高等数学上册第三章

第三章微分中值定理与导数的应用

应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题1应注意的问题如果定理的三个条件有一个不满足

则定理的结论有可能不成立

罗尔定理

如果函数f(x)满足

(1)在闭区间[a,b]上连续

(2)在开区间(a,b)内可导

(3)在区间端点处的函数值相等

即f(a)

f(b)

那么在(a,b)内至少有一点

(a

b)

使得f

(

)

0

下页2

例1

不用求出函数f(x)

(x

1)(x

2)(x

3)的导数

说明方程

f

(x)

0有几个实根

并指出它们所在的区间

解首页3拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足

(1)在闭区间[a

b]上连续

(2)在开区间(a

b)内可导

那么在(a

b)内至少有一点

(a

b)

使得f(b)

f(a)

f

(

)(b

a)

直线AB的斜率下页4定理的几何意义三、柯西中值定理柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)满足

(1)在闭区间[a

b]上连续

(2)在开区间(a

b)内可导

(3)对任一x

(a

b)

F

(x)

0

那么在(a

b)内至少有一点

使得结束5§3.2洛必达法则未定式6说明

把定理中的“x

a”换成“x

”

把条件(2)换成“当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g

(x)

0”

结论仍然成立

定理1(洛必达法则)

如果函数f(x)及g(x)满足

(1)当x

a时

函数f(x)及g(x)都趋于零(或无穷)

(2)在点a的某去心邻域内f

(x)及g

(x)都存在

且g

(x)

0

下页7“零比零”型未定式的定值法

解下页8“零比零”型未定式的定值法

解下页9“无穷比无穷”型未定式的定值法

解下页10其它类型未定式的定值法

未定式0

、

、00、1

、

0都可以转化为“零比零”型或“无穷比无穷”型未定式

解下页11§3.4

函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点12一、函数单调性的判定法

函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？f

(x)>0f

(x)<0观察结果

函数单调增加时导数大于零

函数单调减少时导数小于零

观察与思考

函数的单调性与导数的符号有什么关系？动画演示下页13定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

下页14定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

例1

判定函数y

x

sinx

在[0

2p]上的单调性

解

因为在(0,2p)内

y

1

cosx

>0

所以函数y

x

sinx

在[0

2p]上的单调增加

下页15

因为在(

0)内y

<0

所以函数y

ex

x

1在(

0]上单调减少

因为在(0

)内y

>0

所以函数y

ex

x

1在[0

)上单调增加

函数y

ex

x

1的定义域为(

)

y

ex

1

例2

讨论函数y

ex

x

1的单调性

解定理1(函数单调性的判定法)

设函数f(x)在[a

b]上连续

在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上单调减少

下页16

函数的定义域为(

)

所以函数在[0

)上单调增加

因为x>0时

y

>0

所以函数在(

0]上单调减少

因为x<0时

y

<0

解下页171

设函数y

f(x)在[a

b]上连续

在(a

b)内可导

x1

x2是

f

(x)的两个相邻的零点

问f(x)在[x1

x2]上是否单调？

2

如何把区间[a

b]划分成一些小区间

使函数

f(x)在每个小区间上都是单调的？讨论(1)确定函数的定义域

(2)求出导数f

(x)

(3)求出f

(x)全部零点和不可导点

(4)判断或列表判断

(5)综合结论

确定函数单调区间的步骤下页18xf

(x)f(x)

例4

确定函数f(x)

2x3

9x2

12x

3的单调区间

这个函数的定义域为(

)

f

(x)

6x2

18x

12

6(x

1)(x

2)

导数为零的点为x1

1

x2

2

列表分析

函数f(x)在区间(

1]和[2

)内单调增加

在区间[1

2]上单调减少

(

1)(1

2)(2

)↗↘↗＋－＋

y

2x3

9x2

12x

3

解下页19

因为当x>1时

f

(x)>0

所以f(x)在[1

)上f(x)单调增加

证明

因此当x>1时

f(x)>f(1)=0

即首页20二、曲线的凹凸性与拐点

函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？下页21定理2(曲线凹凸性的判定法)

设f(x)在[a

b]上连续

在(a

b)内具有二阶导数.

若在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上的图形是凹的

若在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上的图形是凸的

例7

判断曲线y

lnx

的凹凸性

因为在函数y

lnx的定义域(0

)内

y

<0

所以曲线y

lnx是凸的

解

下页22定理2(曲线凹凸性的判定法)

设f(x)在[a

b]上连续

在(a

b)内具有二阶导数.

若在(a

b)内f

(x)>0

则f(x)在[a

b]上的图形是凹的

若在(a

b)内f

(x)<0

则f(x)在[a

b]上的图形是凸的

下页23拐点连续曲线y

f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点

拐点讨论如何确定曲线y

f(x)的拐点？如果(x0,

f(x0))是拐点且f

(x0)存在,问f

(x0)=？如何找可能的拐点？

提示如果在x0的左右两侧f

(x)异号,则(x0,

f(x0))是拐点.

在拐点(x0,

f(x0))处f

(x0)=0或f

(x0)不存在.

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐点.下页24

例9

求曲线y

2x3

3x2

2x

14的拐点

只有f

(x0)等于零或不存在,(x0,

f(x0))才可能是拐点.

如果在x0的左右两侧f

(x)异号,则(x0,

f(x0))是拐点.y

6x2

6x

12

解

下页25下页

例10

求曲线y

3x4

4x3

1的拐点及凹、凸的区间

列表判断

在区间(

0]和[2/3

)上曲线是凹的;

在区间[0

2/3]上曲线是凸的

点(0

1)和(2/3

11/27)是曲线的拐点

(0)0(02/3)2/3(2/3

)＋－＋∪∩∪00111/27f

(x)f(x)x

函数y

3x4

4x3

1的定义域为(

)

解下页26内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点27§3.5

函数的极值与最大最小值

一、函数的极值及其求法

二、最大值最小值问题28定义(极值与极值点)一、函数的极值及其求法x1x2x3x4x5

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,

使函数取得极值的点称为极值点.

观察与思考观察极值与切线的关系.下页29定理2(第一充分条件)

x1x2x3x4x5下页30确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f

(x)