2023-2024学年湖北省孝感市高二(上)期中数学试卷

2023-2024学年湖北省孝感市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．若复数z满足2z﹣＝3+12i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）A．一 B．二 C．三 D．四2．已知向量＝（﹣1，2），＝（3，4），＝2﹣λ，若⊥，则实数λ＝（）A． B． C． D．3．甲、乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（）A．0.36 B．0.48 C．0.64 D．0.544．经过点（1，3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）A．x+y＝4 B．y＝x+2 C．y＝3x或x+y＝4 D．y＝3x或y＝x+25．关于空间中两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m⊥n C．若n∥α，m⊥n，α⊥β，则m∥β D．若n⊥α，m∥n，α∥β，则m⊥β6．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，从东到西的公路上有相距80（单位：m）的B、A两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D处，在B点测得塔在北偏西30°，塔顶C的仰角为45°，则塔的高度CD约为（）A．40m B．37m C．35m D．23m7．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，直线l：x+y+1＝0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当|PC|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．2x﹣2y+1＝0 D．2x+2y+1＝08．如图，棱长为2的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1D1上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（）A．三棱锥P﹣A1BD中，点P到面A1BD的距离为定值 B．过点P平行于面A1BD的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D1截得的多边形的面积为 C．当点P为B1D1中点时，三棱锥P﹣A1BD的外接球体积为 D．直线PA1与面A1BD所成角的正弦值的范围为二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）（多选）9．已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（）A．如果B⊆A，那么P（AB）＝0.5 B．如果A与B互斥，那么P（AB）＝0 C．如果A与B相互独立，那么 D．如果A与B相互独立，那么P（AB）＝0（多选）10．已知圆O：x2+y2＝4，过点M（﹣1，0）直线l与圆O交于P，Q两点．下列说法正确的是（）A．|PQ|的最小值为 B． C．的最小值为﹣4 D．线段PQ中点的轨迹为圆（多选）11．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BB1的中点，AA1＝AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，点P为侧面AA1C1C（含边界）上一点，BP∥平面ADC1，则下列结论正确的是（）A．BC⊥AC1 B．直线C1D与直线A1C所成角的余弦值是 C．点A1到平面AC1D的距离是 D．线段BP长的最小值是（多选）12．已知F为椭圆C：＝1的左焦点，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A、B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A．的最小值为2 B．△ABE的面积的最大值为 C．直线BE的斜率为 D．∠PAB为直角三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知有8个样本数据分别为4，7，8，10，12，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为．14．已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，若点P（a，b）（a＞0，b＞0）在两圆的公共弦上，则的最小值为．15．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD＝6，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．当三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值时，此时三棱锥A1﹣CDE外接球的体积为．16．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．18．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝2．（1）求△PAC的面积；（2）求PB的长度．19．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝DC，E是SC的中点．（1）证明：SA∥平面BDE；（2）若点G在棱SC上，且SG：GC＝2：1，在棱SB上求一点H使得AH∥平面BDG．20．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中A（﹣2，0），B（1，0）且|PA|＝2|PB|．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；（3）若点P（x，y）在（1）的轨迹上运动，求的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA＝BC＝3，AB＝AD＝2，为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存