2023-2024学年黑龙江省佳木斯市桦南一中高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年黑龙江省佳木斯市桦南一中高二（下）期末数学试卷一.选择题：（本题共8小题，每题5分，共计40分）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩（∁UB）＝（）A．{3} B．{1，2} C．{1，2，6} D．{1，2，3，6}2．（5分）“（2x+a）5的二项展开式中x3的系数为80”是“a＝﹣1或a＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜5}，则不等式cx2+bx﹣a＞0的解集为（）A．{x|x＜15或x＞13} C．{x|15＜x＜4．（5分）幂函数y=xm2−2m−3(m∈Z)A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知线性回归方程ŷ=bA．﹣2.4 B．﹣2.5 C．2.4 D．2.56．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝x2e|x| B．f(x)=eC．f(x)=x4e7．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，f（x）+f（3﹣x）＝0，且当x∈[0，32]时，f(x)=A．−54 B．﹣1 C．1 8．（5分）已知函数为f（x）=−x2−2ax−a，x＜0，eA．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）二、多选题（共3小题，每题6分，共18分）（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．若随机变量X～B(10，12)，则E（B．若随机变量X的方差D（X）＝1，则D（3X+1）＝10 C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.4，P（B|A）＝0.4，则事件A与事件B独立 D．若随机变量X服从正态分布N（6，σ2），若P（X＜10）＝0.8，则P（2＜X＜6）＝0.3（多选）10．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．ab的最小值是14B．2a2+b2的最小值是23C．a+b的最大值是D．1a+（多选）11．（6分）已知函数f(x)=2xA．f（x）的定义域为R B．f（x）是非奇非偶函数 C．函数f（x+2024）的零点为0 D．当x＞0时，f（x）的最大值为1三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分）12．（5分）命题：“∀x∈R，ex⩾x2”的否定是．13．（5分）今年3月5日，李强总理在政府工作报告中强调“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．新质生产力代表一种生产力的跃迁，它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力，具有高效能、高效率、高质量的特征，为了让同学们对新质生产力有更多的了解，某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四场公益讲座，主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”“AI+医疗的发展趋势”“低空经济的前景展望”“从人工智能、工业互联网到大数据”．已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有种（用数字作答）．14．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列命题中正确的序号是．①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③函数y＝f（x）的图象与直线y=1④f（x+1）＝f（x）．四、解答题：〔本大题共5小题，共计77分）15．（15分）某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下2×2列联表：合格品不合格品合计升级前12080200升级后15050200合计270130400（1）根据上表，依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，能否认为产品的合格率与技术升级有关？（2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有X件，属于升级后生产的有Y件，求X＞Y的概率．附：χ2α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82816．（15分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{an+n}前n项和Tn．17．（15分）已知函数f(x)=lnx−ax+1，a∈（1）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）判断函数f（x）的零点个数．18．（15分）如图1，已知在正方形ABCD中，AB＝2，M，E，F分别是边CD，BC，AD的中点，现将矩形ABEF沿EF翻折至矩形A′B′EF的位置，使平面A′B′EF⊥平面CDFE，如图2所示．（1）证明：平面A′EM⊥平面A′FM；（2）设Q是线段A′E上一点，且二面角A′﹣FM﹣Q的余弦值为33，求EQ19．（17分）某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）张同学6天9天13天2天李同学6天6天6天12天假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率；（2）记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知P（M）＞0，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率大，求证：P（M|N）＞P（M|N）．

2023-2024学年黑龙江省佳木斯市桦南一中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本题共8小题，每题5分，共计40分）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩（∁UB）＝（）A．{3} B．{1，2} C．{1，2，6} D．{1，2，3，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】根据集合的基本运算即可求解．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5}，∴∁UB＝{1，2，6}，∵A＝{1，2，3}，∴A∩（∁UB）＝{1，2}．故选：B．2．（5分）“（2x+a）5的二项展开式中x3的系数为80”是“a＝﹣1或a＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】二项式定理的应用；充分条件的判断．【答案】C【分析】利用二项式定理求出展开式中x3的系数，再根据充分条件和必要条件的定义判断可得答案．【解答】解：因为（2x+a）5的展开式中x3的系数为C5所以a＝1或a＝﹣1，所以“（2x+a）5的二项展开式中x3的系数为80”是“a＝﹣1或a＝1”的充要条件．故选：C．3．（5分）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜5}，则不等式cx2+bx﹣a＞0的解集为（）A．{x|x＜15或x＞13} C．{x|15＜x＜【考点】解一元二次不等式．【答案】D【分析】由题意可得a＞0且方程ax2+bx﹣c＝0的解为3，5，利用韦达定理将b，c用a表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解．【解答】解：因为关于x的一元二次不等式ax2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜5}，所以a＞0且方程ax2+bx﹣c＝0的解为3，5，所以−ba=8，−ca=15，所以b＝﹣8则不等式cx2+bx﹣a＞0，即为不等式﹣15ax2﹣8ax﹣a＞0，则15x2+8x+1＜0，解得−1所以不等式cx2+bx﹣a＞0的解集为{x|−1故选：D．4．（5分）幂函数y=xm2−2m−3(m∈Z)A．1 B．2 C．3 D．4【考点】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性．【答案】A【分析】根据已知条件，结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解．【解答】解：幂函数y=x则m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3，m∈Z，则m＝0，1，2，当m＝0或2时，m2﹣2m﹣3均为奇数，不符合题意，舍去，当m＝1时，在m2﹣2m﹣3为偶数，符合题意．故选：A．5．（5分）已知线性回归方程ŷ=bA．﹣2.4 B．﹣2.5 C．2.4 D．2.5【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】D【分析】在已知线性回归方程中，取x＝2求得ŷ【解答】解：由线性回归方程ŷ取x＝2，得ŷ又相应于点（2，5.5）的残差为﹣0.1，∴5.5﹣2b̂−0.6＝﹣0.1，解得故选：D．6．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝x2e|x| B．f(x)=eC．f(x)=x4e【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象的变换．【答案】D【分析】根据题意，由函数的图象分析f（x）的定义域和对称性以及函数的变化趋势，由此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）的定义域为{x|x≠0}，其图象关于y轴对称，且当x→+∞时，f（x）→+∞，由此分析选项：对于A，f（x）＝x2e|x|，其定义域为R，不符合题意；对于B，f（x）=e|x|x3，其定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=−e|x|x3对于C，f（x）=x4e|x|−1，当x对于D，f（x）=e|x|x2，其定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=e|x|x2当x→+∞时，f（x）→+∞，符合题意．故选：D．7．（5分）已知偶函数f（x）的定义域为R，f（x）+f（3﹣x）＝0，且当x∈[0，32]时，f(x)=A．−54 B．﹣1 C．1 【考点】抽象函数的周期性；函数周期性的判断与求解．【答案】D【分析】根据题意，利用f（x）为偶函数及f（x）+f（3﹣x）＝0两个条件来判断函数周期，将f（2024）转化为x∈[0，3【解答】解：根据题意，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），变形可得f[﹣（3﹣x）]＝f（3﹣x），即f（x﹣3）＝f（3﹣x），又f（x）+f（3﹣x）＝0，故f（x）+f（x﹣3）＝0，即f（x）＝﹣f（x﹣3）①，用x﹣3代替x得f（x﹣3）＝﹣f（x﹣6）②．由①②得f（x）＝f（x﹣6），故f（x）的周期为6，故f（2024）＝f（6×337+2）＝f（2），又由已知f（x）+f（3﹣x）＝0得f（2）＝﹣f（1）．因为当x∈[0，32]时，f(x)=x2故选：D．8．（5分）已知函数为f（x）=−x2−2ax−a，x＜0，eA．（﹣∞，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[0，+∞）【考点】分段函数的应用．【答案】B【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．【解答】解：函数为f（x）=−x2可知：−a≥0−a≤可得a∈[﹣1，0]．故选：B．二、多选题（共3小题，每题6分，共18分）（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．若随机变量X～B(10，12)，则E（B．若随机变量X的方差D（X）＝1，则D（3X+1）＝10 C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.4，P（B|A）＝0.4，则事件A与事件B独立 D．若随机变量X服从正态分布N（6，σ2），若P（X＜10）＝0.8，则P（2＜X＜6）＝0.3【考点】n重伯努利试验与二项分布；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】ACD【分析】对于A，结合二项分布的期望公式，即可求解；对于B，结合方差的线性公式，即可求解；对于C，结合事件独立的定义，即可求解；对于D，结合正态分布的对称性，即可求解．【解答】解：随机变量X～B(10，1则E（X）=10×12=5随机变量X的方差D（X）＝1，则D（3X+1）＝32D（X）＝9，故B错误；P（B）＝P（B|A）＝0.4，则事件A的发生与事件B的发生没有关系，即事件A与事件B独立，故C正确；随机变量X服从正态分布N（6，σ2），P（X＜10）＝0.8，则P（2＜X＜6）＝P（6＜X＜10）＝P（X＜10）﹣P（X≤6）＝0.8﹣0.5＝0.3，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．ab的最小值是14B．2a2+b2的最小值是23C．a+b的最大值是D．1a+【考点】基本不等式及其应用．【答案】BC【分析】直接利用消参法和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：对于A，∵a＞0，b＞0，且a+b＝1，∴ab≤(a+b2)2=14，即a=b=对于B，∵a+b＝1，∴b＝1﹣a，2a即a=13时，2a2+b2的最小值是23对于C，∵a＞0，b＞0，且a+b＝1，∴(a+b2)对于D，∵1a+2ab=a+ba+2a故选：BC．（多选）11．（6分）已知函数f(x)=2xA．f（x）的定义域为R B．f（x）是非奇非偶函数 C．函数f（x+2024）的零点为0 D．当x＞0时，f（x）的最大值为1【考点】函数的零点；基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法；函数的奇偶性．【答案】AD【分析】根据函数解析式有意义，列式求出f（x）的定义域，从而判断出A项的正误；由函数奇偶性的定义，判断出f（x）的奇偶性，从而判断出B项的正误；求出方程f（x+2004）＝0的根，从而判断出C项的正误；当x＞0时，利用基本不等式求出f（x）的最大值，从而判断出D项的正误．【解答】解：对于A，函数f(x)=2xx2+9的自变量x满足x2+9≠0，解得x∈R，故f（x）的定义域为对于B，因为f（﹣x）=−2x(−x)2+9=−2xx2+9=−f（x对于C，f（x+2024）=2(x+2024)(x+2024)2+9，可知f即函数f（x+2024）的零点为﹣2024，故C项不正确；对于D，当x＞0时，f（x）=2x+9x≤2所以当x＞0时，f（x）最大值为f（3）=13，故故选：AD．三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分）12．（5分）命题：“∀x∈R，ex⩾x2”的否定是．【考点】求全称量词命题的否定．【答案】∃x∈R，ex＜x2．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可写出命题的否定．【解答】解：命题：“∀x∈R，ex≥x2”的否定是：∃x∈R，ex＜x2．故答案为：∃x∈R，ex＜x2．13．（5分）今年3月5日，李强总理在政府工作报告中强调“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．新质生产力代表一种生产力的跃迁，它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力，具有高效能、高效率、高质量的特征，为了让同学们对新质生产力有更多的了解，某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四场公益讲座，主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”“AI+医疗的发展趋势”“低空经济的前景展望”“从人工智能、工业互联网到大数据”．已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有种（用数字作答）．【考点】排列组合的综合应用．【答案】48．【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解．【解答】解：已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习，先将4人分成2组，其中为“2，2”和“3，1”两组，当为“2，2”时，则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择有C4当为“3，1”时，则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择有C4则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有24+24＝48种．故答案为：48．14．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[﹣1.08]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列命题中正确的序号是．①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③函数y＝f（x）的图象与直线y=1④f（x+1）＝f（x）．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【答案】②③④．【分析】根据高斯函数定义可得f（x）的解析式和图象，由图象判断各个选项即可．【解答】解：由题意得：f(x)=x−[x]=⋅⋅⋅对于①，函数f（x）＜1，①错误；对于②：函数f（x）的最小值为0，②正确；对于③，函数y＝f（x）的图象与直线y=12有无数个交点，对于④，函数f（x）满足f（x+1）＝f（x），④正确．故答案为：②③④．四、解答题：〔本大题共5小题，共计77分）15．（15分）某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下2×2列联表：合格品不合格品合计升级前12080200升级后15050200合计270130400（1）根据上表，依据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，能否认为产品的合格率与技术升级有关？（2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有X件，属于升级后生产的有Y件，求X＞Y的概率．附：χ2α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【考点】独立性检验．【答案】（1）有关；（2）16【分析】（1）根据题意，结合列联表中的数据求得χ2的值，与临界值表对照下结论；（2）根据分层随机抽样，得到抽取的9件产品中属于升级前生产的和升级后生产的件数，确定X、Y的取值，求出对应的概率，即可得到X＞Y的概率．【解答】解：（1）零假设为H0：产品的合格率与技术升级无关，χ2根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，推断H0不成立，即认为产品的合格率与技术升级有关．（2）升级前后合格品的比例为4：5，故抽取的9件中有4件属于升级前生产的，有5件属于升级后生产的，当X＝4，Y＝0时，P1当X＝3，Y＝1时，P2则X＞Y的概率P=P16．（15分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{an+n}前n项和Tn．【考点】数列求和的其他方法；由等比数列中若干项求通项公式或其中的项；求等比数列的前n项和．【答案】（1）an（2）2n+1【分析】（1）根据等比数列的求和公式及通项公式求出公比及a2即可得出通项公式；（2）由等比数列、等差数列的求和公式，利用分组求和得解．【解答】解：（1）根据题意，∵等比数列{an}满足S6∴q≠1，∴S6∴q＝2，又a2∴a2＝4，∴an（2）由（1）知，an∴T＝（21+22+23+⋯+2n）+（1+2+3+⋯+n）=2(1−17．（15分）已知函数f(x)=lnx−ax+1，a∈（1）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）判断函数f（x）的零点个数．【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的最值．【答案】（1）（﹣∞，﹣4）；（2）f（x）只有一个零点．【分析】（1）根据题意，求导可得f′（x），令g（x）＝x2+2+ax+1，将问题转化为g′（x）＝0在（0，+∞）内有两个不同的实数解，列出不等式代入计算，即可求解；（2）根据题意，将函数零点问题转化为方程a＝（x+1）lnx实数根的个数，构造函数h（x）＝（x+1）lnx，由导数得到函数h（x）的单调性，即可得到结果．【解答】解：（1）f′(x)=1x+令g（x）＝x2+2+ax+1，（x＞0），由题意知方程g′（x）＝0在（0，+∞）内有两个不同的实数解，又g（0）＝1＞0，且函数g（x）图象的对称轴为直线x=−2+a所以只需−2−a＞0Δ=解得a＜﹣4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4）；（2）函数f（x）零点个数等价于方程lnx=a等价于方程a＝（x+1）lnx实数根的个数，设函数h（x）＝（x+1）lnx，h′(x)=lnx+1+1令φ(x)=lnx+1+1x，当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＝2，所以，h′（x）≥2＞0，h（x）单调递增，当x→0时，h（x）→﹣∞；当x→+∞时，h（x）→+∞；所以方程a＝（x+1）lnx只有一个实数根．所以f（x）只有一个零点．18．（15分）如图1，已知在正方形ABCD中，AB＝2，M，E，F分别是边CD，BC，AD的中点，现将矩形ABEF沿EF翻折至矩形A′B′EF的位置，使平面A′B′EF⊥平面CDFE，如图2所示．（1）证明：平面A′EM⊥平面A′FM；（2）设Q是线段A′E上一点，且二面角A′﹣FM﹣Q的余弦值为33，求EQ【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）EQEA′【分析】（1）首先利用面面垂直的性质定理证得A′F⊥平面CDFE，得A′F⊥EM，然后结合EM⊥FM得到EM⊥平面A′FM，最后利用面面垂直的判定定理证得平面A′EM⊥平面A′FM；（2）可以建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解，也可以利用二面角的定义找到二面角的平面角，然后在三角形中进行求解．【解答】解：（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，E，F分别是边BC，AD的中点，所以∠A是直角，且AF平行且等于BE，即四边形AFEB是矩形，进一步有A′F⊥EF，因为平面A′B′EF⊥平面CDFE，平面A′B′EF∩平面CDFE＝EF，且A′F⊂平面A′B′EF，A′F⊥EF，所以A′F⊥平面CDFE，因为EM⊂平面CDFE，所以A′F⊥EM．易知∠EMC=∠FMD=π4，则∠EMF=π2，所以因为FM∩A′F＝F，FM⊂平面A′FM，A′F⊂平面A′FM，所以EM⊥平面A′FM．又EM⊂平面A′EM，所以平面A′EM⊥平面A′FM．（2）解法一：由（1）可知，FD，FE，FA′三条直线两两垂直，故可以F为坐标原点，分别以FD→，FE→，FA′→的方向为x轴、y如图所示．则F（0，0，0），M（1，1，0），E（0，2，0），A′（0，0，1），从而FM→=(1，1，0)，由题设EQ→=λEA′又FE→=(0，2，0)，则设平面QFM的法向量为n→=(x，y，z)，则FM→取y＝1，则x＝﹣1，z=2λ−2λ，得由（1）知，ME→=(−1，1，0)是平面A′所以|cosME→，n→解法二：如图，过点Q作QP⊥EF，垂足为P，过点P作PG⊥FM，垂足为G，连接QG．因为平面A′B′EF⊥平面CDFE，平面A′B′EF∩平面CDFE＝EF，且QP⊥EF，QP⊂平面A′B′EF，所以QP⊥平面A′B′EF，即QP⊥平面MEF，又FM⊂平