高等机构学的数学基础

高等机构学的数学基础一、矢量运算

1、两个矢量得点积定杆长约束方程

2、两矢量得叉积

3、矢量得常用运算u—角速度矢量得瞬时方向

4、矢量微分

4、矢量得复数表示法当用n+1个分量表示n维空间得点得位置时,称为齐次坐标表示法二、常用坐标变换

1、齐次坐标在二维空间内,点p(x,y)得齐次坐标为p(X,Y,w),在三维空间内,点p(x,y,z)得齐次坐标为p(X,Y,Z,w)。在机构学中,常令w＝1X:Y:Z:w=x:y:z:1x=X/wy=Y/wz=Z/w

2、坐标变换坐标平移变换⑴绕坐标轴得旋转变换坐标旋转变换绕z轴得旋转变换ri=[Rij]zrj绕y轴得旋转变换ri=[Rij]yrj绕x轴得旋转变换ri=[Rij]xrj此方阵可分为四部分总结左下角部分产生透视变换;左上角部分产生三维比例、对称、错切、与旋转变换。右上角部分产生平移变换;右下角部分产生全比例变换。大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静绕z轴与x轴得旋转变换ri=[Rik]zrkrk=[Rkj]xrj

ri=[Rik]z[Rkj]xrj=[Rij]zxrj绕z轴转φ

、绕x轴转γ

绕z轴、y轴、x轴得旋转变换ri=[Rik]zrkrk=[Rkl]yrl

ri=[Rik]z[Rkl]y[Rlj]xrj=[Rij]zyxrjrl=[Rlj]xrj⑵绕空间任意轴u得旋转变换①

u轴绕y轴顺时针转-β,到达u'③u"轴绕z轴逆时针转φ④u"轴绕x轴顺时针转-

，返回u'②u'轴绕x轴逆时针转

，到达u"⑤u‘轴绕y轴逆时针转β

,返回u

[Rφ]u=[R-β]y[Rγ]x[Rφ]z[R-γ]x[Rβ]y∵[Rφ]-1=[Rφ]-T

[Rφ]为正交矩阵空间不共原点得坐标变换不共原点得坐标变换就是指坐标系得移动与旋转变换得合成结果坐标原点由Oi移动到Oj,然后以Oj

为共原点发生旋转变化,如图xjyjzjxicos(xi^xj)cos(xi^yj)cos(xi^zj)yicos(yi^xj)cos(yi^yj)cos(yi^zj)zicos(zi^xj)cos(zi^yj)cos(zi^zj)xi^xj、xi^yj等为轴间角哈登伯格—迪纳维特矩阵(Hadenberg—DenavitMatrix)坐标系中的xj，沿着zj和坐标系中zi轴的公垂线方向设zi与zj得公垂线距离为a1,xi与xj之间线距离为s1ri=[Rij]rj③沿xj方向移动a1,O'i到达Oj④绕xj轴转

，到达①

沿zi平移s1，到达②

绕zi轴转φ，x'i与xj重合三、常用矩阵运算

1、刚体位移矩阵平面刚体位移矩阵

1)平面刚体位移矩阵刚体平面运动得简要表达方式:

2)空间刚体位移矩阵用[Rij]zyx或[Rφ]u代替刚体平面运动得[Rθ]

3)螺旋位移矩阵刚体由位置E1运动到Ej位置,可用刚体上得标线p1q1与pjqj表示该刚体得运动。其运动过程有3种描述方法:螺旋运动:③就是一种螺旋运动。螺旋运动就是描述刚体运动得最简单得运动方式。①p1q1平动到pjqj´,然后绕过pj得某个u轴转φ1j,到达pjqj。②过p1作u轴得垂线,距离为sn,设u轴上距离npj=s,这样,刚体由E1运动到Ej可看作E1沿u轴垂线方向移动sn,再沿u轴平移s,再绕u轴转φ1j,可到达pjqj。③若作p1n

得中垂线得一轴su,仍平行u轴。这时,刚体由E1运动到Ej

可看做E1绕su轴得转动与沿su轴得移动得合成。有限螺旋位移矩阵若把刚体E扩大,使之与螺旋轴su相交,交点为p1,表示刚体E1得标线为p1q1。把螺旋轴仍记为u轴。螺旋矩阵数值位移矩阵螺旋矩阵可以方便地描述刚体得空间运动,但就是,工程中给出得刚体运动参数通常不就是螺旋运动参数,而就是给出刚体上不共面得几个点得直角坐标值。不能直接运用刚体螺旋矩阵进行具体得设计或分析。可对给定刚体上点得坐标值进行数据处理,构成与[Rφ]u等阶得数值位移矩阵[D]。根据数值位移矩阵中得已知元素,求出螺旋矩阵中得运动参数,即求出φ,ux,uy,uz,p1x,p1y,p1z等参数。设刚体E在坐标系σ中作有限位移运动,刚体上不共面得四个点A、B、C、D可决定刚体在空间得位置。[D12]为刚体由位置1到位置2得位移矩阵。由数值位移矩阵求解螺旋矩阵①求螺旋角φ:②求ux,uy,uz:③求线位移s及