2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z＝3﹣i，则|z|＝（）A．10 B．10 C．25 2．（5分）设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是（）A．90 B．88 C．82 D．764．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=4，c=21，则CA．90° B．45° C．60° D．30°5．（5分）已知非零向量a→，b→满足|a→|=3|b→|，且向量A．30° B．45° C．60° D．120°6．（5分）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）A．6π B．8π C．16π D．20π7．（5分）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（）A．13 B．12 C．238．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinC+3bsinAcosC＝bsinB，则tanA的最大值是（）A．32 B．22 C．26二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知i是虚数单位，则下列说法正确的是（）A．i+i2+i3+i4＝0 B．复数z＝3﹣5i的虚部为5 C．若复数z1，z2满足(z1−1)2+(z2D．若复数z满足|z|＝1，则|z−1+3（多选）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC的个数的判断正确的是（）A．当a=22，c=4，A=30°B．当a＝5，b＝7，A＝60°时，有一解 C．当a=2，b=4，A=30°D．当a＝6，b＝4，A＝60°时，有两解（多选）11．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1=2，D是边B1C1的中点，过点A，B，D作截面交A1CA．DE∥AB B．平面AB1C⊥平面ABDE C．DE∥平面AB1C D．点C1到截面ABDE的距离为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若事件A与B互斥，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝．13．（5分）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为500m，在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为45°，塔顶B的俯角为30°，向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达D处时，测得塔底A的俯角为75°，则该座小山的海拔为m；古塔AB的塔高为m．14．（5分）已知△ABC中，AB=22，∠A=45°，D为BC上一点，且BD＝2DC，BE⊥AC，垂足为E，则AD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量OA→（1）若A，B，C三点共线，求m的值；（2）若四边形ABCD为矩形，求2x+y的值．16．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．（1）若EF∥平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由；（2）若BC＝BD＝AD＝AC，证明：CD⊥AB．17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2sinA+sinC）c＝bsin2C．（1）求角B的大小；（2）若AC=67，点D是线段AC上的一点，且∠ABD＝∠CBD，BD＝4，求△ABC18．（17分）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a的值，并求综合评分的平均数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；（3）已知落在[50，60）的平均综合评分是54，方差是3，落在[60，70）的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50，70）的总平均综合评分z和总方差s2．19．（17分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=3，AB＝2AC＝4，AC⊥CB，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点，点（1）求证：AF⊥平面BCE；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；（3）求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市六校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z＝3﹣i，则|z|＝（）A．10 B．10 C．25 【考点】复数的模．【答案】A【分析】根据复数模的定义求解．【解答】解：由题意，|z|=3故选：A．2．（5分）设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线与平面平行．【答案】B【分析】直线l上有两个点到平面α的距离相等⇒l∥α或直线l与平面α相交，l∥α⇒直线l上有两个点到平面α的距离相等，由此能求出结果．【解答】解：由直线l不在平面α内知：直线l上有两个点到平面α的距离相等⇒l∥α或直线l与平面α相交，l∥α⇒直线l上有两个点到平面α的距离相等，∴直线l上有两个点到平面α的距离相等是l∥α的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是（）A．90 B．88 C．82 D．76【考点】百分位数．【答案】A【分析】把已知数据按从小到大排列，再由百分位数的定义求解．【解答】解：一组数据为55，64，92，76，88，67，76，90，从小到大排列为55，64，67，76，76，88，90，92，因为8×80%＝6.4，则这组数据的第80百分位数是第7个数为90．故选：A．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=4，c=21，则CA．90° B．45° C．60° D．30°【考点】余弦定理．【答案】C【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，结合0°＜C＜180°，即可求解C的值．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=4，c=21则可得cosC=a又0°＜C＜180°，可得C＝60°．故选：C．5．（5分）已知非零向量a→，b→满足|a→|=3|b→|，且向量A．30° B．45° C．60° D．120°【考点】平面向量的投影向量；数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】根据题意，由平面向量的数量积定义及运算公式，结合向量的夹角公式代入计算，即可求解．【解答】解：因为非零向量a→，b则|b解得cos〈a→，b→故选：C．6．（5分）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（）A．6π B．8π C．16π D．20π【考点】球的表面积．【答案】D【分析】确定正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，计算半径可得到表面积．【解答】解：正六棱柱的所有棱长均为2，故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，故r2＝12+22＝5，表面积为S＝4πr2＝20π．故选：D．7．（5分）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（）A．13 B．12 C．23【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】C【分析】利用列举法，结合古典概型分析求解．【解答】解：将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有{234，243，324，342，423，432}，共6种，其中偶数有{234，324，342，432}，共4种，所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为46故选：C．8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinC+3bsinAcosC＝bsinB，则tanA的最大值是（）A．32 B．22 C．26【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】D【分析】由正弦定理可得a2=c2−【解答】解：因为csinC+3bsinAcosC＝bsinB，由正弦定理得c2+3abcosC＝b2，所以c2+3ab⋅a由余弦定理得cosA=b当且仅当2b2＝c2，即c=2所以A∈(0，π所以当cosA=223时，tanA所以tanA的最大值是24故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知i是虚数单位，则下列说法正确的是（）A．i+i2+i3+i4＝0 B．复数z＝3﹣5i的虚部为5 C．若复数z1，z2满足(z1−1)2+(z2D．若复数z满足|z|＝1，则|z−1+3【考点】复数的乘法及乘方运算；复数的实部与虚部．【答案】AD【分析】由复数的性质可判断AB，举例子可判断C，由不等式的性质可判断D．【解答】解：i+i2+i3+i4＝0，故A正确；复数z＝3﹣5i的虚部为﹣5，故B错误；设z1＝1+i，z2＝2，则(z1−1)2+(z2−1∵|z|＝1，∴|z−1+3i|≤|z|+|−1+3i|=1+2=3，∴故选：AD．（多选）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对△ABC的个数的判断正确的是（）A．当a=22，c=4，A=30°B．当a＝5，b＝7，A＝60°时，有一解 C．当a=2，b=4，A=30°D．当a＝6，b＝4，A＝60°时，有两解【考点】解三角形；正弦定理．【答案】AC【分析】对于A，由正弦定理可求sinC=22，又0°＜C＜180°，c＞a，可得C＝45°或对于B，利用正弦定理可求sinB＞1，即可判断；对于C，利用正弦定理可求sinB＞1，即可判断；对于D，利用正弦定理可求sinB=33＜32【解答】解：对于A，因为a=22可得22可得sinC=2又因为0°＜C＜180°，c＞a，所以C＝45°或C＝135°，有两解，故A正确；对于B，因为a＝5，b＝7，A＝60°，所以sinB=bsinAa=对于C，sinB=bsinAa=对于D，sinB=bsinA又b＜a，所以B为锐角，此三角形只有一解，故D错误．故选：AC．（多选）11．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1=2，D是边B1C1的中点，过点A，B，D作截面交A1CA．DE∥AB B．平面AB1C⊥平面ABDE C．DE∥平面AB1C D．点C1到截面ABDE的距离为6【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；平面与平面垂直．【答案】ABD【分析】对于A：利用线面平行的性质定理即可得证；对于B：利用面面垂直的判定定理即可得证；对于C：根据DE∥AB，而AB∩平面AB1C＝A，即可判断；对于D：根据点C1到截面ABDE的距离等于点B1到截面ABDE的距离B1O，即可求解．【解答】解：对于选项A：如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB∥A1B1，A1B1⊂平面A1B1C1，AB⊄平面A1B1C1，则有AB∥平面A1B1C1，AB⊂平面ABDE，平面A1B1C1∩平面ABDE＝DE，可得DE∥AB，故选项A正确；对于选项B：因为D是B1C1的中点，BC＝2，AA1=又∠DB1B＝∠B1BC＝90°，所以△B1BC∽△DB1B，所以∠BB1C＝∠B1DB，则∠BB1C+∠B1BD＝∠B1DB+∠B1BD＝90°，所以B1C⊥BD，因为AB⊥BC，AB⊥BB1BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面B1BC，所以AB⊥平面B1BC，因为B1C⊂平面B1BC，所以B1C⊥AB，又AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABDE，所以B1C⊥平面ABDE，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面ABDE，故选项B正确；对于选项C：因为DE∥AB，AB∩平面AB1C＝A，所以DE与平面AB1C不平行，故选项C错误；对于选项D：设B1C与BD交于点O，则B1O⊥平面ABDE，又因为D为B1C1的中点，所以点C1到截面ABDE的距离等于点B1到截面ABDE的距离B1O，在△B1BD中，BD=2+1由等面积法可得B1所以点C1到截面ABDE的距离为63，故选项D故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若事件A与B互斥，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝．【考点】互斥事件的概率加法公式．【答案】0.6．【分析】根据互斥事件的性质可解．【解答】解：因为事件A与B互斥，则P（A）P（B）＝0，又P（A）＝0.3，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.3+0.3＝0.6．故答案为：0.6．13．（5分）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为500m，在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为45°，塔顶B的俯角为30°，向山顶方向沿水平线CE飞行50m到达D处时，测得塔底A的俯角为75°，则该座小山的海拔为m；古塔AB的塔高为m．【考点】解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】在△ACD，根据条件，利用正弦定理得到AC=25(6+2)，延长AB交CE于H，则【解答】解：如图，在△ACD，CD＝50，∠ACD＝45°，∠ADC＝105°，∠CAD＝30°，由正弦定理ACsin∠ADC又sin105°=sin75°=sin(45°+30°)=2所以AC=5012×延长AB交CE于H，则AH=ACsin∠ACD=25(6+又无人机飞行的海拔高度为500m，所以该座小山的海拔为500−25(3在△ABC中，∠ACB＝45°﹣30°＝15°，∠ABC＝120°，又sin∠ACB=sin(45°−30°)=2由正弦定理有ABsin15°=ACsin120°故答案为：475−253，5014．（5分）已知△ABC中，AB=22，∠A=45°，D为BC上一点，且BD＝2DC，BE⊥AC，垂足为E，则AD【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】−4【分析】以E为坐标原点，EA，EB所以直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出BE→【解答】解：如图，因为BE⊥AC，所以以E为坐标原点，EA，EB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，因为AB=22，∠A=45°，所以EA＝EB＝2，则E（0，0），A（2，0），又因为BD＝2DC，过D作DF⊥AC于F，则DF∥EB，所以DFBE得到DF=13BE=则BE→=(0，−2)，AD故答案为：−4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量OA→（1）若A，B，C三点共线，求m的值；（2）若四边形ABCD为矩形，求2x+y的值．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线；平面向量的基本定理．【答案】（1）m＝﹣9；（2）2x+y＝5．【分析】（1）由OA→=(−3，1)，OB→=(1，−1)，OC→=(m，4)，由（2）由AB→=(4，−2)，BC→=OC→【解答】解：（1）因为OA→所以AB→=OB又A，B，C三点共线，所以AB→∥AC→，所以4×3﹣（﹣2）（解得m＝﹣9．（2）由AB→CD→若四边形ABCD为矩形，则AB→⊥BC解得m=7由AB→=−解得x=−12，y=6．所以2x16．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．（1）若EF∥平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由；（2）若BC＝BD＝AD＝AC，证明：CD⊥AB．【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据线面平行的性质定理得EF∥AC，从而根据E是线段AD的中点即可确定点E的位置；（2）通过等腰三角形的性质证得CD⊥AG，CD⊥BG，从而利用线面垂直的判定定理得CD⊥平面ABG，最后利用线面垂直的性质定理即可证明．【解答】（1）解：F是CD的中点，理由如下：若EF∥平面ABC，由EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面ABC＝AC，得EF∥AC，又E是AD的中点，F在CD上，所以F是CD的中点；（2）证明：取CD的中点G，连接BG，AG，因为BC＝BD＝AD＝AC，G为CD中点，所以CD⊥AG，CD⊥BG，因为BG∩AG＝G，所以CD⊥平面ABG，因为AB⊂平面ABG，所以CD⊥AB．17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2sinA+sinC）c＝bsin2C．（1）求角B的大小；（2）若AC=67，点D是线段AC上的一点，且∠ABD＝∠CBD，BD＝4，求△ABC【考点】三角形中的几何计算．【答案】18+67．【分析】（1）根据已知条件和正弦定理求解．（2）根据第一问所求角度，在利用余弦定理求解即可．【解答】解：（1）依据题干条件（2sinA+sinC）c＝bsin2C，根据正弦定理可得（2sinA+sinC）sinC＝sinBsin2C＝2sinBsinCcosC，又因为sinC＞0，所以2sinA+sinC＝2sinBcosC＝2sin（B+C）+sinC＝2sinBcosC+2cosBsinC+sinC，所以2cosBsinC+sinC＝0，所以（2cosB+1）sinC＝0，又因为sinC＞0，所以2cosB+1＝0，所以cosB=−1又因为B∈（0，π），所以B=2π（2）由题意可知∠ABD=∠CBD=π3，又因为三角形ABC包括三角形ABD和三角形即S△ABC＝S△ABD+S△DBC，所以S△ABC=1即ac＝4（c+a）．在△ABC中，AC2＝BA2+BC2﹣2BA•BCcos∠ABC，即(67因此252＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣4（a+c），解得a+c＝﹣14（舍去）或a+c＝18，所以△ABC的周长为a+c+b=18+6718．（17分）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a的值，并求综合评分的平均数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；（3）已知落在[50，60）的平均综合评分是54，方差是3，落在[60，70）的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50，70）的总平均综合评分z和总方差s2．【考点】补全频率分布直方图．【答案】（1）a＝0.040，综合评分的平均数为81；（2）710（3）z=60，s2【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，求出a的值，再结合平均数的定义求解；（2）利用古典概型的概率公式求解；（3）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（0.005+0.010+0.025+a+0.020）×10＝1，解得a＝0.040，则综合评分的平均数为x=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+95×0.020)=81（2）由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E，从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间Ω＝{ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE}，共10个样本点，记事件A＝“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，则A＝{aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE}，共7个样本点，所以所求的概率为P=7（3）z=s219．（17分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=3，AB＝2AC＝4，AC⊥CB，点D，E分别为棱BC，A1C1的中点，点（1）求证：AF⊥平面BCE；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；（3）求二面角F﹣AD﹣C的余弦值．【考点】几何法求解直线与平面所成的角；几何法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）3926；（3）3【分析】（1）只需分别证明BC⊥A