§7 正切函数说课稿2025学年高中数学北师大版2011必修4-北师大版2006

§7正切函数说课稿2025学年高中数学北师大版2011必修4-北师大版2006科目授课班级授课教师课时安排授课题目教学准备设计意图：一、设计意图本节课立足北师大版必修4教材，在学生掌握正弦、余弦函数基础上，通过单位圆中的正切线引入正切函数定义，衔接三角函数知识体系。结合正切函数图像与性质探究，强化数形结合思想，培养学生逻辑推理与直观想象素养，为后续三角恒等变换及应用奠定基础，符合高中生认知规律与教学实际。核心素养目标：二、核心素养目标通过正切函数定义培养数学抽象；探究图像与性质强化逻辑推理与直观想象；运用正切函数解决实际问题提升数学运算与数学建模能力。教学难点与重点： 三、教学难点与重点

1.教学重点：核心内容是正切函数的定义、图像和性质。定义部分强调tanθ=sinθ/cosθ，通过单位圆直观展示；图像部分突出周期性（周期π）和渐近线（θ=π/2+kπ）；性质部分明确定义域（R\{π/2+kπ}）、值域（R）和单调性。例如，通过单位圆解释tanθ的几何意义，图像分析单调递增区间。

2.教学难点：难点包括理解定义域限制（θ≠π/2+kπ）和周期性差异。例如，学生易混淆正切函数周期（π）与正弦函数周期（2π），需通过实例（如θ=π/4和θ=5π/4）说明周期重复；渐近线成因（cosθ=0时无定义）需结合图像突破。教学方法与手段：1.教学方法：讲授法（正切函数定义与性质）、讨论法（探究周期性与单调性）、数形结合法（单位圆与图像关联）。

2.教学手段：多媒体展示正切函数动态图像、几何画板演示周期变化、实物模型（单位圆）辅助理解定义。教学流程：1.导入新课（5分钟）

2.新课讲授（15分钟）

（1）正切函数的定义与定义域：结合单位圆，明确tanθ=y/x=sinθ/cosθ（θ≠π/2+kπ，k∈Z），举例说明θ=π/2时cosθ=0，tanθ无定义，突破“定义域限制”难点；通过对比sinθ、cosθ的定义域（R），强化正切函数定义域的特殊性。

（2）正切函数的图像与周期性：利用几何画板动态展示θ从0到π变化时，tanθ值的增长趋势，绘制正切函数图像，指出其周期为π（与sinθ、cosθ周期2π对比），举例tan(π/4)=1，tan(5π/4)=1，说明“每隔π，函数值重复”，突破“周期性差异”难点。

（3）正切函数的性质：分析图像得出定义域（R\{π/2+kπ}）、值域（R）、单调性（每个单调区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)内单调递增），举例说明y=tanx在(-π/2,π/2)内随x增大而增大，在(π/2,3π/2)内同样递增，但整体不连续，突破“单调性与渐近线关联”难点。

3.实践活动（10分钟）

（1）几何画板操作：学生分组利用几何画板绘制y=tan(ωx+φ)的图像，观察ω、φ对周期和图像平移的影响，举例y=tan2x的周期为π/2，渐近线为x=π/4+kπ/2，直观理解参数作用。

（2）单位圆画正切线：在单位圆中画出θ=π/3、2π/3的正切线，对比长度与符号，理解tanθ的几何意义，举例θ=π/3时正切线长度为√3，θ=2π/3时为-√3，强化“数形结合”思想。

（3）实际应用：给出“测量教学楼高度”问题：已知测点到楼底的水平距离为30m，仰角为α，tanα=1.5，求楼高。学生列式h=30tanα=45m，体会正切函数在测量中的应用。

4.学生小组讨论（10分钟）

（1）正切函数与正弦、余弦函数的差异：举例tanθ的定义域（R\{π/2+kπ}）与sinθ（R）、cosθ（R）的区别，周期（π与2π）的区别，值域（R与[-1,1]）的区别，总结“正切函数的间断性”特点。

（2）渐近线成因分析：结合图像讨论θ→π/2⁻时tanθ→+∞，θ→π/2⁺时tanθ→-∞，举例θ=π/2-0.1与θ=π/2+0.1的tan值，说明“cosθ=0导致函数无定义，形成渐近线”。

（3）单调区间求解：讨论函数y=tan(x-π/4)的单调区间，举例解不等式-π/2+kπ<x-π/4<π/2+kπ，得x∈(-π/4+kπ,3π/4+kπ)，k∈Z，强化“复合函数单调性求解步骤”。

5.总结回顾（5分钟）

梳理本节课核心：正切函数定义（tanθ=sinθ/cosθ）、图像（周期π，渐近线x=π/2+kπ）、性质（定义域、值域、单调性），强调重难点——定义域限制（θ≠π/2+kπ）与周期性（π）。举例回顾tan(3π/4)=tan(3π/4-π)=tan(-π/4)=-1，巩固周期应用；布置作业：课本P147习题7.2（1）（3）（5）题，预习正切函数的诱导公式。知识点梳理：正切函数是三角函数体系的重要组成部分，其核心知识点紧密围绕北师大版必修4教材内容展开，具体梳理如下：

一、正切函数的定义

正切函数定义为tanθ=sinθ/cosθ（θ≠π/2+kπ，k∈Z），几何意义是单位圆中角θ终边与单位圆交点的纵坐标与横坐标之比。定义域为{θ|θ∈R且θ≠π/2+kπ，k∈Z}，值域为R。需明确分母cosθ=0时函数无定义，这是定义域限制的根本原因，也是后续图像与性质分析的基础。

二、正切函数的图像

1.图像画法：利用几何画板动态展示θ从0到π（不包括π/2）时tanθ的变化，θ→π/2⁻时tanθ→+∞，θ→π/2⁺时tanθ→-∞，θ→π时tanθ→0，形成第一、第二象限的分支；由周期性（周期π）可拓展至整个定义域，得到由无数支独立曲线组成的图像，每支在(-π/2+kπ,π/2+kπ)内连续。

2.图像特征：渐近线为x=π/2+kπ（k∈Z），函数图像无限接近渐近线但永不相交；图像过点(0,0)、(π/4,1)、(3π/4,-1)等，体现奇函数对称性；与正弦、余弦图像不同，正切图像不连续，存在间断点。

三、正切函数的性质

1.周期性：最小正周期为π，即tan(θ+π)=tanθ（θ≠π/2+kπ），这是与sinθ、cosθ（周期2π）的核心区别，例如tan(π/4)=tan(5π/4)=1，体现每隔π函数值重复。

2.单调性：在单调区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)内单调递增，例如在(-π/2,π/2)内，θ增大时tanθ从-∞增至+∞；但整体不单调，因不同单调区间内函数值不连续，如tan(π/3)=√3>tan(2π/3)=-√3，但π/3与2π/3不在同一单调区间。

3.奇偶性：奇函数，满足tan(-θ)=-tanθ，图像关于原点对称，例如tan(-π/6)=-tan(π/6)=-√3/3。

4.对称性：对称中心为(kπ,0)（k∈Z），例如点(π,0)是图像对称中心，tan(π+θ)=tanθ。

四、正切函数的诱导公式

1.公式一：tan(θ+2kπ)=tanθ（k∈Z），体现周期性；

2.公式二：tan(-θ)=-tanθ，奇函数性质；

3.公式三：tan(π-θ)=-tanθ，例如tan(2π/3)=tan(π-π/3)=-tan(π/3)=-√3；

4.公式四：tan(π+θ)=tanθ，核心周期公式；

5.公式五：tan(π/2+θ)=-cotθ，tan(π/2-θ)=cotθ，用于互余角转换，例如tan(π/2-π/4)=cot(π/4)=1。

五、正切函数的图像变换

1.y=Atan(ωx+φ)的图像：

-周期T=π/|ω|，例如y=tan2x的周期为π/2；

-平移变换：y=tan(x-φ)向右平移φ个单位，例如y=tan(x-π/4)的渐近线为x=π/4+kπ；

-伸缩变换：ω>0时，横坐标压缩为原来的1/ω，例如y=tan(3x)的图像更密集，渐近线为x=π/6+kπ/3。

六、正切函数与其他三角函数的关系

1.商数关系：tanθ=sinθ/cosθ，是定义的直接体现，例如已知sinθ=3/5且θ在第一象限，则cosθ=4/5，tanθ=3/4；

2.平方关系：1+tan²θ=sec²θ（secθ=1/cosθ），例如tanθ=2，则sec²θ=1+4=5，cosθ=±√5/5；

3.和角公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，例如tan(π/4+π/6)=(1+√3/3)/(1-1×√3/3)=2+√3，用于求和角正切值。

七、正切函数的实际应用

1.测量问题：如测量旗杆高度，测点距离旗杆底部d米，仰角α，则旗杆高h=d·tanα，例如d=20m，α=60°，h=20tan60°=20√3米；

2.物理问题：斜面倾角α，物体下滑力F=mg·tanα（m为质量，g为重力加速度），例如α=30°，F=mg·√3/3；

3.工程问题：桥梁坡度设计，坡度i=tanα（α为坡角），例如坡度i=1/2，则坡角α=arctan(1/2)，约26.57°。

八、正切函数的解题核心要点

1.定义域优先：求定义域时，分母cosθ≠0，即θ≠π/2+kπ；求复合函数定义域时，需内层函数与定义域共同限制，例如y=tan(2x-π/3)需2x-π/3≠π/2+kπ，得x≠5π/12+kπ/2。

2.周期应用：化简求值时，利用tan(θ+kπ)=tanθ（k∈Z）将角转化到(-π/2,π/2)，例如tan(13π/4)=tan(3π+π/4)=tan(π/4)=1。

3.单调性应用：比较tanθ1与tanθ2大小时，需在同一单调区间内，例如θ1=π/6，θ2=π/3，均在(-π/2,π/2)内，因π/6<π/3，故tan(π/6)<tan(π/3)。课堂小结，当堂检测：七、课堂小结，当堂课堂小结：本节课核心掌握正切函数定义（tanθ=sinθ/cosθ，θ≠π/2+kπ）、图像（周期π，渐近线x=π/2+kπ）及性质（定义域R\{π/2+kπ}、值域R、单调递增区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)、奇函数），重点突破定义域限制与周期性（π）难点，强化数形结合思想。当堂检测：1.求tan(7π/4)的值；2.写出y=tan(2x-π/3)的定义域和周期；3.比较tan(π/6)与tan(π/3)的大小，并说明理由。通过检测巩固核心知识点，落实重难点掌握。课后作业：1.求函数y=tan(3x-π/4)的定义域。

答案：3x-π/4≠π/2+kπ,k∈Z,所以x≠π/4+kπ/3,k∈Z

2.求tan(11π/6)的值。

答案：tan(11π/6)=tan(11π/6-2π)=tan(-π/6)=-√3/3

3.比较tan(π/4)和tan(3π/4)的大小，并说明理由。

答案：tan(π/4)