2025-2026学年北师大版高一数学必修第二册课件：§5　5.1　直线与平面垂直

第6章§5垂直关系5.1直线与平面垂直

自主预习·新知导学一、直线与平面垂直的定义【问题思考】1.如图6-5-1,阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么?随着太阳的移动,旗杆AB与它的影子所在直线所成的角度会发生改变吗?提示:垂直关系.所成的角度不变,都为90°.图6-5-12.旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线如B'C'(如问题1的图)的位置关系又是什么?依据是什么?由此得到什么结论?提示:垂直关系.依据是异面直线的夹角的定义.得到的结论是:如果一条直线与平面垂直,那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.3.一般地,如图6-5-2,如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直,记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们唯一的公共点P称为垂足.过一点有且只有一条直线与一个平面垂直,过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.图6-5-24.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的平面的个数是(

).A.1 B.2C.3 D.6解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D1.答案:B二、直线与平面垂直的性质与判定【问题思考】1.下图6-5-3是我们常见的旗杆,这排旗杆都与地面垂直.(1)若一条直线与一个平面垂直,可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?(2)两根旗杆所在的直线是什么位置关系?提示:(1)这条直线垂直于平面内的任意一条直线;这两条直线平行.(2)平行.图6-5-32.直线与平面垂直的性质定理表6-5-13.直线与平面垂直的判定定理表6-5-24.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m的位置关系不可能(

).A.平行 B.相交C.异面 D.垂直解析:由直线与平面垂直的定义可知,l⊥m,l与m可能相交,也可能异面,但不可能平行.答案:A三、距离及直线与平面所成的角【问题思考】1.如图6-5-4,斜拉桥主要由索塔、主梁、斜拉索组成.(1)图中斜拉索所在直线与桥面都是相交的关系,其倾斜程度相同吗?能用角来表示这种倾斜程度吗?(2)直线与平面的夹角是空间角,能否像异面直线的夹角那样把空间角转化为平面角?提示:(1)不同.能.(2)能.图6-5-42.距离及直线与平面的夹角(1)距离①点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫作这个点到这个平面的距离.②直线到平面的距离如果一条直线与平面平行,那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.(2)直线与平面的夹角如图6-5-5,一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线称为这个平面的斜线,斜线与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角.一条直线垂直于平面,我们说它们的夹角是直角;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是0°的夹角.图6-5-53.(1)如图6-5-6,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=1,则点C到平面B1BDD1的距离为

,AB到平面A1B1CD的距离为

.

(2)如图6-5-7,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC的夹角等于

.

图6-5-6图6-5-7解析:(1)连接AC,则AC⊥BD.又BB1⊥AC,BD∩BB1=B,所以AC⊥平面B1BDD1.(2)因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB.所以∠PBA为直线PB与平面ABC的夹角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC的夹角等于45°.

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三

探究一

线面垂直的定义及判定定理的应用【例1】

如图6-5-8,Rt△ABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.求证:直线SD⊥平面ABC.图6-5-8证明:∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.如答图6-5-1,连接BD,则在Rt△ABC中,AD=DC=BD.又SA=SB,SD=SD,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD⊂平面ABC,∴SD⊥平面ABC.答图6-5-11.在本例中,若AB=BC,其他条件不变,求BD与平面SAC的位置关系.解:∵AB=BC,D为斜边AC的中点,∴BD⊥AC.又由例1知SD⊥平面ABC,且BD⊂平面ABC,∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线,故BD⊥平面SAC.2.将本例改为:已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,且PA=PC,PB=PD.若O是AC与BD的交点,求证:PO⊥平面ABCD.证明:如答图6-5-2,∵四边形ABCD是菱形,∴O是AC,BD的中点.在△PBD中,∵PB=PD,O为BD的中点,∴PO⊥BD.在△PAC中,∵PA=PC,O为AC的中点,∴PO⊥AC.又AC∩BD=O,AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.答图6-5-2反思感悟线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直

线面垂直探究二

线面垂直的性质定理的应用【例2】

如图6-5-9,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E为PD的中点,点M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求证:AE∥MN.图6-5-9证明:∵AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,∴AE⊥AB.又AB∥CD,∴AE⊥CD.∵AD=AP,E为PD的中点,∴AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB,AB∥CD,∴MN⊥CD.又MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,∴MN⊥平面PCD,∴AE∥MN.反思感悟证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点.(2)利用基本事实4:证两直线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.

探究三

直线与平面的夹角的求法【例3】

如图6-5-3,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD的夹角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1的夹角.图6-5-3解:(1)如答图6-5-4,连接AC.∵直线A1A⊥平面ABCD,∴∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD的夹角.答图6-5-4(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接BO.在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1的夹角.∴∠A1BO=30°