2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）下列函数中为偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=1x2 B．f（x）＝|x| C．f（x）=x D．f2．（5分）已知x＞2，则函数y=x+1A．22 B．22−2 C．23．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣34．（5分）已知4x＝9y＝6，则1xA．2 B．1 C．12 D．5．（5分）f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，a∈R，则（）A．f（a）＜f（2a） B．f（a2）＜f（a） C．f（a2+1）＜f（a） D．f（a2+a）＜f（a）6．（5分）已知x∈（1，2），a＝2x2，b＝（2x）2，c＝22x，则a，b，A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b7．（5分）若偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式f(x)+f(−x)3xA．（﹣2，2） B．（﹣2，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）8．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝f（﹣x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x+1，则f（21）＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知函数f（x）=x+2，x≤−1，x2，−1＜x＜2，关于函数A．f（x）的值域为（﹣∞，4） B．f（1）＝3 C．若f（x）＝3，则x的值是3 D．f（x）＜1的解集为（﹣1，1）（多选）10．（6分）已知f（x）是定义域为R的函数，满足f（x+1）＝f（x﹣3），f（1+x）＝f（3﹣x），当0≤x≤2时，f（x）＝x2﹣x，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为4 B．f（x）的图象关于直线x＝2对称 C．当0≤x≤4时，函数f（x）的最大值为2 D．当6≤x≤8时，函数f（x）的最小值为−（多选）11．（6分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），若函数f（x+1）的图像关于x＝﹣1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有f(x1)−f(A．f（x）是偶函数 B．f（2022）＝0 C．f（x）的图像关于（1，0）对称 D．f(−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若m＞0，n＞0，m+n＝3，则1m+413．（5分）函数y＝x+2x−1的最小值为14．（5分）已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8（a，b是常数），且f（﹣3）＝5，则f（3）＝．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性．16．（15分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．（1）求f（0）的值．（2）证明函数f（x）是周期函数．17．（15分）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在区间[﹣2，4]上的最大值是16．（1）求实数a的值；（2）假设函数g(x)=log2(x2−3x+2a)的定义域是R，求不等式log18．（17分）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意x＞0，y＞0都有f（xy）＝f（x）﹣f（y）+1，且f（2）＝2，当x＞1时，有f（x（1）求f（1），f（4）的值；（2）判断f（x）的单调性并加以证明；（3）求f（x）在[1，16]上的值域．19．（17分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x+1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0在x∈[﹣1，2]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）当x∈[t，t+2]（t∈R）时，求函数f（x）的最小值（用t表示）．

2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）下列函数中为偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=1x2 B．f（x）＝|x| C．f（x）=x D．f【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】B【分析】利用基本初等函数的性质判断即可．【解答】解：对于A，函数在区间（0，+∞）上是减函数，故选项A错误；对于B，函数为偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数，故选项B正确；对于C，函数的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项C错误；对于D，函数为奇函数，故选项D错误．故选：B．2．（5分）已知x＞2，则函数y=x+1A．22 B．22−2 C．2【考点】基本不等式及其应用．【答案】D【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解函数的最小值．【解答】解：x＞2时，y=x+1当且仅当x﹣2=12(x−2)，即x＝2+2故选：D．3．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3【考点】幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．【答案】B【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，由此求得m的值．【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2∴m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，求得m＝3，故选：B．4．（5分）已知4x＝9y＝6，则1xA．2 B．1 C．12 D．【考点】对数运算求值．【答案】A【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．【解答】解：4x＝9y＝6，则x＝log46，y＝log96，故1x+1y=log6故选：A．5．（5分）f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，a∈R，则（）A．f（a）＜f（2a） B．f（a2）＜f（a） C．f（a2+1）＜f（a） D．f（a2+a）＜f（a）【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【答案】C【分析】先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．【解答】解：因为a∈R，所以a﹣2a＝﹣a与0的大小关系不定，没法比较f（a）与f（2a）的大小，故A错而a2﹣a＝a（a﹣1）与0的大小关系也不定，f（a2）与f（a）的大小，故B错；又因为a2+1﹣a=(a−所以a2+1＞a．又f（x）为（﹣∞，+∞）上的减函数，故有f（a2+1）＜f（a）故C对D错．故选：C．6．（5分）已知x∈（1，2），a＝2x2，b＝（2x）2，c＝22x，则a，b，A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【考点】指数函数的单调性与最值；指数函数的图象．【答案】B【分析】根据x∈（1，2）时x2＜2x，判断a＜c；根据x∈（1，2）时2x＞2x，判断b＞c；由此得出a，b，c的大小关系．【解答】解：x∈（1，2）时，x2＜2x，所以2x2＜22又（2x）2＝22x，x∈（1，2），2x＞2x，所以22x＞22x，即b所以a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：B．7．（5分）若偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式f(x)+f(−x)3xA．（﹣2，2） B．（﹣2，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】B【分析】结合函数的单调性与奇偶性，可推出当x∈（﹣2，0）∪（0，2）时，f（x）＞0；当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，再利用偶函数的性质，将原不等式转化为xf（x）＞0，解之即可．【解答】解：因为偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣2）＝0，所以当x∈（﹣2，0）∪（0，2）时，f（x）＞0；当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，不等式f(x)+f(−x)3x＜0可化为2f(x)3x＜0，即所以x＜0f(x)＞0或x＞0所以x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）．故选：B．8．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝f（﹣x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x+1，则f（21）＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】函数周期性的判断与求解．【答案】C【分析】由已知可得，f（x+4）＝f（x），然后结合f（x）是R上的奇函数，可求结论．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），由f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x）可得f（x+4）＝f（x），∵0≤x≤1时，f（x）＝2x+1，则f（21）＝f（4×5+1）＝f（1）＝2×1+1＝3．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知函数f（x）=x+2，x≤−1，x2，−1＜x＜2，关于函数A．f（x）的值域为（﹣∞，4） B．f（1）＝3 C．若f（x）＝3，则x的值是3 D．f（x）＜1的解集为（﹣1，1）【考点】分段函数的应用．【答案】AC【分析】分段求解函数f（x）的值域，即可判断选项A，直接计算f（1），即可判断选项B，分类讨论，分别求解f（x）＝3，即可判断选项C，分类讨论，分别计算f（x）＜1，即可判断选项D．【解答】解：当x≤﹣1时，f（x）的取值范围是（﹣∞，1]，当﹣1＜x＜2时，f（x）的取值范围是[0，4），因此f（x）的值域为（﹣∞，4），故A正确；当x＝1时，f（1）＝12＝1，故B错误；当x≤﹣1时，由x+2＝3，解得x＝1（舍去），当﹣1＜x＜2时，由x2＝3，解得x=3或x=−3（舍去），故当x≤﹣1时，由x+2＜1，解得x＜﹣1，当﹣1＜x＜2时，由x2＜1，解得﹣1＜x＜1，因此f（x）＜1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1），故D错误．故选：AC．（多选）10．（6分）已知f（x）是定义域为R的函数，满足f（x+1）＝f（x﹣3），f（1+x）＝f（3﹣x），当0≤x≤2时，f（x）＝x2﹣x，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为4 B．f（x）的图象关于直线x＝2对称 C．当0≤x≤4时，函数f（x）的最大值为2 D．当6≤x≤8时，函数f（x）的最小值为−【考点】抽象函数的周期性．【答案】ABC【分析】根据对任意实数x满足f（x+1）＝f（3﹣x），且f（x+1）＝f（x﹣3），可以得出函数的奇偶性和周期性，再根据当0≤x≤2时，f（x）＝x2﹣x可得函数的单调性．逐次判断各选项即可；【解答】解：∵对任意实数x满足f（x+1）＝f（3﹣x），可得函数f（x）关于x＝2对称轴，又∵f（x+1）＝f（x﹣3），∴f（x+4）＝f（x）即函数f（x）是周期函数，周期为4．∴f（4﹣x）＝f（x﹣4），那么f（﹣x）＝f（x）∴函数f（x）是偶函数，又∵当0≤x≤2时，f（x）＝x2﹣x∴函数f（x）在区间[12∴函数f（x）在区间[0，12∴当0≤x≤4时，函数f（x）的最大值为2．∵函数f（x）的周期为4．当6≤x≤8时，函数f（x）＝（x﹣7）2﹣（x﹣7）＝x2﹣15x+56，当x＝7.5时，取得最小值−14，则故选：ABC．（多选）11．（6分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），若函数f（x+1）的图像关于x＝﹣1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有f(x1)−f(A．f（x）是偶函数 B．f（2022）＝0 C．f（x）的图像关于（1，0）对称 D．f(−【考点】抽象函数的周期性．【答案】ABC【分析】根据图象的平移变换规律，函数的奇偶性质、周期的定义、单调性的定义，结合已知条件对每个选项进行判断即可．【解答】解：因为y＝f（x+1）的图像关于直线x＝﹣1对称，所以将y＝f（x+1）的图像向右平移一个单位，得y＝f（x）的图像，关于y轴对称，故y＝f（x）是偶函数，故A正确；因为函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）的周期为T＝4，所以f（2022）＝f（4×505+2）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，故B正确；因为f（x+2）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x），所以f（x+2）+f（﹣x）＝0，所以f（x）的图像关于（1，0）对称，故C正确；因为任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2，都有f(x故f（x）在（0，2）上是单调增函数，根据周期为4，可知函数在（﹣4，﹣2）上也是增函数，故f（−72）＜f（−5故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若m＞0，n＞0，m+n＝3，则1m+4【考点】基本不等式及其应用．【答案】3．【分析】由m+n＝3，可得13（m+n）＝1，然后由1m+4n=13（【解答】解：由m+n＝3，得13（m+n）＝1，又m＞0，n所以1m+4n=13（m+n当且仅当4m3n=n3m，即所以1m故答案为：3．13．（5分）函数y＝x+2x−1的最小值为【考点】函数的值域．【答案】见试题解答内容【分析】求y′判断函数y＝x+2x−1在定义域[12，+∞）上单调递增，所以x=1【解答】解：y′＝1+1原函数的定义域为[12∴函数y在[12∴x=12时，函数y＝x+2x−1故答案为：1214．（5分）已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8（a，b是常数），且f（﹣3）＝5，则f（3）＝．【考点】函数的奇偶性．【答案】﹣21【分析】由g（x）＝f（x）+8＝x5+ax3+bx为奇函数，则g（x）+g（﹣x）＝0，即g（3）+g（﹣3）＝0，然后求解即可．【解答】解：已知f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，则g（x）＝f（x）+8＝x5+ax3+bx为奇函数，则g（x）+g（﹣x）＝0，即g（3）+g（﹣3）＝0，即f（3）+f（﹣3）+16＝0，即f（3）＝﹣f（﹣3）﹣16＝﹣21，故答案为：﹣21．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性．【考点】奇函数偶函数的判断；指数函数的特征及解析式．【答案】（1）f（x）＝2x；（2）F（x）为奇函数，证明见解析．【分析】（1）由指数函数的定义知a2+a﹣5＝1且a＞0，可解得a＝2，则f（x）＝2x；（2）可判断F（x）为奇函数，利用奇偶性的定义证明即可．【解答】解：（1）根据题意，∵函数f（x）＝（a2+a﹣5）ax是指数函数，∴a2+a﹣5＝1且a＞0，解得，a＝2，故f（x）＝2x；（2）F（x）为奇函数，证明如下：F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝2x﹣2﹣x的定义域为R，且对∀x∈R，﹣x∈R，F（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣F（x），故F（x）为奇函数．16．（15分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．（1）求f（0）的值．（2）证明函数f（x）是周期函数．【考点】函数的周期性；函数的奇偶性．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据函数是奇函数得到f（﹣x）＝﹣f（x），所以令x＝0得，f（﹣0）＝﹣f（0），可得f（0）＝0．（2）根据函数关于x＝1对称得到f（1+x）＝f（1﹣x），然后利用函数的周期性的定义证明即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），当x＝0时，f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0．（2）因为函数关于x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x），即f（1+x）＝f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），所以f（x+2）＝﹣f（x），即f（x+4）＝f（x）．所以函数是以4为周期的周期函数．17．（15分）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在区间[﹣2，4]上的最大值是16．（1）求实数a的值；（2）假设函数g(x)=log2(x2−3x+2a)的定义域是R，求不等式log【考点】函数恒成立问题．【答案】（1）a＝2或14（2）[−1【分析】（1）当0＜a＜1时，由函数f（x）在区间[﹣2，4]上是减函数求解；，当a＞1时，函数f（x）在区间[﹣2，4]上是增函数求解；（2）根据g(x)=log2(x2−3x+2a)的定义域是R，由x【解答】解：（1）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[﹣2，4]上是减函数，因此当x＝﹣2时，函数f（x）取得最大值16，即a﹣2＝16，因此a=1当a＞1时，函数f（x）在区间[﹣2，4]上是增函数，当x＝4时，函数f（x）取得最大值16，即a4＝16，因此a＝2，所以a=1（2）因为g(x)=log2(即x2﹣3x+2a＞0恒成立．则方程x2﹣3x+2a＝0的判别式Δ＜0，即（﹣3）2﹣4×2a＜0，解得a＞9又因为a=14或a＝2，因此代入不等式得log2（1﹣2t）≤1，即0＜1﹣2t≤2，解得−1因此实数t的取值范围是[−118．（17分）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意x＞0，y＞0都有f（xy）＝f（x）﹣f（y）+1，且f（2）＝2，当x＞1时，有f（x（1）求f（1），f（4）的值；（2）判断f（x）的单调性并加以证明；（3）求f（x）在[1，16]上的值域．【考点】抽象函数的周期性；由函数的单调性求解函数或参数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）可令x＝y＝1，可得f（1）；令x＝4，y＝2，可得f（4）；（2）函数f（x）在x＞0上为增函数．可令0＜x1＜x2，运用条件和单调性的定义，即可得证；（3）运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域．【解答】解：（1）可令x＝y＝1时，f（1）＝f（1）﹣f（1）+1＝1；令x＝4，y＝2可得f（2）＝f（4）﹣f（2）+1，即f（4）＝3；（2）函数f（x）在x＞0上为增函数．理由：当x＞1时，有f（x）＞1，可令0＜x1＜x2，即有x2x1＞1，则f（x2x1）＝f（x可得f（x2）＞f（x1），则f（x）在x＞0递增；（3）由f（x）在x＞0上为增函数，可得f（x）在