2023-2024学年湖北省云学名校新高考联盟高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年湖北省云学名校新高考联盟高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{2，3，4，5，7}，A＝{2，3}，B＝{3，5，7}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{2，3，5，7} B．{2，3，4} C．{2} D．{2，3，4，7}2．（5分）“α是第一象限角”是“sinα＞0”的（）条件．A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要3．（5分）已知复数z=1+mi1−i，其中i为虚数单位，m∈R，若z为纯虚数，则复数z+A．一 B．二 C．三 D．四4．（5分）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（）A．b＝1，A＝45°，C＝60° B．a＝1，c＝2，B＝60° C．a＝3，b＝1，B＝120° D．a＝3，b＝4，A＝45°5．（5分）若m，n∈R，且|m|＜n，则下列结论一定成立的是（）A．m2＞n2 B．1m＜1n C．m＜n 6．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），当0≤x≤1时，f（x）＝3x﹣1，则f（3）＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．27．（5分）计算下列各式的值，其结果为2的是（）A．tan15°+tan75° B．1cos80°C．（1+tan18°）（1+tan27°） D．8cos20°cos40°cos60°cos80°8．（5分）已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．φ=πB．f（x）的图象关于直线x=17π12C．f（x）在[﹣π，0]上的单调递增区间为[−5πD．f（x）在[﹣π，a]内有3个最大值点，则a∈[二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）9．（6分）已知平面向量a→A．若a→∥bB．若a→⊥bC．若x=−3，则b→在a→D．若a→与b→的夹角为锐角，则x（多选）10．（6分）如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（）A．经过12分钟，点P首次到达最低点 B．第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高 C．从第28分钟至第40分钟点P距离地面的高度一直在降低 D．摩天轮在旋转一周的过程中，点P有8分钟距离地面的高度不低于80米（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx在区间（0，3π）内有两个零点x1，x2，则下列结论正确的是（）A．当x∈(0，π2)时，tanxB．|x1﹣x2|＞π C．sin(xD．x1sinx2+x2sinx1＜0三、填空题：本题共3小题，每小題5分，共15分.12．（3分）已知α，β都是锐角，sinα=45，cos(α+β)=513，则sin（π13．（3分）已知正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD的中点，P为线段AB上的动点，则PE→⋅PF14．（3分）在△ABC中，3sin2A+2sin2B＝sinC（sinC+2sinAsinB），则sinA＝．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝log2（3﹣mx），g（x）＝log2（x+1）．（1）若f（x）在（2，3）上单调递减，求m的取值范围；（2）若m＝2，解不等式f（x）+g（x）＜1．16．（15分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且△ABC的面积S=a（1）求角A的大小；（2）若a=7，且b+c＝4，求b，c17．（15分）设虚数z＝a+bi（a，b∈R），m＝z+1z是实数，且﹣1≤（1）求|z|的值以及z的实部的取值范围；（2）若ω=−b1+ai，求m﹣ω18．（17分）如图，已知△ABC、△DEF均为等边三角形，△ABC的边长为7，D、E、F分别为BE、CF、AD的中点．（1）用基底{AB→，（2）延长AD与BC交于点M，延长AE与BC交于点N，求|MN→19．（17分）已知函数f（x）＝sin4x+cos4x．（1）求f（x）的对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象上所有的点向下平行移动34个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x（i）求y=f(x)+g(x+π（ii）当x∈[−π6，π3

2023-2024学年湖北省云学名校新高考联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合U＝{2，3，4，5，7}，A＝{2，3}，B＝{3，5，7}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{2，3，5，7} B．{2，3，4} C．{2} D．{2，3，4，7}【考点】Venn图表示交并补混合运算．【答案】C【分析】利用韦恩图、交集、补集定义求解．【解答】解：集合U＝{2，3，4，5，7}，A＝{2，3}，B＝{3，5，7}，则图中阴影部分表示的集合为：A∩（∁UB）＝{2，3}∩{2，4}＝{2}．故选：C．2．（5分）“α是第一象限角”是“sinα＞0”的（）条件．A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【考点】三角函数值的符号；充分条件与必要条件．【答案】B【分析】分别判断充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：α是第一象限角是sinα＞0，充分性成立；sinα＞0时，α不一定是第一象限，必要性不成立；所以是充分不必要条件．故选：B．3．（5分）已知复数z=1+mi1−i，其中i为虚数单位，m∈R，若z为纯虚数，则复数z+A．一 B．二 C．三 D．四【考点】纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【答案】A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z+m在复平面内对应的点的坐标即可．【解答】解：z=(1+mi)(1+i)(1−i)(1+i)=(1−m)+(1+m)i2=1−m则z＝i，z+m＝1+i在复平面内对应的点为（1，1），位于第一象限．故选：A．4．（5分）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（）A．b＝1，A＝45°，C＝60° B．a＝1，c＝2，B＝60° C．a＝3，b＝1，B＝120° D．a＝3，b＝4，A＝45°【考点】解三角形；正弦定理．【答案】D【分析】对于A，B，C选项，分别利用内角和定理，大边对大角逐一判断，对于D选项，利用bsinA，a，b三者的大小关系判断．【解答】解：对于A项：显然C＝75°，且有一边b＝1已确定，所以有唯一解；对于B项：因为是SAS形三角形，所以是唯一解；对于C项：角B为钝角，也是三角形的最大角，对应三角形最大边，但是b＜a，故该三角形无解；对于D项：因为bsinA＜a＜b，此三角形有两解．故选：D．5．（5分）若m，n∈R，且|m|＜n，则下列结论一定成立的是（）A．m2＞n2 B．1m＜1n C．m＜n 【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】C【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．【解答】解：对于A，令m＝0，n＝1，满足|m|＜n，但m2＜n2，故A错误；对于B，令m＝2，n＝3，满足|m|＜n，但1m＞1对于C，由n＞|m|≥m易得C项正确，对于D，令m＝0，n＝2，满足|m|＜n，但m＞﹣n，故D错误．故选：C．6．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），当0≤x≤1时，f（x）＝3x﹣1，则f（3）＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的奇偶性．【答案】B【分析】由已知先求出函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式及周期即可求解．【解答】解：因为定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），所以f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝f（x），所以f（x）周期为4，因为0≤x≤1时，f（x）＝3x﹣1，所以f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．故选：B．7．（5分）计算下列各式的值，其结果为2的是（）A．tan15°+tan75° B．1cos80°C．（1+tan18°）（1+tan27°） D．8cos20°cos40°cos60°cos80°【考点】两角和与差的三角函数的逆用．【答案】C【分析】由已知结合和差角公式对各式进行化简即可判断．【解答】解：A：因为tan15°＝tan（45°﹣30°）=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=tan75°＝tan（45°+30°）=tan45°+tan30°1−tan45°tan30°=tan15°+tan75°=(2−3B：1cos80°C：由tan(18°+27°)=tan18°+tan27°故（1+tan18°）（1+tan27°）＝1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°＝2；D：8cos20°cos40°cos60°cos80°=cos60°×2sin20°cos20°⋅2sin40°cos40°⋅2sin80°cos80°故选：C．8．（5分）已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜πA．φ=πB．f（x）的图象关于直线x=17π12C．f（x）在[﹣π，0]上的单调递增区间为[−5πD．f（x）在[﹣π，a]内有3个最大值点，则a∈[【考点】余弦函数的单调性；余弦函数的对称性；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】D【分析】由已知结合最值求出A，由周期求出ω，再由特殊点求出φ，进而可求f（x），然后结合余弦函数的性质检验各选项即可判断．【解答】解：由题意可得，A＝2，T=43（5π6故ω＝2，f（x）＝2cos（2x+φ），因为2×π12+φ=2kπ，k因为|φ|＜π所以φ=−π6，f(x)=2cos(2x−π因为cos（2×17π12−π6对于C项：f（x）在[﹣π，0]的单调递增区间为[−5π12，0]和[−π，−对于D项：当x∈[﹣π，a]时，2x−π所以2a−π6∈[2π，4π)，所以a∈[故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.（多选）9．（6分）已知平面向量a→A．若a→∥bB．若a→⊥bC．若x=−3，则b→在a→D．若a→与b→的夹角为锐角，则x【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】BC【分析】结合向量平行、垂直的性质，投影公式，平面向量的数量积公式，即可求解．【解答】解：a→对于A，a→则x=−33，故A对于B，a→则3x−3=0，解得x=3，故对于C，x=−3则b→故a→⋅b故b→在a→上的投影向量的坐标为：a→对于D，若a→∥ba→⋅b→a→与b→的夹角为锐角的充要条件是x∈(3故选：BC．（多选）10．（6分）如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（）A．经过12分钟，点P首次到达最低点 B．第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高 C．从第28分钟至第40分钟点P距离地面的高度一直在降低 D．摩天轮在旋转一周的过程中，点P有8分钟距离地面的高度不低于80米【考点】三角函数应用．【答案】ABD【分析】求出设点P距离地面的高度h（t）＝Asin（ωt+φ）+B，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：设点P距离地面的高度为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B，由题意知，A＝50，B＝55，T＝24，所以ω=2π由h（0）＝50sinφ+55＝105，解得sinφ＝1，所以φ=π2，所以h（t）＝50sin（π12所以h（12）＝50sin（π+π2）+55＝5，即经过12分钟，点P首次到达最低点，选项h（16）＝50sin（4π3+π2）+55＝50×（−12）+55＝30，所以第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高，选项B正确；由28≤t≤40得，2π+5π6≤π12t+π2≤2π+11π令h（t）≥80，得﹣4+24k≤t≤4+24k，k∈Z，所以摩天轮在旋转一周的过程中，点P有8分钟距离地面的高度不低于80米，选项D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx在区间（0，3π）内有两个零点x1，x2，则下列结论正确的是（）A．当x∈(0，π2)时，tanxB．|x1﹣x2|＞π C．sin(xD．x1sinx2+x2sinx1＜0【考点】函数零点的判定定理．【答案】ABD【分析】由题意可得x＝tanx（cosx≠0），从而得x1＝tanx1，x2＝tanx2，作出单位圆及y＝x、y＝tanx在（0，3π）内的图象，结合图象逐一判断即可．【解答】解：令f（x）＝0，即xcosx﹣sinx＝0，xcosx＝sinx，当cosx＝0，上式显然不成立，故两边同时除以cosx（cosx≠0），得x＝tanx（cosx≠0），所以x1＝tanx1，x2＝tanx2；对于A项，设∠AOB=α∈(0，π作出单位圆，由三角函数定义可知AC=tanα，AB设扇形OAB的面积为S1，则S△OAC＞S1，即12tanα＞12α所以tanx＞x，故正确；对于B项，作出y=tanx，x∈{x|0＜x＜5π2，x≠π2且x≠y＝tanx的最小正周期为π，由图象可知x1与x2之间的距离大于π，即|x1﹣x2|＞π，故正确；对于C项：由图得x1由不等式的性质可得3π＜x2+x1＜4π，对于D项，由x1＝tanx1，x2＝tanx2，所以x1sinx2+x2sinx1＝tanx1sinx2+tanx2sinx1=sin由图可知，tanx1、tanx2均大于0，由C项知cosx又由B项知π2＜|所以x1sinx2+x2sinx1＜0，故正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小題5分，共15分.12．（3分）已知α，β都是锐角，sinα=45，cos(α+β)=513，则sin（π﹣β【考点】两角和与差的三角函数．【答案】1665【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简可求sinβ，再由诱导公式即可求解．【解答】解：因为α，β都是锐角，sinα=4所以cosα=3故答案为：166513．（3分）已知正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD的中点，P为线段AB上的动点，则PE→⋅PF→的最小值为【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】74【分析】由向量的数量积的性质和完全平方公式，结合平面几何性质，可得所求最小值．【解答】解：取EF的中点M，连接PM，可得PE→当PM⊥AB时，PM有最小值2−1此时PE→⋅PF故答案为：7414．（3分）在△ABC中，3sin2A+2sin2B＝sinC（sinC+2sinAsinB），则sinA＝1010【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】1010【分析】根据正弦定理化简已知等式，可得3a2+2b2＝c2+2absinC，结合余弦定理化简得到sinC﹣cosC=ab+b2a，然后利用基本不等式与正弦函数的值域，算出sin(C−π4)=1且b=2a，进而得出sinB=2sin【解答】解：由3sin2A+2sin2B＝sinC（sinC+2sinAsinB），得3a2+2b2＝c2+2absinC，整理得a2+b2−c22ab可得sinC−cosC=ab+而sinC−cosC=2sin(C−π4)≤2，可知由b=2a，可得sinB=2sinA，即sin（π4−A）=2sinA，即22cosA整理得cosA＝3sinA，结合sin2A+cos2A＝1，解得sin2A=110，而A∈（0，π4），可得sin故答案为：1010四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）＝log2（3﹣mx），g（x）＝log2（x+1）．（1）若f（x）在（2，3）上单调递减，求m的取值范围；（2）若m＝2，解不等式f（x）+g（x）＜1．【考点】由对数函数的单调性求解参数．【答案】（1）（0，1]；（2）(−1，−1【分析】（1）结合一次函数及对数函数的性质及复合函数的单调性即可求解；（2）由已知结合对数函数的性质即可求解不等式．【解答】解：（1）依题意，m＞0且3﹣3m≥0，解得0＜m≤1，即m的取值范围是（0，1]．（2）依题意log2（3﹣2x）+log2（x+1）＜1，即log2（3﹣2x）（x+1）＜log22，从而有3−2x＞0x+1＞0解得−1＜x＜−12或即不等式解集为(−1，−116．（15分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且△ABC的面积S=a（1）求角A的大小；（2）若a=7，且b+c＝4，求b，c【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）A=π（2）b=1c=3或b=3【分析】（1）由三角形面积公式，正弦定理以及同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=3，结合A∈（0，π），即可求解A（2）由余弦定理可得（b+c）2﹣3bc＝7，又b+c＝4，可得bc＝3，联立方程即可解得b，c的值．【解答】解：（1）由三角形面积公式S=1又△ABC的面积S=a可得12再由正弦定理得12所以3cosA=sinA可得tanA=3因为A∈（0，π），所以A=π（2）因为a=7，A=所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得7=b2+c2−2bccosπ3，即（又b+c＝4，所以bc＝3，联立上面两个式子可得b=1c=3或b=317．（15分）设虚数z＝a+bi（a，b∈R），m＝z+1z是实数，且﹣1≤（1）求|z|的值以及z的实部的取值范围；（2）若ω=−b1+ai，求m﹣ω【考点】复数的运算；复数的模．【答案】（1）1；[−1【分析】（1）利用复数的模、复数的概念、运算法则能求出结果；（2）利用复数的运算法则求解．【解答】解：（1）依题b≠0且m=z+1∴b−ba2+b2=0，得a此时m=z+1又﹣1≤m≤1，得−12≤a≤12（2）由已知得m−=2a+b由于a∈[−1故a+1∈[1当且仅当2(a+1)=2a+1，即所以m﹣ω2的最小值为1．18．（17分）如图，已知△ABC、△DEF均为等边三角形，△ABC的边长为7，D、E、F分别为BE、CF、AD的中点．（1）用基底{AB→，（2）延长AD与BC交于点M，延长AE与BC交于点N，求|MN→【考点】用平面向量的基底表示平面向量．【答案】（1）AD→（2）77【分析】（1）利用向量线性运算法则、平面向量基本定理求解；（2）利用三点共线、三等分点、向量线性运算法则求解．【解答】解：（1）∵△ABC、△DEF均为等边三角形，△ABC的边长为7，D、E、F分别为BE、CF、AD的中点，如图，∴AD=2AC∴（1﹣8）AD→=−2AC→∴用基底{AB→，AC→（2）延长AD与BC交于点M，延长AE与BC交于