2023-2024学年湖北省名校联考高三(上)期中数学试卷

2023-2024学年湖北省名校联考高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则（）A．M⋂N≠∅ B．M⊆N C．N⊆M D．M＝N3．已知向量＝（1，﹣1）满足，（）⊥，则||＝（）A． B． C．2 D．14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4＝S5＝20，则a1＝（）A．﹣10 B．﹣8 C．10 D．85．函数在区间（0，5）有（）A．1个极大值点和1个极小值点 B．1个极大值点和2个极小值点 C．2个极大值点和1个极小值点 D．2个极大值点和2个极小值点6．已知椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，左焦点为F，线段A1B的中点为D，直线A2D与y轴交于点E．若与共线，则C的离心率为（）A． B． C． D．7．在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝3，∠A＝∠CBD＝90°，将△BCD沿BD折起，使点C到达点C′的位置，且平面C′BD⊥平面ABD．若三棱锥C′﹣ABD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．17π B．23π C．25π D．29π8．已知α，β，，且，sin2α＝cosγ+0.1，，则（）A．α＜β＜γ B．β＜α＜γ C．γ＜α＜β D．β＜γ＜α二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．基于小汽车的“车均拥堵指数”，其取值范围是[0，10]，值越大表明拥堵程度越强烈．在这个公式中，为路段上统计时间间隔内车辆平均行驶速度，Vfc为路段上自由流状态下车辆行驶速度，且结合地图匹配算法可得到，其中vi表示浮动车i（i＝1，2，…，n）的速度．下列说法正确的是（）A．n的值越大，的值越小 B．若v1＜v2＜…＜vn，则去掉v1后得到的TPI的值变小 C．若，则去掉v1后得到的TPI的值不变 D．若，则样本v2，v3…vn的方差小于样本v1，v2…vn的方差（多选）10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1D1的中点．取点B1，C，E，F，若一条直线过其中两点，另一条直线过另外两点，则（）A．两条直线为异面直线是必然事件 B．两条直线互相垂直的概率为 C．两条直线互相平行与互相垂直是对立事件 D．两条直线都与直线AC1垂直是不可能事件（多选）11．设a，b为正数，且a﹣5b﹣4ab＝1，则（）A．a＞1 B． C．a≥25b D．a+3≥49b（多选）12．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过x轴上F右侧一点的直线交C于A，B两点，C在A，B处的切线交于点P，直线AP，BP交y轴分别于点D，E，则（）A．∠AFB＝2∠APB B．∠APB+∠DFE＝180° C．2|PF|＝|AF|+|BF| D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的常数项为（用数字作答）．14．已知f（x）是定义域为（﹣4，4）的奇函数．若以点（2，0）为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是y＝f（x）图像的一部分，则f（x）的解析式为．15．如图，在多面体EF﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，EF∥AB，G为CD的中点．记四棱锥A﹣DEFG，F﹣ABCG的体积分别为V1，V2，若EF：AB＝3：4，则V1：V2＝．16．设a＞0，若函数有两个零点，则a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）求的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，PD上的点，且．（1）证明：AF∥平面PCE；（2）若PD⊥平面ABCD，E为AB的中点，PD＝AD＝CD，∠BAD＝60°，求二面角P﹣CE﹣F的正切值．19．记Mn是各项均为正数的数列{an}的前n项积，已知a1＝1，2anMn＝Mn+1﹣Mn．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：．20．小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．（1）若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中X1次，第二组投篮2次，投中X2次，求E（X1﹣X2）；（3）记P（i）表示小明投篮i（i＝2，3，…）次，恰有2次投中的概率，记X（X＝2，3，…，n）表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：．21．已知双曲线C：的右焦点为F（2，0），过F且斜率为k（k≠0）的直线l交C于A，B两点，且当时，A的横坐标为3．（1）求C的方程；（2）设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线OB交于点D，P为线段AD的中点，直线OP交