx，x∈[0，π]，则f（x）的最大值为π【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】求导得出函数f（x）在[0，π]上的单调性，即可求得f（x）的最大值为π．【解答】解：由f(x)=x−2sinx，x∈[0，π]可得令f′（x）＝0可得cosx=2又x∈[0，π]，所以x=π当x∈[0，π4]时，f′（x）＜0，此时f（x当x∈[π4，π]时，f′（x）＞0，此时f（x易知f（0）＝0，f（π）＝π，f(x)因此f（x）的最大值为π．故答案为：π．13．（5分）（a+x）（1﹣x）2024展开式中x2024的系数为﹣2023，则a的值为1．【考点】二项式定理．【答案】1．【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：（1﹣x）2024展开式的通项公式为Tr+1（a+x）（1﹣x）2024展开式中x2024的系数为﹣2023，则a⋅C20242024+1⋅C故答案为：1．14．（5分）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有84种．【考点】排列组合的综合应用．【答案】84．【分析】分参加生物创新实验模块的为1人和2人两两种情况，结合排列组合知识和计数原理求解即可．【解答】解：因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验模块的为1人或2人，①当参加生物创新实验模块的为1人时，若这个人为A，则一共有C4若这个人不是A，则A只能参加影视艺术创作模块，所以一共有C41（1②当参加生物创新实验模块的为2人时，若这2个人中有A，则一共有C4若这2个人中没有A，则A只能参加影视艺术创作模块，所以一共有C4综上所述，一共有14+28+24+18＝84种不同的分配方式．故答案为：84．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在[76，84）的游客人数为18．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）从抽取的50名游客中满意度评分在[60，68）及[92，100]的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在[60，68）的概率．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）a＝0.01，b＝0.045；（2）35【分析】（1）根据评分在[76，84）的游客人数为18和总人数为50得到b＝0.045，利用频率之和为1得到方程，求出a＝0.01；（2）根据分层抽样的方法得到评分在[60，68）的人数为2，设为x1，x2，满意度评分在[92，100]的人数为3，设为y1，y2，y3，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在[60，68）的情况，求出概率．【解答】解：（1）由题知，b=188×（a+0.015+0.025+0.030+0.045）＝1，解得a＝0.01；（2）由题知，抽取的50名游客中满意度评分在[60，68）的人数为0.01×8×50＝4，满意度评分在[92，100]的人数为0.015×8×50＝6，∴抽取的5人中，满意度评分在[60，68）的人数为2，设为x1，x2，满意度评分在[92，100]的人数为3，设为y1，y2，y3，∴从5人中随机抽取2人的不同取法为{x1，x2}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，共有10种不同取法，设“2人中恰有1人的满意度评分在[60，68）”为事件M，则事件M包含的取法为{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，共有6种不同取法．∴P(M)=616．（15分）已知数列{an}满足an+1−an=2(n∈N∗)，且a（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及此时n的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝2n﹣19；（2）（Sn）min＝﹣81，n＝9．【分析】（1）{an}为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；（2）利用等差数列求和公式求出Sn，再根据二次函数的性质求出最小值及n的值．【解答】解：（1）由an+1−an设{an}的公差为d，则d＝2，又a5，a8，a9成等比数列，所以a8即(a解得a1＝﹣17，又d＝2，所以{an}的通项公式为an＝2n﹣19；（2）由（1）可得Sn所以当n＝9时，Sn取得最小值，最小值为﹣81．17．（15分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+1（a∈R），当x＝2时，f（x）取得极值﹣3．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求f（x）在区间[﹣2，3]上的最值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】（1）f（x）＝x3﹣3x2+1；（2）单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）；（3）最大值为1，最小值为﹣19．【分析】（1）根据极值定义和函数值，求得a，b的值，从而得到解析式；（2）利用导函数的正负，解出x的范围，从而得到函数的单调性；（3）根据在区间[﹣2，3]上单调性，求得最值即可．【解答】解：（1）依题意可得f′（x）＝3ax2+2bx，又当x＝2时，f（x）取得极值﹣3，所以f(2)=−3f′(2)=0，即8a+4b+1=−312a+4b=0，解得所以f（x）＝x3﹣3x2+1，此时，f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）单调递增，在（0，2）单调递减，所以x＝2时，f（x）取得极小值，极小值为f（2）＝﹣3，符合题意，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（2）由（1）可知f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）；（3）由（2）可知f（x）在[﹣2，0]，[2，3]上单调递增，在[0，2]上单调递减，因为f（0）＝1，f（3）＝1，所以在区间[﹣2，3]最大值为1，因为f（﹣2）＝﹣19，f（2）＝﹣3，所以在区间[﹣2，3]最小值为﹣19．所以f（x）在区间[﹣2，3]上的最大值为1，最小值为﹣19．18．（17分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an﹣2．（1）求{an}的通项公式；（2）删去数列{an}的第3i项（其中i＝1，2，3，…），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{bn}，设{bn}的前n项和为Tn，请写出{bn}的前6项，并求出T6和T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）an＝2n；（2）438，T2n=67（8【分析】（1）由数列的通项与前n项和的关系，以及等比数列的定义与通项公式，可得所求；（2）由等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）当n＝1时，有a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2；当n≥2时，有Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，联立条件，得Sn﹣Sn﹣1＝（2an﹣2）﹣（2an﹣1﹣2），即an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2