2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高三(上)第一次段考数学试卷

2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高三（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，3}，B＝{﹣1，1}，下列结论成立的是（）A．A⊆B B．A∩B＝∅ C．A∪B＝A D．∁AB＝{1，2，3}2．（5分）已知对数函数f（x）＝log2x的图象经过点A（4，t），，，，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c3．（5分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（）A． B．ac2＞bc2 C．3a＜3b D．a3＞b34．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13+a14+a15+a16＝（）A．20 B．16 C．12 D．85．（5分）若“∃x∈[4，6]，x2﹣ax﹣1＞0”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．6．（5分）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2020年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间t的关系为N＝N0e﹣kt（N0为最初污染物数量）．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）小时．A．3.6 B．3.8 C．4 D．4.27．（5分）已知函数f（x）（x∈D）的最大值为M，函数g（x）（x∈D）的最小值为N，则M≤N是f（x）≤g（x）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数f（x）＝e|x﹣2|+x2﹣4x+4，则使得不等式f（2m+1）＜f（m+2）成立的实数m的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）若2x1+1，2x2+1，⋯，2xn+1的平均数为3，方差为4，则x1，x2，⋯，xn的（）A．平均数为1 B．方差为1 C．平均数为 D．方差为2（多选）10．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝[f（x）]，则下列叙述中正确的是（）A．g（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）在R上是增函数 D．g（x）的值域是{﹣1，0，1}（多选）11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则下列说法正确的是（）A．f（x）是以4为周期的周期函数 B．f（2022）+f（2023）＝﹣2 C．函数y＝log2（x+1）的图象与函数f（x）的图象有且仅有3个交点 D．当x∈[3，4]时，f（x）＝x2﹣9x+18（多选）12．（5分）若函数f（x）在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称f（x）在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（）A．若f（x）＝x2，则不存在区间M使f（x）为“弱增函数” B．若f（x）＝x+，则存在区间M使f（x）为“弱增函数” C．若f（x）＝x3+x，则f（x）为R上的“弱增函数” D．若f（x）＝x2+（4﹣a）x+a在区间（0，2]上是“弱增函数”，则a＝4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知狄利克雷函数D（x）＝则D（D（x））＝．14．（5分）已知a＞0，b＞0，且ab＝8，则2a+b的最小值为，此时a+b＝．15．（5分）已知函数是偶函数，则m＝．16．（5分）已知函数与，若对任意的x1∈（0，1），都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知p：函数f（x）＝（a﹣m）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根都大于1．（1）当m＝5时，p是真命题，求a的取值范围；（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围．18．（12分）已知数列{an}满足．（1）求证：{an+1﹣an}是等差数列；（2）若a1＝1，a2＝2，求{an}的通项公式．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，求m的取值范围．20．（12分）为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%．学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生女生合计（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0250.010.001k05.0256.63510.82821．（12分）已知函数（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若a＝2，求函数y＝f（2x）的值域；（Ⅲ）是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间上的值域为（1，2），若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，an+Sn＝3﹣（）n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn＝an，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意的正整数n，恒有λ＜Tn，求实数λ的取值范围．

2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高三（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，3}，B＝{﹣1，1}，下列结论成立的是（）A．A⊆B B．A∩B＝∅ C．A∪B＝A D．∁AB＝{1，2，3}【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】利用子集定义判断A；利用交集定义判断B；利用并集定义判断C；利用补集定义判断D．【解答】解：集合A＝{﹣1，1，2，3}，B＝{﹣1，1}，对于A，A⊇B，故A错误；对于B，A∩B＝{﹣1，1}，故B错误；对于C，A∪B＝A，故C正确；对于D，∁AB＝{2，3}，故D错误．故选：C．2．（5分）已知对数函数f（x）＝log2x的图象经过点A（4，t），，，，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较；对数函数的图象与性质．【答案】D【分析】由已知先求出t，然后代入分别求出a，b，c即可比较大小．【解答】解：由题意得t＝f（4）＝log24＝2，故a＝logt＝﹣1，b＝，c＝，所以c＞b＞a．故选：D．3．（5分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（）A． B．ac2＞bc2 C．3a＜3b D．a3＞b3【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】D【分析】前两个选项可以取值说明，选项C可利用指数函数的单调性进行判定，选项D利用立方差公式进行判定即可．【解答】解：取a＝1，b＝﹣1，此时，故选项A不正确；取c＝0，此时ac2＝bc2，故选项B不正确；y＝3x在R上单调递增，a＞b，则3a＞3b，故选项C不正确；因为a＞b，所以a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝，故选项D正确．故选：D．4．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13+a14+a15+a16＝（）A．20 B．16 C．12 D．8【考点】等差数列的前n项和．【答案】A【分析】由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列，由此能求出a13+a14+a15+a16的值．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝8，S8＝20，由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列，又S4＝8，S8﹣S4＝20﹣8＝12，∴S12﹣S8＝S12﹣20＝12+4＝16，S16﹣S12＝a13+a14+a15+a16＝16+4＝20．故选：A．5．（5分）若“∃x∈[4，6]，x2﹣ax﹣1＞0”为假命题，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．【答案】B【分析】将问题转化为∀x∈[4，6]，x2﹣ax﹣1≤0恒成立，再参变分离即可求解．【解答】解：题设等价于∀x∈[4，6]，x2﹣ax﹣1≤0恒成立，即在[4，6]恒成立，所以，且x∈[4，6]．又因为在[4，6]上是增函数，所以，所以．故选：B．6．（5分）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2020年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间t的关系为N＝N0e﹣kt（N0为最初污染物数量）．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）小时．A．3.6 B．3.8 C．4 D．4.2【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】C【分析】先通过“前4小时消除了20%的污染物”求出，再令N＝0.64N0可求出t＝8，进而得到答案．【解答】解：由题意可得，可得，设，可得e﹣kt＝（e﹣4k）2＝e﹣8k，解得t＝8．因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）（x∈D）的最大值为M，函数g（x）（x∈D）的最小值为N，则M≤N是f（x）≤g（x）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】函数的最值及其几何意义；充分条件与必要条件．【答案】A【分析】由f（x）max≤g（x）min，可得f（x）≤g（x），举例说明由f（x）≤g（x）不一定得到f（x）max≤g（x）min，再由充分必要条件的判定得答案．【解答】解：由M≤N，即f（x）max≤g（x）min，可得f（x）≤g（x）；反之，由f（x）≤g（x）不一定得到M≤N，如f（x）＝sinx，g（x）＝sinx+，满足f（x）≤g（x），f（x）max＝1，，不满足M≤N．∴M≤N是f（x）≤g（x）的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝e|x﹣2|+x2﹣4x+4，则使得不等式f（2m+1）＜f（m+2）成立的实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】B【分析】可得出f（x+2）是偶函数，并且在（0，+∞）上是增函数，然后可根据f（2m+1）＜f（m+2）得出|2m﹣1|＜|m|，从而解出m的范围即可．【解答】解：∵f（x+2）＝e|x|+x2，∴f（x+2）是偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，由f（2m+1）＜f（m+2）得，f（2m﹣1+2）＜f（m+2），∴|2m﹣1|＜|m|，解得，∴m的取值范围是：．故选：B．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）若2x1+1，2x2+1，⋯，2xn+1的平均数为3，方差为4，则x1，x2，⋯，xn的（）A．平均数为1 B．方差为1 C．平均数为 D．方差为2【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【答案】AB【分析】利用均值和方差的性质求解新的均值和方差．【解答】解：若x1，x2，⋅⋅⋅，xn的平均数为，方差为s2，则2x1+1，2x2+1，⋅⋅⋅，2xn+1的平均数为，方差为4s2，令，4s2＝4，解得，s2＝1．故选：AB．（多选）10．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝[f（x）]，则下列叙述中正确的是（）A．g（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）在R上是增函数 D．g（x）的值域是{﹣1，0，1}【考点】函数与方程的综合运用；函数的值域；奇偶性与单调性的综合．【答案】BC【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝﹣＝﹣，则g（1）＝[f（1）]＝[]＝0，g（﹣1）＝[f（﹣1）]＝[﹣]＝﹣1，g（1）≠g（﹣1），g（x）不是偶函数，A错误，对于B，f（x）＝﹣，f（﹣x）＝﹣＝﹣，有f（﹣x）+f（x）＝0，即函数f（x）为奇函数，B正确，对于C，f（x）＝﹣＝﹣，设t＝2x+1，y＝﹣，t＝2x+1在R上是增函数，y＝﹣在（1，+∞）也是增函数，则f（x）在R上是增函数，C正确，对于D，设y＝f（x）＝﹣，变形可得2x＝＞0，解可得﹣＜y＜，即f（x）的值域为（﹣，），g（x）＝[f（x）]，其值域为{﹣1，0}，D错误，故选：BC．（多选）11．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1﹣x）＝﹣f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则下列说法正确的是（）A．f（x）是以4为周期的周期函数 B．f（2022）+f（2023）＝﹣2 C．函数y＝log2（x+1）的图象与函数f（x）的图象有且仅有3个交点 D．当x∈[3，4]时，f（x）＝x2﹣9x+18【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质与判断；函数的周期性．【答案】ACD【分析】A在，由偶函数的性质可得得f（x+1）＝f（x﹣3），可得函数的周期，判断A的真假；B中，由偶函数的性质可得f（2022）+f（2023）的值，判断B的真假；C中，画出图象，由数形结合，可得两个函数的交点个数，判断它的真假；D中，由周期性和偶函数的性质可得函数在[3，4]上的解析式，判断D的真假．【解答】解：A中，因为f（x）为偶函数，所以可得f（x+1）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1）＝f（x﹣3），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，所以A选项正确；B中，f（2022）＝f（2）＝﹣f（0）＝2，f（2023）＝f（﹣1）＝f（1）＝0，则f（2022）+f（2023）＝2，所以B选项错误；C中，作出函数y＝log2（x+1）与函数f（x）的图象如下图所示：当x∈[0，1]时，，结合图象可知，﹣2≤f（x）≤2．当x＞3时，log2（x+1）＞2，两个函数在（3，+∞）上的图象无交点，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以C选项正确；D中，当x∈[3，4]时，x﹣4∈[﹣1，0]，则4﹣x∈[0，1]，所以f（x）＝f（x﹣4）＝f（4﹣x）＝（4﹣x）2+（4﹣x）﹣2＝x2﹣9x+18，所以D选项正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）若函数f（x）在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称f（x）在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（）A．若f（x）＝x2，则不存在区间M使f（x）为“弱增函数” B．若f（x）＝x+，则存在区间M使f（x）为“弱增函数” C．若f（x）＝x3+x，则f（x）为R上的“弱增函数” D．若f（x）＝x2+（4﹣a）x+a在区间（0，2]上是“弱增函数”，则a＝4【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】ABD【分析】根据题意，结合已知新定义分别检验各选项中f（x）及相应的g（x）的单调性即可判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A：若f（x）＝x2，则g（x）＝x，不存在区间M，使得g（x）为减函数，A正确；对于B：若，则g（x）＝1+，存在区间M＝[1，2]，使f（x）在M上单调递增且g（x）在M上单调递减，B正确；对于C：若f（x）＝x5+x3+x，则g（x）＝x4+x2+1，则f（x）在R上单调递增，但g（x）在R上不是单调递减，C错误；对于D：若f（x）＝x2+（4﹣a）x+a在区间（0，2]上是弱增函数，则f（x）在（0，2]上单调递增，g（x）＝x++4﹣a在（0，2]上单调递减，所以，解得a＝4，D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知狄利克雷函数D（x）＝则D（D（x））＝1．【考点】函数的值．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，分析可得D（x）＝0或1，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，D（x）＝，则D（x）＝0或1，则D（D（x））＝1；故答案为：1．14．（5分）已知a＞0，b＞0，且ab＝8，则2a+b的最小值为8，此时a+b＝6．【考点】基本不等式及其应用．【答案】8；6．【分析】利用基本不等式，可得答案．【解答】解：因为a＞0，b＞0，且ab＝8，所以，当且仅当b＝2a，即a＝2，b＝4时取等号，所以2a+b的最小值为8，此时a+b＝6．故答案为：8；6．15．（5分）已知函数是偶函数，则m＝2．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】2．【分析】由偶函数的性质即可求解m的值．【解答】解：因为函数是偶函数，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以f（﹣x）＝f（x），即﹣x+＝x+，所以2x＝＝mx，所以m＝2，故答案为：2．16．（5分）已知函数与，若对任意的x1∈（0，1），都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【答案】见试题解答内容【分析】对任意的x1∈（0，1），都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），可知函数f（x）的值域是g（x）值域的子集，建立不等式关系即可求解；【解答】解：函数，x∈（0，1），那么f（x）∈（，1），由题意，x2﹣2ax+4＞0对任意x∈[0，2]都成立，即对任意x∈[0，2]都成立，又，当且仅当“x＝2”时取等号，∴2a＜4，即a＜2，又a＞0，则0＜a＜2，令m（x）＝x2﹣2ax+4，0≤x≤2，其对称轴为x＝a，①当0＜a＜1时，，m（x）max＝m（2）＝8﹣4a，则，∴，解得，此时无解；②当1≤a＜2时，，m（x）max＝m（0）＝log44＝1，则，∴，解得或，此时．综上，实数a的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知p：函数f（x）＝（a﹣m）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根都大于1．（1）当m＝5时，p是真命题，求a的取值范围；（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围．【考点】充分条件与必要条件．【答案】见试题解答内容【分析】（1）因为m＝5，所以f（x）＝（a﹣5）x，由p是真命题，所以0＜a﹣5＜1，即可得出a的取值范围．（2）若p是真命题，则0＜a﹣m＜1，解得m＜a＜m+1．关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根分别为a﹣1和a+1．若q是真命题，则a﹣1＞1，解得a范围．根据p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，即可得出m取值范围．【解答】解：（1）因为m＝5，所以f（x）＝（a﹣5）x因为p是真命题，所以0＜a﹣5＜1，所以5＜a＜6．故a的取值范围是（5，6）（2）若p是真命题，则0＜a﹣m＜1，解得m＜a＜m+1．关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根分别为a﹣1和a+1．若q是真命题，则a﹣1＞1，解得a＞2．因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，所以m≥2．18．（12分）已知数列{an}满足．（1）求证：{an+1﹣an}是等差数列；（2）若a1＝1，a2＝2，求{an}的通项公式．【考点】数列递推式；等差数列的性质．【答案】（1）证明过程见解析；（2）．【分析】（1）把已知等式变形，移向即可证明{an+1﹣an}是公差为4的等差数列；（2）由（1）求出{an+1﹣an}的通项公式，再由累加法求{an}的通项公式．【解答】（1）证明：由，得an+1+an﹣1＝2an+4，即an+1﹣an＝an﹣an﹣1+4，∴{an+1﹣an}是公差为4的等差数列；（2）解：∵a1＝1，a2＝2，∴a2﹣a1＝1，由（1）知，{an+1﹣an}是公差为4的等差数列，则an﹣an﹣1＝a2﹣a1+4（n﹣2）＝4n﹣7（n≥2），可得an﹣1﹣an﹣2＝4n﹣11，……a2﹣a1＝1，累加可得∴，当n＝1时a1也满足上式，∴．19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数解析式的求解及常用方法．【答案】（1）f（x）＝．（2）（﹣1，1）．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出x＜0时，f（x）的解析式即可；（2）问题转化为直线y＝﹣m与f（x）的图象有三个交点，作出f（x）的图象，数形结合即可求出m的范围．【解答】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x，令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，所以f（x）＝．（2）令g（x）＝f（x）+m＝0，则﹣m＝f（x），作出函数f（x）的图象，如图所示：根据图象，要保证函数g（x）＝f（x）+m在R上有三个零点，则直线y＝﹣m与f（x）的图象有三个交点，则﹣1＜﹣m＜1，即实数m的取值范围是（﹣1，1）．20．（12分）为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了100人，其中男生占总人数的40%，且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的32%．学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下2×2列联表：不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生女生合计（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10中随机抽取2人，若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0250.010.001k05.0256.63510.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．【答案】（1）有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）随机变量X的分布列为：X012P数学期望为．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对附表得出结论；（2）由分层抽样方法，结合题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下：不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生83240女生322860合计4060100计算K2＝≈11.11，因为11.11＞6.635，所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；（2）用分层抽样的方法随机抽取10人，有2人不适应寄宿生活，8人适应寄宿生活，所以随机变量X的取值可以是0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以随机变量X的分布列为：X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．21．（12分）已知函数（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若a＝2，求函数y＝f（2x）的值域；（Ⅲ）是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间上的值域为（1，2），若存在，求a，b的值；若不存