第29章　圆小结（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

小结人教版九年级数学（上）第29章圆知识模块一圆的有关概念

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.OAr圆心半径其固定的端点О叫做圆心，线段OA叫做半径.圆的述性定义以点O

为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”.圆的表示方法：OAr圆心半径注意：根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；封闭曲线

圆心为О、半径为r

的圆可以看成是所有到定点О

的距离等于定长r

的点的集合OAr集合性定义圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”，圆上的点”指的是“圆周上的点”圆面圆周圆周上的点注意：OACB弦:连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．1.弦和直径都是线段.2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.注意

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．COAB

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以

A、B为端点的弧记作

，读作“圆弧

AB”或“弧

AB”．AB弧:小于半圆的弧(如图中的

)叫做劣弧AC大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的

)叫做优弧ABCCOAB劣弧与优弧在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧.等圆:·COA能够重合的两个圆叫做等圆.·CO1A容易看出，等圆是两个半径相等的圆.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.探究1：经过一个点A能不能作圆?这样的圆能作出多少个?结论1：过一点可以作无数个圆。OOOOOA知识模块二过三点的圆探究2：使圆经过两个已知点A，B，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？OABOABOAB结论2：过两点可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上，半径是圆心和A、B这两点中一点的连线段。探究3：使该圆经过三个已知点A，B，C(其中A，B，C三点不在同一条直线上)，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？如图，l1与l2相交。ABCl1l2设l1与l2的交点为O——即圆心；O∵OA=OB=OC，∴连接OA(或OB、OC)——即半径。∴以点O为圆心，OA为半径的圆经过A、B、C三点又∵l1与l2相交，只有一个交点，∴经过A、B、C三点的圆有且只有1个。结论3：不在同一条直线上的三点确定一个圆，圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点，半径是圆心和A、B、C这三点中一点的连线段。ABCl1l2O不在同一条直线上的三点确定一个圆。ABCl1l2OABC1.外接圆⊙O叫做△ABC的________，△ABC叫做⊙O的____________.到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心：定义：●O外接圆内接三角形三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：3.反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立；

②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立．垂径定理·OABCDE∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.推导格式：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.知识模块三垂直于弦的直径不能，圆的任意两条直径都是互相平分的，却不一定互相垂直.·OABCDM·OAA'CD“不是直径”这个条件能去掉吗？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论垂径定理的常用方法在圆中，解决有关弦的问题时，只需从圆心作一条与弦垂直的线段，

如图：·OABrda(r：圆的半径

，d：圆心到弦的距离

，a：弦长)

知识模块四圆心角1.圆的对称中心是什么？圆心就是它的对称中心.OAB180°2.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？Oα圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.·OABM1.圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧

弦1.优弧所对的圆心角大于平角，2.劣弧所对的圆心角小于平角，3.半圆所对的圆心角等于平角.ABOCD定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.符号语言：∠AOB=∠A′OB′

=ABA′B′AB=A′B′重要结论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.符号语言：ABA′B′=∠AOB=∠A′OB′AB=A′B′重要结论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等符号语言：AB=A′B′∠AOB=∠A′OB′AOBA′OB′=ABA′B′=如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．弧、弦与圆心角关系定理的推论知识模块五弧长和扇形面积n°ABO若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为

.

弧长公式：

圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.半径半径OBA圆心角弧OBA扇形扇形面积计算公式及相关的计算问题一

由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？360°

所对的扇形的面积：1°

所对的扇形的面积：

πR2360

πR2问题二

圆心角是

n°

的扇形的面积呢？总结圆心角为

n°

的扇形的面积是:.°

圆心角是

n°

所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系.R

总结圆心角为

n°

的扇形的面积是:n°lO

OO弓形的面积

=扇形的面积

±

三角形的面积弓形的面积公式:

S弓形

=S扇形

-

S三角形S弓形

=S扇形

+

S三角形知识模块六圆锥的侧面积和全面积圆锥的相关概念把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段(如线段

SA，SB等)叫做圆锥的母线．母线有____条，都_____.无数相等l

如果用

r表示圆锥底面圆的半径，h

表示圆锥的高，l

表示圆锥的母线长，那么

r、h、l之间的等量关系是：____________．r2+h2=l2

rhl圆锥与侧面展开图之间的关系：沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形.lro扇形圆锥侧面展开图的扇形的半径=母线的长llro扇形圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面周长2πr圆锥的侧面积圆锥的侧面积=扇形的面积lro扇形