2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．设集合，则（∁RA）∩B＝（）A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，1）2．设复数z满足为纯虚数，则|z|＝（）A．1 B． C． D．23．已知向量，且，则在方向上的投影向量为（）A． B． C． D．4．函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，则tanφ＝（）A． B． C． D．5．已知a＞1，b＞1，且，则ab的最小值为（）A．4 B．8 C．16 D．326．已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（）A． B． C． D．7．将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对．若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．78．．已知函数f（x）及其导函数f'（x）定义域均为R，满足，记g（x）＝f'（x），其导函数为g'（x），且g'（3﹣x）的图象关于原点对称，则＝（）A．0 B．3 C．4 D．1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）（多选）9．下列说法正确的是（）A．若a＞b，c＜0，则a2c＜b2c B．若a＞b，c＜0，则a3c＜b3c C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D．函数的最小值是2（多选）10．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）A． B．AC1⊥BD C．四边形BDD1B1的面积为 D．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（多选）11．设f'（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f'（x）+xf（x）＝lnx，f（1）＝，则下列结论中正确的是（）A．xf（x）在（1，+∞）上单调递增 B．xf（x）在（0，1）上单调递减 C．xf（x）在（0，+∞）上有极大值 D．xf（x）在（0，+∞）上有极小值（多选）12．已知函数的部分图象如图1所示，A、B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A'，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时，则下列四个结论正确的有（）A． B． C．图2中， D．图2中，S是△A'BC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．的单调增区间是．14．设E，F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1，A1B1上，且D1E＝，则直线DE与BF所成角的余弦值为．15．已知，则的值为．16．欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数φ（n）：对于正整数n，φ（n）表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如φ（5）＝4，φ（9）＝6．那么，数列{nφ（5n）}的前n项和为．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，求sin2θ的值．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a6＝24，S3＝15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．19．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ABC＝π，AB＝1．（1）若AC＝，求△ABC的面积；（2）若∠ADC＝，求tan∠CAD．20．2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴．为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场．直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷．为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）．（1）若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率；（2）求使P（X＝k）取得最大值的整数k．21．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝C⊥平面BB1C1C．（1）证明：平面A1B1C⊥平面A1B1C1；（2）若A1C＝B1C，A1B1＝B1C1＝2，求平面AA1B与平面CA1B夹角的余弦值．22．设函数f（x）＝eax﹣a