2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若可导函数f（x）满足limΔx→0f(3+Δx)−f(3)ΔxA．1 B．2 C．3 D．42．（5分）已知数列{an}的通项公式为an＝2n+1，则257是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项3．（5分）设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项的和为（）A．63 B．64 C．127 D．1284．（5分）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9（单位：L）依次成等差数列，若a1+a2+a3＝3.6，a8＝0.4，则a1+a2+…+a9＝（）A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.55．（5分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．6．（5分）现有6本相同的数学课本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方案有多少种（）A．33 B．C6C．C6D．A7．（5分）函数f（x）＝sinx﹣（x+2）cosx﹣1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为（）A．﹣2π﹣3，π+1 B．﹣2π﹣3，﹣3 C．﹣3，π+1 D．﹣3，28．（5分）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面．五行学说是华夏文明重要组成部分．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A．3125 B．1000 C．1040 D．1020二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列求导运算正确的是（）A．（xsinx）′＝sinx+xcosx B．(x−1C．（2x）′＝2x•ln2 D．（xex）′＝ex（多选）10．（6分）过点（﹣1，﹣1）且与曲线y＝3x3+2相切的直线方程可能为（）A．8x﹣y+7＝0 B．9x﹣y+8＝0 C．9x﹣4y+5＝0 D．8x﹣3y+5＝0（多选）11．（6分）将数列{an}中的所有项排成如下数阵：a1从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数a1，a2，a5，•••成等差数列．若a2＝2，a10＝8，则（）A．a1＝﹣1 B．i=29C．a2024位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知等差数列{an}满足a1+a6＝12，a4＝7，则a3＝．13．（5分）若函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2f′（1）lnx+x，则f（e）＝．14．（5分）已知首项均为32的等差数列{an}与等比数列{bn}满足a3＝﹣b2，a4＝b3，且{an}的各项均不相等，设Sn为数列{bn}的前n项和，则Sn2四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列{an}是首项为1的等差数列，公差d＞0，设数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=1an⋅an+1，求数列{16．（15分）3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采．某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序．（1）共有多少种不同的安排方案？（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？17．（15分）设函数f（x）＝x2+（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调性．18．（17分）若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2(n∈N∗)，数列{bn}满足b1＝2，bn＝3bn﹣1（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn+1}是等比数列；（3）设数列{cn}满足cn=anbn+1，其前n项和为Tn，若对任意n∈N*，2（Tn19．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣exsinx（e为自然对数的底数）．（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若不等式a≤f（x）≤b对任意x∈[0，π2]恒成立，求实数a（3）证明：f(x−1)＞1−e

2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若可导函数f（x）满足limΔx→0f(3+Δx)−f(3)ΔxA．1 B．2 C．3 D．4【考点】变化率的极限与导数的概念．【答案】D【分析】根据导数的定义计算可得．【解答】解：limΔx→0则f'（3）＝4．故选：D．2．（5分）已知数列{an}的通项公式为an＝2n+1，则257是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【考点】数列的函数特性．【答案】C【分析】根据通项公式令an＝257，求出n的值即可求解．【解答】解：令an=即2n＝256，解得n＝8，所以257是数列的第8项，故选：C．3．（5分）设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项的和为（）A．63 B．64 C．127 D．128【考点】等比数列的前n项和．【答案】C【分析】先由通项公式求出q，再由前n项公式求其前7项和即可．【解答】解：因为a5＝a1q4，即q4＝16，又q＞0，所以q＝2，所以S7=1−故选：C．4．（5分）在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9（单位：L）依次成等差数列，若a1+a2+a3＝3.6，a8＝0.4，则a1+a2+…+a9＝（）A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5【考点】等差数列的通项公式．【答案】C【分析】根据等差数列性质得a2＝1.2，进一步利用a1【解答】解：∵{an}为等差数列，∴a1+a2+a3＝3a2＝3.6，故a2＝1.2，∴a=9故选：C．5．（5分）已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】根据函数y＝xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．【解答】解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：C．6．（5分）现有6本相同的数学课本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方案有多少种（）A．33 B．C6C．C6D．A【考点】人员及物品分配问题．【答案】D【分析】结合排列和组合的定义，根据相同元素的分配问题分类讨论求解即可．【解答】解：由题意得，分配方案有三种：第一种方案：两个人各1本，一个人4本，分配的方法数为C3第二种方案：三个人各2本，分配的方法数为1；第三种方案：一个人1本，一个人2本，一个人3本，分配的方法数为A3因此共有A3故选：D．7．（5分）函数f（x）＝sinx﹣（x+2）cosx﹣1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为（）A．﹣2π﹣3，π+1 B．﹣2π﹣3，﹣3 C．﹣3，π+1 D．﹣3，2【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】A【分析】利用导数求得f（x）的单调区间，从而判断出f（x）在区间[0，2π]上的最小值和最大值．【解答】解：f′（x）＝cosx﹣cosx+（x+2）sinx＝（x+2）sinx，所以f（x）在区间（0，π）上，f′（x）＞0，即f（x）单调递增；在区间（π，2π）上，f′（x）＜0，即f（x）单调递减，又f（0）＝﹣3，f（2π）＝﹣2π﹣3，f（π）＝π+1，所以f（x）在区间[0，2π]上的最小值为﹣2π﹣3，最大值为π+1．故选：A．8．（5分）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面．五行学说是华夏文明重要组成部分．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A．3125 B．1000 C．1040 D．1020【考点】排列组合的综合应用．【答案】D【分析】根据不相邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可．【解答】解：五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件，五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，故问题转化为如图A，B，C，D，E五个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，分为以下两类情况：第一类：A，C，D三个区域涂三种不同的颜色，第一步涂A，C，D区域，从5种不同的颜色中选3种按顺序涂在不同的3个区域上，则有A3第二步涂B区域，由于A，C颜色不同，则有3种方法，第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有3×3×A第二类：A，C，D三个区域涂两种不同的颜色，由于C，D不能涂同一色，则A，C涂一色，或A，D涂同一色，两种情况方法数相同，若A，C涂一色，第一步涂A，C，D区域，A，C可看成同一区域，且A，D区域不同色，即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上，则有A5第二步涂B区域，由于A，C颜色相同，则有4种方法，第三步涂E区域，由于A，D颜色不同，则有3种方法，由分步计数原理，则共有4×3×A若A，D涂一色，与A，C涂一色的方法数相同，则共有2×240＝480种方法，由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有540+480＝1020种．故选：D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列求导运算正确的是（）A．（xsinx）′＝sinx+xcosx B．(x−1C．（2x）′＝2x•ln2 D．（xex）′＝ex【考点】基本初等函数的导数．【答案】ABC【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得．【解答】解：对于A：（xsinx）′＝（x）′sinx+x（sinx）′＝sinx+xcosx，故A正确；对于B：(x−1x)′=(x−对于C：（2x）′＝2x•ln2，故C正确；对于D：（xex）′＝（x）′ex+x（ex）′＝ex+xex＝（x+1）ex，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（6分）过点（﹣1，﹣1）且与曲线y＝3x3+2相切的直线方程可能为（）A．8x﹣y+7＝0 B．9x﹣y+8＝0 C．9x﹣4y+5＝0 D．8x﹣3y+5＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】BC【分析】借助导数的几何意义计算即可得．【解答】解：设切点为(x0，3x03+2)，又所以曲线y＝3x3+2在点(x0，3所以−1−(3x整理得(x0+1)2⋅(2x即切线方程为9x﹣y+8＝0或9x﹣4y+5＝0．故选：BC．（多选）11．（6分）将数列{an}中的所有项排成如下数阵：a1从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数a1，a2，a5，•••成等差数列．若a2＝2，a10＝8，则（）A．a1＝﹣1 B．i=29C．a2024位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次【考点】等差数列与等比数列的综合．【答案】ACD【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解．【解答】解：由第1列数a1，a2，a5，a10，⋯成等差数列，设公差为d，又由a2＝2，a10＝8，可得a1+d＝2，a1+3d＝8，解得a1＝﹣1，d＝3，则第一列的通项公式为ak＝﹣1+（k﹣1）×3＝3k﹣4，又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，可得a2+a3+⋯+a9＝2+4+8+5+10+20+40+80＝169，所以A正确，B错误；又因为每一行的最后一个数为a1，a4，a9，a16，⋯，且452＝2025，可得a2024是a2025的前一个数，且a2025在第45行，因为这一行共有2×45﹣1＝89个数，则a2024在第45行的第88列，所以C正确；由题设可知第i行第j个数的大小为（3i﹣4）×2j﹣1，令（3i﹣4）×2j﹣1＝2024＝253×23，若j＝1，则3i﹣4＝2024即i＝676；若j＝2，则3i﹣4＝506即i＝170；若j＝3，则3i﹣4＝253，无整数解，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知等差数列{an}满足a1+a6＝12，a4＝7，则a3＝5．【考点】等差数列的通项公式．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用等差数列的性质求出结果．【解答】解：根据等差数列的性质，a1+a6＝a4+a3＝12，解得a3＝5．故答案为：5．13．（5分）若函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2f′（1）lnx+x，则f（e）＝﹣2+e．【考点】基本初等函数的导数．【答案】﹣2+e．【分析】由求导计算公式求出f′（1），再代入求出f（e）即可．【解答】解：由f（x）＝2f′（1）lnx+x，得f′(x)=2f′(1)令x＝1，则f′(1)=2f′(1)1+1所以f（x）＝﹣2lnx+x，f（e）＝﹣2+e．故答案为：﹣2+e．14．（5分）已知首项均为32的等差数列{an}与等比数列{bn}满足a3＝﹣b2，a4＝b3，且{an}的各项均不相等，设Sn为数列{bn}的前n项和，则Sn2−1S【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【答案】1712【分析】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式先求出公比q及公差d，然后结合等比数列的求和公式求出Sn，然后结合数列的单调性即可求解．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q≠0），由a3=−b2a4=b得32+2d=−3∴Sn令t=Sn2−1Sn，则t=Sn−当n为奇数时，Sn=1+(12)n，Sn当n为偶数时，Sn=1−(12)n，Sn所以，tmin=−7因此，Sn2−1故答案为：1712四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列{an}是首项为1的等差数列，公差d＞0，设数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=1an⋅an+1，求数列{【考点】裂项相消法．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）Tn【分析】（1）借助等差数列前n项和的性质与等比中项的性质计算求出d值即可得；（2）bn【解答】解：（1）由题意可得S1S4又a1＝1，故d2﹣2d＝0，即d＝2或d＝0，又d＞0，故d＝2，即an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）bn故T=116．（15分）3月11日，2024年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采．某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序．（1）共有多少种不同的安排方案？（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？【考点】部分元素相邻的排列问题．【答案】（1）120；（2）96；（3）48．【分析】（1）将5项活动进行全排列，即可求得答案；（2）先从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，其余全排列，即可求得答案；（3）利用捆绑法，即可求得答案．【解答】解：（1）安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这5种活动的举办顺序，共有A5（2）若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，则共有A4（3）若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，内部全排列，然后和其余活动全排列，则共有A217．（15分）设函数f（x）＝x2+（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）讨论函数f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）当a≥0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣2＜a＜0时，函数f（x）在(−a2，1)上单调递减，在(0，−a2)，（1，+∞）上单调递增；当a＝﹣2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣2时，函数f（【分析】（1）代入a的值，求导，判断其单调性，进而得到极值；（2）对函数f（x）求导，分a≥0，﹣2＜a＜0，a＝﹣2及a＜﹣2讨论导函数与0的关系，即可得到单调性情况．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝1时，f(x)=x令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）的极小值为f（1）＝0，无极大值；（2）f′(x)=2x+a−2−a当a≥0时，2x+a＞0，令f′（x）＞0，解得x＞1，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当0＜−a2＜1，即﹣2＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜−a2或x＞1，令f∴函数f（x）在(−a2，1)当−a2=1，即a＝﹣2时，f′（x）≥0，函数f当−a2＞1，即a＜﹣2时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞−a2，令f∴函数f（x）在(1，−a2)综上所述，当a≥0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当﹣2＜a＜0时，函数f（x）在(−a2，1)当a＝﹣2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣2时，函数f（x）在(1，−a2)18．（17分）若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2(n∈N∗)，数列{bn}满足b1＝2，bn＝3bn﹣1（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn+1}是等比数列；（3）设数列{cn}满足cn=anbn+1，其前n项和为Tn，若对任意n∈N*，2（Tn【考点】错位相减法．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）证明见解析；（3）[4【分析】（1）先求a1，再由公式求an，检验n＝1是否成立即可；（2）证明bn（3）先利用错位相减法得Tn=1−(n+1)(【解答】解：（1）因为Sn=n2(n∈N∗)，当当n≥2时，an且n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝2n﹣1；（2）证明：当n≥2时，由bn＝3bn﹣1+2，所以bn+1＝3（bn﹣1+1），依题意知：bn+1≠0，所以bn而b1+1＝3，所以数列{