2023-2024学年湖北省孝感第一高级中学高一(上)摸底数学试卷

2023-2024学年湖北省孝感第一高级中学高一（上）摸底数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4}，且A＝{x|x2﹣5x+m＝0，x∈U}，若∁UA＝{2，3}，则m的值等于（）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在2．（5分）若n满足（n﹣2022）2+（2023﹣n）2＝1，则（2022﹣n）（n﹣2023）等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（5分）若，则的值为（）A． B． C． D．4．（5分）如果，，且x1≠x2，那么x1x2等于（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣15．（5分）已知p：x+y＞3，q：x＞1且y＞2，则q是p的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m等于（）A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或37．（5分）若t是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则判别式Δ＝b2﹣4ac和完全平方式M＝（2at+b）2的关系是（）A．Δ＝M B．△＞M C．△＜M D．大小关系不能确定8．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列选项正确的有（）A．比较接近1的整数的全体能构成一个集合 B．由实数x，﹣x，|x|，，所组成的集合，其元素的个数最多为2 C．设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，，则A＝B D．若集合，集合，则M⊆N（多选）10．（5分）已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则（）A．A⊆∁RB B．∁RA⊆B C．A∪B＝R D．（∁RA）∪（∁RB）＝R（多选）11．（5分）下列选项正确的有（）A．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）＝0 B．已知x2﹣3x+1＝0，则 C．若，，，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3 D．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是9（多选）12．（5分）下列选项正确的有（）A．已知全集U＝{x|x2﹣3x+2＝0}，A＝{x|x2﹣px+2＝0}，∁UA＝∅，则实数p的值为3． B．若，则a2023+b2023＝1或﹣1 C．已知集合A＝{x|ax2+x+2＝0，a∈R}中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，则m≤3．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知集合A＝{y|y＝x2﹣2x﹣3，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2+2x+13，x∈R}，那么A∩B＝．14．（5分）用一长度为2米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为．15．（5分）已知实数a，b，c满足a＝6﹣b，c2＝ab﹣9，则a＝，b＝．16．（5分）设x＝，y＝，则x3+y3＝．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，其中x∈R，如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）把下列各式分解因式：（1）8x2+26xy﹣15y2；（2）x6﹣y6﹣2x3+1；（3）a3+a2c+b2c﹣abc+b3；（4）x3﹣11x2+31x﹣21．19．（12分）某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有89人．求参加竞赛的学生总人数．20．（12分）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}．（1）若A恰有一个子集，求a的取值范围；（2）若A恰有一个元素，求a的取值集合．21．（12分）已知p：＜1，q：x2﹣3ax+2a2≤0（其中a为常数，且a＞0）．（1）若p为真，求x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．22．（12分）（1）求二次函数y＝2x2﹣3x+5在﹣2≤x≤2上的最大值和最小值，并求对应的x的值．（2）已知函数y＝x2+2ax+1在﹣1≤x≤2上的最大值为4，求a的值．

2023-2024学年湖北省孝感第一高级中学高一（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4}，且A＝{x|x2﹣5x+m＝0，x∈U}，若∁UA＝{2，3}，则m的值等于（）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在【考点】补集及其运算．【答案】A【分析】根据给定条件，求出集合A，再借助韦达定理求解作答．【解答】解：由全集U＝{1，2，3，4}，∁UA＝{2，3}，得A＝{1，4}，即1，4是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，于是，解得m＝4，所以m的值等于4．故选：A．2．（5分）若n满足（n﹣2022）2+（2023﹣n）2＝1，则（2022﹣n）（n﹣2023）等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】有理数指数幂及根式．【答案】B【分析】利用给定等式变形计算作答．【解答】解：依题意，（n﹣2022）2+（2023﹣n）2＝[（2023﹣n）+（n﹣2022）]2﹣2（2023﹣n）（n﹣2022）＝1﹣2（2023﹣n）（n﹣2022）＝1所以（2022﹣n）（n﹣2023）＝0．故选：B．3．（5分）若，则的值为（）A． B． C． D．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】D【分析】化简得x﹣y＝﹣2xy，再整体代换即可．【解答】解：∵，∴y﹣x＝2xy，即x﹣y＝﹣2xy，∴．故选：D．4．（5分）如果，，且x1≠x2，那么x1x2等于（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】有理数指数幂及根式．【答案】B【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算作答．【解答】解：由，，且x1≠x2，得x1，x2是方程x2﹣2x﹣2＝0的两个不等实根，而方程x2﹣2x﹣2＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＞0，所以x1x2＝﹣2．故选：B．5．（5分）已知p：x+y＞3，q：x＞1且y＞2，则q是p的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】通过举反例说明p推不出q；进而得到q能推出p；利用各个条件的定义，判断出结论．【解答】解：当x＝2，y＝3满足x+y＞3但不满足x＞1且y＞2，即命题p成立推不出命题q成立；若x＞1且y＞2成立，则x+y＞3成立，即命题q成立能推出命题p成立所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件故选：A．6．（5分）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的根，则m等于（）A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【答案】A【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值．【解答】解：由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2＝25，又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3，∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25，整理得：m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝﹣3或5．又∵Δ＞0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m＜﹣，∴m＝﹣3，故选：A．7．（5分）若t是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则判别式Δ＝b2﹣4ac和完全平方式M＝（2at+b）2的关系是（）A．Δ＝M B．△＞M C．△＜M D．大小关系不能确定【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【答案】A【分析】根据t是一元二次方程的根，把t代入原方程得到at2+bt+c＝0进行整理，两边同乘以4a，再移项，两边同加上b2，就得到了（2at+b）2＝b2﹣4ac．【解答】解：t是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根则有at2+bt+c＝04a2t2+4abt+4ac＝04a2t2+4abt＝﹣4ac4a2t2+b2+4abt＝b2﹣4ac（2at）2+4abt+b2＝b2﹣4ac（2at+b）2＝b2﹣4ac＝△故选：A．8．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质与图象．【答案】A【分析】根据a≠b，知a、b满足条件a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，可把a，b看成x2﹣8x+5＝0的两个根，根据根与系数的关系即可解答求出结果．【解答】解：由已知条件可知，a、b为方程x2﹣8x+5＝0的两根，此时Δ＞0，∴a+b＝8，ab＝5，∴＝＝＝﹣20故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列选项正确的有（）A．比较接近1的整数的全体能构成一个集合 B．由实数x，﹣x，|x|，，所组成的集合，其元素的个数最多为2 C．设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，，则A＝B D．若集合，集合，则M⊆N【考点】元素与集合关系的判断；集合的相等．【答案】BD【分析】根据集合的性质和定义以及集合间的关系一一分析即可．【解答】解：对A，比较接近没有一个标准，故不符合集合确定性的性质，故A错误；对B，因为，，所以当x＝0时，这几个数均为0，当x＞0时，它们分别是x，﹣x，x，x，﹣x，当x＜0时，它们分别是x，﹣x，﹣x，﹣x，﹣x，均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多为2个，故B正确；对C，集合A中包含（0，0），而集合B中不含（0，0），故C错误；对D，对于集合，对于集合，因为2k+1是奇数集，k+2是整数集，所以M⊆N，故D正确．故选：BD．（多选）10．（5分）已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则（）A．A⊆∁RB B．∁RA⊆B C．A∪B＝R D．（∁RA）∪（∁RB）＝R【考点】交、并、补集的混合运算；子集与真子集；并集及其运算；补集及其运算．【答案】AD【分析】根据题意画出Venn图，然后根据子集的定义，并集和补集的运算即可判断每个选项的正误．【解答】解：根据条件画出Venn图如下：则：A⊆∁RB，B⊆∁RA，（∁RA）∪（∁RB）＝R．故选：AD．（多选）11．（5分）下列选项正确的有（）A．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）＝0 B．已知x2﹣3x+1＝0，则 C．若，，，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3 D．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是9【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】BC【分析】求出x值并代入计算判断A；求出，变形计算判断B；求出a﹣b，b﹣c，c﹣a，变形代入计算判断C；利用韦达定理计算判断D．【解答】解：对于A，由x2﹣2x+1＝0，得x＝1，则（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x﹣2）（x+2）＝﹣6，A错误；对于B，由x2﹣3x+1＝0，得，则，B正确；对于C，依题意，a﹣b＝1，b﹣c＝﹣2，c﹣a＝1，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝，C正确；对于D，令直角三角形的二直角边长分别为m，n，依题意，，所以该直角三角形斜边长为，D错误．故选：BC．（多选）12．（5分）下列选项正确的有（）A．已知全集U＝{x|x2﹣3x+2＝0}，A＝{x|x2﹣px+2＝0}，∁UA＝∅，则实数p的值为3． B．若，则a2023+b2023＝1或﹣1 C．已知集合A＝{x|ax2+x+2＝0，a∈R}中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，则m≤3．【考点】集合的包含关系判断及应用；补集及其运算；有理数指数幂及根式；元素与集合关系的判断．【答案】AD【分析】求出集合A，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出a，b判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D【解答】解：对于A，全集U＝{1，2}，由∁UA＝∅，得A＝U，所以A＝{1，2}，则1，2是方程x2﹣px+2＝0的两实根，由韦达定理有p＝1+2＝3，A正确；对于B，由，由集合中元素的互异性和分母不为0得，因此a2＝1，解得a＝﹣1，b＝0，则a2023+b2023＝﹣1，B错误；对于C，依题意，当a＝0时，由x+2＝0，得x＝﹣2，此时集合A中只有一个元素；当a≠0时，集合A中最多只有一个元素，即一元二次方程ax2+x+2＝0最多一个实根，于是Δ＝1﹣8a≤0，解得，所以实数a的范围是a＝0或，C错误；对于D，因为B⊆A，所以当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；当B≠∅时，解得2≤m≤3．综上，m≤3，D正确．故选：AD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知集合A＝{y|y＝x2﹣2x﹣3，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2+2x+13，x∈R}，那么A∩B＝（﹣∞，﹣4）∪（14，+∞）．【考点】交集及其运算．【答案】[﹣4，14]，【分析】求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合交集，即可求解．【解答】解：由A中y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4≥﹣4，即A＝[﹣4，+∞）；由B中y＝﹣x2+2x+13＝﹣（x﹣1）2+14≤14，即B＝（﹣∞，14]，∴A∩B＝[﹣4，14]，故答案为：[﹣4，14]，14．（5分）用一长度为2米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为．【考点】基本不等式及其应用．【答案】．【分析】设出围成的长方形一边的长，列出所围面积的函数关系，求出最大值作答．【解答】解：设围成的长方形一边的长为x米，则该长方形中与该边相邻的一边长为（1﹣x）米，因此该长方形面积，当时，，所以所围成的最大面积为．故答案为：．15．（5分）已知实数a，b，c满足a＝6﹣b，c2＝ab﹣9，则a＝3，b＝3．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】3；3．【分析】代入化简得c2+（b﹣3）2＝0，解出b，c，再代入得a值．【解答】解：∵a＝6﹣b，∴c2＝b（6﹣b）﹣9＝﹣b2+6b﹣9＝﹣（b﹣3）2，即c2+（b﹣3）2＝0，因为c2≥0，（b﹣3）2≥0，则，解得，则a＝6﹣b＝3．故答案为：3；3．16．（5分）设x＝，y＝，则x3+y3＝2702．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】见试题解答内容【分析】直接代入已知条件化简求解即可．【解答】解：x＝，y＝，则x3+y3＝＝＝14[142﹣3]＝14×193＝2702．故答案为：2702．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，其中x∈R，如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】见试题解答内容【分析】先由题设条件求出集合A，再由A∩B＝B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．【解答】解：A＝{x|x2+4x＝0}＝{0，﹣4}，∵A∩B＝B知，B⊆A，∴B＝{0}或B＝{﹣4}或B＝{0，﹣4}或B＝∅，若B＝{0}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有两个相等的根0，则，∴a＝﹣1，若B＝{﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有两个相等的根﹣4，则，∴a无解，若B＝{0，﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0有两个不相等的根0和﹣4，则，∴a＝1，当B＝∅时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0无实数根，Δ＝[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）＝8a+8＜0，得a＜﹣1，综上：a＝1，a≤﹣1．18．（12分）把下列各式分解因式：（1）8x2+26xy﹣15y2；（2）x6﹣y6﹣2x3+1；（3）a3+a2c+b2c﹣abc+b3；（4）x3﹣11x2+31x﹣21．【考点】因式分解定理．【答案】（1）（2x﹣y）（4x+15y）；（2）（x3﹣y3﹣1）（x3+y3﹣1）；（3）（a+b+c）（a2﹣ab+b2）；（4）（x﹣1）（x﹣3）（x﹣7）．【分析】（1）（2）（3）（4）借助十字相乘法、公式法、分组分解法逐个分解各个因式作答．【解答】解：（1）8x2+26xy﹣15y2＝（2x﹣y）（4x+15y）．（2）x6﹣y6﹣2x3+1＝（x3﹣1）2﹣（y3）2＝（x3﹣y3﹣1）（x3+y3﹣1）．（3）a3+a2c+b2c﹣abc+b3＝（a3+b3）+c（a2﹣ab+b2）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）+c（a2﹣ab+b2）＝（a+b+c）（a2﹣ab+b2）．（4）x3﹣11x2+31x﹣21＝（x3﹣1）﹣（11x2﹣31x+20）＝（x﹣1）（x2+x+1）﹣（x﹣1）（11x﹣20）＝（x﹣1）（x2﹣10x+21）＝（x﹣1）（x﹣3）（x﹣7）．19．（12分）某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有89人．求参加竞赛的学生总人数．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【答案】参加竞赛的学生总人数为280．【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算作答．【解答】解：依题意，用A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛、化学竞赛的学生形成的集合，则card（A）＝203，card（B）＝179，card（C）＝165，card（A⋂B）＝143，card（B⋂C）＝97，card（C⋂A）＝116，card（A⋂B⋂C）＝89，因此card（A⋃B⋃C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A⋂B）﹣card（B⋂C）﹣card（C⋂A）+card（A⋂B⋂C）＝203+179+165﹣143﹣97﹣116+89＝280，所以参加竞赛的学生总人数为280．20．（12分）已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，x∈R}．（1）若A恰有一个子集，求a的取值范围；（2）若A恰有一个元素，求a的取值集合．【考点】元素与集合关系的判断；子集与真子集．【答案】（1）（1，+∞）；（2）{0，1}．【分析】（1）根据给定条件，确定方程根的情况，利用判别式求解作答；（2）按方程是一次、二次方程分类求解作答．【解答】解：（1）集合A恰有一个子集，则集合A是空集，即方程ax2+2x+1＝0无实根，于是a≠0，且Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1，所