2023-2024学年湖北省荆荆襄宜七校考试联盟高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年湖北省荆荆襄宜七校考试联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线l经过点（﹣3，﹣2），（1，2），则下列不在直线l上的点是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（2，1）2．2013年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：年级抽查人数平均时间方差高一40504高二60406则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（）A．52 B．29.2 C．10 D．6.43．如图，在空间四边形OABC中，，，，点M满足，点N为BC的中点，则＝（）A． B． C． D．4．已知直线l1：ax+y+a＝0与l2：（a﹣6）x+（a﹣4）y﹣4＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知点P在椭圆上，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若•＝﹣2，且△PF1F2的面积为1，则a2的最小值为（）A．2 B． C．2 D．46．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知SD：DA＝CF：FS＝2：1，SE：EB＝3：1这个容器最多可盛原来水的（）A． B． C． D．7．已知点P是直线l1：mx﹣ny﹣5m+n＝0和l2：nx+my﹣5m﹣n＝0（m，n∈R，m2+n2≠0）的交点，点Q是圆C：（x+3）2+（y+5）2＝1上的动点，则|PQ|的最大值是（）A． B． C． D．8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且|F1F2|＝2|OB|（O为坐标原点）．下列三个结论正确的是（）①B的坐标为（a，b）；②|BF1|﹣|BF2|＞2a；③若，则双曲线C的离心率；A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为s2，平均数，若，则（）A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变 B． C．剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数 D．（多选）10．下列叙述正确的是（）A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 D．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为（多选）11．已知圆O：x2+y2＝4，过直线l：x+y﹣5＝0上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（）A．若点P（3，2），则直线AB的方程为3x+2y﹣4＝0 B．△PAO面积的最小值为 C．直线AB过定点 D．以线段AB为直径的圆可能不经过点O（多选）12．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，点，则（）A．的最小值为9 B．四边形MF1NF2的周长为8 C．直线BM，BN的斜率之积为 D．若点P为椭圆C上的一个动点，则|PT|﹣|PF1|的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．求经过（2，2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．14．已知平面α内一点P（8，9，5），点Q（1，2，2）在平面α外，若α的一个法向量为，则Q到平面α的距离为．15．已知双曲线的方程为，点F1，F2是其左右焦点，A是圆x2+（y﹣5）2＝4上的一点，点M在双曲线的右支上，则|MF1|+|MA|的最小值是．16．已知三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝4，三棱锥S﹣ABC的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BD⊥PC，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝PA＝1，是棱PD上的中点．（1）证明PB∥平面AEC；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．18．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+4＝0与圆C相切．（1）求圆C的方程；（2）若过点（0，﹣3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，且为坐标原点，求直线l的方程．19．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AB＝AF＝2DE＝2，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面α与FC，EC分别交于P，Q两点．（1）若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及理由；（2）线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面α所成角的正弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆，其上顶点为A；（1）若直线与椭圆C交于P、Q两点，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；（2）由椭圆C上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，现以A为直角顶点作椭圆C的内接等腰直角三角形，求内接等腰直角三角形的个数．．21．某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客．某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查、来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约．以下表格是160天内进入沙滩的每日人数（单位：万人）的频数分布表．人数（万）[0.0.2）[0.2.0.4）[0.4，0.6）[0.6，0.8）[0.8，1.0）[1.0，1.2）[1.2，1.4]频数（天）881624a4832（1）绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图（用阴影表示），并求出a的值和这组数据的65%分位数；（2）据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X（单位：个）为进入该沙滩的人数（X为10的整倍数．如有8006人，则X取8000）．每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理．若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润（单位：元），求Y和X的函数关系式；（3）以频率估计概率，求该店在160天