北师大版初中数学九年级上册：营销与变化率问题（第2课时）教案

北师大版初中数学九年级上册：营销与变化率问题（第2课时）教案

一、教学内容分析

本课内容隶属于“一元二次方程”单元的应用部分，是代数模型解决现实世界复杂数量关系问题的典型体现。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角审视，本课处于“数量关系”主题下的“方程与不等式”部分。其核心素养指向明确：数学建模（将实际问题抽象为方程模型）、数学运算（解方程并检验解的合理性）与应用意识（认识数学的现实价值）。知识技能上，要求学生从理解一元二次方程的概念，跃迁至能准确识别“单件利润×销量=总利润”及“基数×(1±变化率)^期数=终值”两类关键模型，并据此列方程求解。过程方法上，本课是训练学生从具体情境中提取数学信息、设未知数、寻找等量关系、建立方程这一系列“数学化”过程的关键课例，蕴含了从算术思维向代数思维、从静态计算向动态建模的重要跨越。素养价值渗透于对经济现象（营销）和增长/衰减规律（变化率）的理性分析中，有助于培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维思考现实、用数学语言表达现实的能力，理解数学是描述世界变化规律的重要工具。

学生的认知起点是已掌握一元二次方程的解法，并能解决简单的面积、数字问题。然而，将复杂的、涉及连续变化过程的实际问题有效代数化，是普遍存在的思维障碍。具体表现为：对“销量随单价变化”这一动态关联理解不清，常错误地将销量设为固定值；对“平均变化率”概念易与一次增长的算术平均数混淆，难以理解其“指数型”变化本质。此外，从冗长的文字叙述中精准提炼等量关系，对学生的阅读理解和信息筛选能力提出了较高要求。因此，教学策略上，需通过可视化分析（如列表格、画示意图）和具体到抽象的阶梯式引导，分解建模步骤。同时，设计分层探究任务，为理解力较强的学生提供更具挑战性的变式问题，为需要支持的学生搭建包含关键步骤提示的“脚手架”，确保所有学生都能参与到建模的核心过程中来。

二、教学目标

知识目标：学生能够准确辨析营销问题中的“单件利润”、“销量”与“总利润”之间的动态制约关系，以及平均变化率问题中“基数”、“变化率”、“期数”与“终值”之间的指数增长/衰减关系。他们不仅能识别题目中的关键信息，还能自主设元，用代数式清晰地表达这些关系，最终成功建立相应的一元二次方程模型，并对方程解的合理性进行符合情境的解释。

能力目标：重点发展学生的数学建模能力和分析归纳能力。通过解决一系列由浅入深的实际问题，学生能够独立完成“审题→设元→列表分析数量关系→建立方程”的完整建模流程。他们能够从多个具体案例中，抽象概括出两类问题的通用数学模型，并尝试用该模型去解释或预测新的类似情境，实现从特殊到一般的思维飞跃。

情感态度与价值观目标：在探究营销策略最优化的过程中，激发学生对经济生活中数学智慧的认同感，体会数学决策的价值。在小组合作解决复杂问题的过程中，培养耐心、细致的科学态度和勇于表达、乐于倾听的合作精神。通过对解的合理性讨论，形成严谨、务实的思维品质。

科学（学科）思维目标：本节课着重强化模型化思想与函数思想（尽管未明确引入函数概念）。引导学生将营销问题中“售价-利润”的动态关系，以及变化率问题中“时间-总量”的指数关系，视为一种潜在的函数对应。通过探究，使学生初步感悟到方程是刻画现实世界等量关系的强大数学模型，体会其结构化、符号化的简洁美与力量感。

评价与元认知目标：设计学习任务单中的自我核查环节，引导学生在完成每个建模步骤后进行自我监控：“我找出的等量关系明确吗？”“我列出的代数式是否准确反映了题意？”在小组讨论和全班分享环节，鼓励学生依据“建模步骤完整性”、“等量关系准确性”等标准，对同伴的解题思路进行评价与补充，在互评中深化理解，提升元认知水平。

三、教学重点与难点

教学重点：构建并理解两类一元二次方程应用问题——营销利润问题和平均变化率问题的基本数学模型。具体而言，重点是引导学生掌握“总利润=单件利润×销量”这一核心等量关系在售价变动情境下的代数表达，以及“终值=基数×(1±平均变化率)^期数”这一指数模型的内涵与应用。确立此为重点，源于其在课标中对“模型观念”素养培养的核心要求，亦是中考中考查学生应用能力与方程思想的高频考点，分值比重可观，且是连接方程知识与复杂现实问题的桥梁。

教学难点：学生理解的难点集中在两方面：一是对营销问题中“销量随售价（或涨价）动态变化”这一反比例关系的理解与符号化表达，容易混淆变化前后的量；二是对“平均变化率”概念的深度理解，特别是明晰其与算术平均增长量的本质区别，理解“连续相同比率变化”的累积效应（即指数效应），并避免在设未知数（x代表变化率）和列方程时出现指数错误。难点预设基于以往教学经验：学生在面对此类多变量、连续变化的问题时，思维容易停留在静态和线性层面，跨越到动态和指数层面存在认知跨度。突破方向在于使用具体数值进行试探性计算，再过渡到一般化代数表达，并加强两类模型的对比辨析。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：制作交互式课件，包含情境动画（如商品货架与价格标签动态变化）、分步解析图表、课堂练习题及分层任务卡。

1.2学习材料：设计《学习任务单》，内含引导性问题、分层探究任务表格、当堂巩固练习题及自我评价表。

2.学生准备

2.1知识回顾：复习一元二次方程解法，预习教材相关案例。

2.2物品准备：草稿纸、文具。

3.环境布置

3.1座位安排：小组合作式座位（4-6人一组），便于讨论与互评。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与冲突激发：

“同学们，假设你是学校小卖部的‘一日店长’，一款进价5元的笔记本，现在售价10元，每天能卖50本。你想通过涨价来增加总利润，每涨1元，每天会少卖5本。那么，涨多少元时，每天的總利润能达到最大呢？是涨得越多利润就越高吗？”

（利用学生身边可能的“经商”体验创设情境，抛出直观上看似矛盾的问题——“涨价”既可能增加单利又可能减少销量，引发认知冲突，激发探究欲望。）

2.问题提出与路径勾勒：

“这其实是一个典型的‘营销优化’问题。生活中还有很多类似‘增长’或‘减少’的规律，比如人口增长率、手机电量消耗率。今天，我们就化身‘数学建模师’，用一元二次方程这把钥匙，来解开‘营销利润最大化’和‘平均变化率’这两类问题的密码。”

“我们将通过几个层层递进的‘建模任务’，先一起解剖‘店长困境’，再类比探索变化率规律，最后总结出通用‘模型公式’。”

第二、新授环节

本环节通过系列任务，搭建从具体感知到抽象建模的认知阶梯。

###任务一：探究“涨价”与“利润”的动态关系

1.教师活动：引导学生分析导入问题。首先提问：“总利润怎么算？”（总利润=单件利润×销量）。接着，带领学生用列表法进行试探性分析。在黑板上画出表格，横向表头为“涨价金额（元）”、“售价（元）”、“单件利润（元）”、“销量（本）”、“总利润（元）”。教师示范填写涨价0元（即原价）时的数据。然后提问：“如果涨价1元，售价、单件利润、销量分别变为多少？总利润是多少？大家动手算算看。”随后请学生尝试计算涨价2元、3元时的情况，并填入表格。引导学生观察数据变化趋势：“大家发现总利润随着涨价，先怎样后怎样？这说明了什么？”最后引出核心：“如果我们想知道‘涨多少元时总利润恰好达到某个特定值（比如600元）’，靠这样一一列举麻烦吗？我们能不能用一个代数式，把涨价x元后的总利润直接表示出来？”

2.学生活动：在教师引导下，回忆利润公式。跟随教师步骤，在任务单上绘制或补充表格。积极计算不同涨价额度下的具体数据，并填入表格。观察、讨论数据规律，发现总利润并非单调增加，而是存在一个峰值。感受枚举法的局限性，产生寻找通用代数表达式的需求。

3.即时评价标准：①能否正确计算不同情境下的单件利润和销量；②能否在表格中清晰、准确地呈现数据；③能否从数据变化中观察到总利润存在最大值这一非单调性规律；④是否积极参与计算与讨论，并提出自己的观察。

4.形成知识、思维、方法清单：

★核心等量关系：营销利润问题的基石是“总利润=(售价-进价)×销量”。所有分析都必须紧扣这个等式。

▲关键动态关系：销量通常会随售价（或涨价、降价）的变动而反向变动。题目会以“每涨(降)a元，销量减少(增加)b件/单位时间”的形式给出这种关联。这是建模的难点和关键点。

方法支架——列表分析法：对于涉及多个关联变量变化的问题，列表是理清思路、避免混乱的利器。通常以“设的未知数（如涨价x元）”为起点，逐行推导出售价、单件利润、销量的代数式，最后列出总利润表达式。

思维提示：从具体数值计算过渡到一般代数式表达，是完成数学建模的标志性一步。要敢于用字母表示变化量。

###任务二：代数建模——设元与列式

1.教师活动：承接任务一，聚焦代数化过程。提问：“如果我们设涨价x元，那么新的售价如何用含x的式子表示？（10+x）新的单件利润呢？（(10+x)-5=5+x）”继续追问：“那新的销量呢？原来卖50本，每涨1元少卖5本，涨了x元，会少卖多少本？（5x本）所以新销量是？（50-5x）”将这一推导过程同步呈现在课件或黑板上。然后引导学生写出总利润的代数式：“那么，涨价x元后，总利润W可以表示为？W=(5+x)(50-5x)”。接着，将问题具体化：“如果题目问‘涨价多少元时总利润为600元’，方程怎么列？”得到方程(5+x)(50-5x)=600。此处停顿，让学生展开化简：250-25x+50x-5x^2=600

->-5x^2+25x+250=600

->-5x^2+25x-350=0

->可化为x^2-5x+70=0

。引导学生关注化简过程。

2.学生活动：紧跟教师引导，在任务单上同步进行代数推导。尝试自己说出售价、单件利润、销量的代数表达式。在教师引导下，共同完成总利润代数式的构建和方程的建立。动手对方程进行化简整理，回顾一元二次方程的一般形式。

3.即时评价标准：①能否独立且正确地用含x的代数式表示“售价”、“单件利润”和“销量”；②能否根据题意，利用总利润公式列出方程；③化简整理方程的过程是否规范、准确。

4.形成知识、思维、方法清单：

★设元技巧：通常设“变化的量”为x，如涨价金额、降价金额。要清楚x所代表的实际意义。

★销量代数式推导：这是易错点！若原销量为M，每涨(降)a元销量减少(增加)b件，则涨(降)x元后，销量为M∓(b/a)*x

。务必注意单位对应关系。口诀：“变化量除以单位变化量，再乘x”。

方程整理：列出方程后，务必化简整理成ax^2+bx+c=0(a≠0)

的标准形式，便于求解和判断根的情况。

教学提示：此环节需慢下来，让每个学生都跟得上代数表达的脚步。可以让同桌互相检查代数式是否正确。

###任务三：归纳营销问题通用模型与解的意义

1.教师活动：展示两至三个变式题（如“降价促销”情境，或改变进价、原销量、变动关系的数据）。将学生分成小组，要求他们快速完成设元、列表（口头或简写）、列方程。巡视指导，收集典型列式。随后请小组代表分享，并引导全班观察这些方程的共同结构。提问：“抛开具体数字，这类问题的方程在结构上有什么共性？”旨在引导学生发现核心是(初始单利±x)×(初始销量∓kx)=目标总利

（其中k为销量随单价变动的比率）。接着，回到最初列出的方程x^2-5x+70=0

，提问：“这个方程有实数解吗？大家算算看判别式。”（Δ=25-280=-255<0，无实数解）。追问：“无解，这说明了什么？是我们的模型列错了吗？”引导学生结合任务一的表格数据思考：总利润600元是否可能达到？从而深刻理解方程的解必须符合实际问题意义（如售价、销量为非负数，且通常为整数或合理小数）。

2.学生活动：以小组为单位，合作解决变式问题，训练快速建模能力。观察、比较不同题目列出的方程，尝试归纳共同点。计算判别式，发现方程无实数解。结合之前的具体数据计算（可能最大利润都达不到600元），理解“无解”在实际情境中的含义——目标利润无法实现。讨论解的合理性条件。

3.即时评价标准：①小组能否合作高效地完成变式题的建模；②能否从具体例子中提炼出模型的共性结构；③能否将方程的解与实际问题背景结合，判断解的合理性，理解“无解”的实践意义。

4.形成知识、思维、方法清单：

★模型初步归纳：营销问题的方程，本质是关于x（涨价/降价量）的二次方程，反映了单利与销量此消彼长的乘积关系。

★★解的检验与诠释：解一元二次方程得到根后，必须代入原题情境进行双重检验：一是数学检验（是否使方程成立）；二是实际意义检验（售价、销量是否非负，是否满足题目其他隐含条件，如整数要求）。方程无实数解，可能意味着预设的目标无法实现。

素养渗透：通过讨论“无解”的意义，强化数学建模的“闭环”思想——模型服务于实际问题，结果必须回归实际进行诠释，培养学生的应用意识和严谨态度。

###任务四：类比迁移——探究“平均变化率”模型

1.教师活动：创设新情境：“‘店长’问题我们解决了。再看另一个场景：某村去年植树100公顷，计划后年植树增加到121公顷，求这两年植树面积的年平均增长率。”引导学生与营销问题对比：“这个问题里，有‘单利’和‘销量’这种乘积关系吗？它的核心特征是什么？”（连续两年，以相同的比率增长）。我们可以用“笨办法”先感受一下：设年增长率为x。提问：“去年是100公顷，经过一年增长，第一年底（即今年）的面积是多少？”（100*(1+x)

）。追问：“那第二年底（即后年）的面积，是在第一年底的基础上再增长x，怎么表示？”（[100*(1+x)]*(1+x)=100*(1+x)^2

）。由此列出方程100(1+x)^2=121

。强调(1+x)^2

表示连续两次乘以(1+x)

，体现“指数增长”。然后，快速展示一个“平均下降率”的例子（如药品浓度衰减），让学生类比列出方程基数*(1-x)^期数=终值

。

2.学生活动：聆听新情境，思考其与上一个问题的区别。跟随教师引导，理解“每年都在前一年的基础上增长”的累积过程。动手写出第一年、第二年底面积的表达式，理解(1+x)^2

的含义。尝试独立列出方程。类比得出下降率问题的模型。

3.即时评价标准：①能否理解“年平均增长率”意味着每年变化率相同；②能否正确写出经过n期变化后的终值表达式基数*(1±x)^n

；③能否根据题意，准确设立关于平均变化率x的方程。

4.形成知识、思维、方法清单：

★★平均变化率核心模型：终值=基数×(1±平均变化率)^期数

。其中，“+”用于增长，“-”用于降低或减少。这是指数模型，切忌误以为是基数×(1±平均变化率×期数)

。

关键理解：“平均变化率”x是一个百分数（通常设为小数形式），1±x

是每期的“增长系数”或“衰减系数”。期数n对应的是变化的次数，要仔细审题，明确是从哪年到哪年，经历了几年（n次变化）。

类比学习：通过与营销问题的对比，体会不同类型问题（乘积模型vs.指数模型）需要不同的数学结构来描述，提升模型辨识能力。

###任务五：对比辨析与模型内化

1.教师活动：出示一组混合了营销问题和平均变化率问题的题干描述（仅文字，不要求列方程），组织学生进行“快速抢答”或小组分类竞赛：判断各问题属于哪一类模型，并简要说明依据。例如：“商品每降价1元，每天多卖2件”——营销模型；“森林面积每年减少5%，两年后…”——变化率模型。之后，引导学生共同总结本课两大模型的识别特征与建模步骤口诀。

2.学生活动：积极参与抢答或小组讨论，快速阅读题目，辨析模型类型。在竞争中巩固对两类问题本质特征的理解。参与总结归纳，形成自己的知识网络。

3.即时评价标准：①能否快速、准确地根据文字描述判断问题所属类型；②能否清晰说出判断的依据（是涉及“售价-销量-利润”的乘积动态关系，还是涉及“基数-固定比率-多期累积”的指数关系）。

4.形成知识、思维、方法清单：

★模型辨识特征：营销问题关键词——“进价、售价、销量、利润”、“每涨（降）…，少（多）卖…”。变化率问题关键词——“平均增长/降低率”、“两年后”、“n年后”、“连续相同比率”。

★★通用建模步骤口诀：“一审二设三列四解五验”。一审：细读题，辨模型，找等量；二设：设未知（直接设或间接设）；三列：表关系，列方程；四解：解方程；五验：验根合理性。

思维提升：数学建模的核心在于识别问题的数学结构。通过对比辨析，培养学生从纷繁的实际描述中抽象出关键数学关系的能力。

第三、当堂巩固训练

设计分层练习题，学生根据自身情况选择完成，教师巡视指导，进行差异化反馈。

1.基础层（巩固模型）：

1.2.（营销类）一件商品进价40元，售价60元时月销200件。调查发现，每降价1元，月销增加20件。若月利润要达到8750元，应降价多少元？（提示：关注单利、销量的变化方向）

2.3.（变化率类）某厂2021年产值500万元，2023年产值达到605万元，求这两年的年平均增长率。

3.4.反馈机制：完成基础层后，同桌互换批改，重点检查等量关系是否找对、方程列式是否准确。教师公布答案，针对共性疑问（如降价问题中单利表达式）进行简短讲评。

5.综合层（应用与辨析）：

1.6.某书店销售一本畅销书，每本进价20元。当售价为30元时，每天可售出120本。为了促进销售，书店决定降价，市场调查显示，单价每降低1元，每天可多售出10本。设降价x元。

（1）用含x的代数式表示：日销量为______本，单本利润为______元。

（2）若书店想通过销售该书每天获得1800元利润，应降价多少元？

（3）请通过计算说明，售价定为多少元时，书店每天的利润最大？最大利润是多少？（此问为链接二次函数最值的伏笔，学有余力者尝试）

2.7.反馈机制：请一位学生上台展示第（2）问的解题过程，强调步骤规范性。教师点评，并引导全班思考第（3）问的探究方向，为后续学习埋下伏笔。

8.挑战层（跨学科/开放探究）：

1.9.（链接科学）一种细菌每半小时由一个分裂成两个（即增长率为100%）。现有10个这样的细菌，经过t小时后，细菌总数N为多少？请写出N关于t的表达式。若经过一段时间后总数达到2560个，求经过了多久？（此题为指数增长模型，与平均变化率本质相通，挑战学生迁移能力）。

2.10.反馈机制：教师提供思路点拨，鼓励完成的学生分享其思考过程，赞扬其迁移创新能力。

第四、课堂小结

1.结构化总结：邀请学生担任“总结师”，用思维导图或关键词的形式，在黑板上梳理本节课的两大主线：“营销利润问题”与“平均变化率问题”，包括其核心等量关系、模型表达式、易错点及解题步骤。其他学生补充。

“今天我们当了一回‘模型建筑师’，搭建了哪两座主要的‘数学模型大厦’？它们各自有什么独特的‘结构特点’？”

2.元认知反思：引导学生完成《学习任务单》上的反思栏：“本节课我最清晰的收获是______；我还有点困惑的地方是______；我在______环节参与最积极。”

3.分层作业布置：

1.4.必做（基础+综合）：教材本节后配套练习题；完成学习任务单上未完成的巩固练习。

2.5.选做（探究拓展）：（1）调研一款身边商品的近似进价与售价，为其设计一个简单的“涨价-销量”预测模型，并计算一个你认为合理的利润目标下的调价方案。（2）探究“复利计算”与“平均变化率”模型之间的联系，写一份简短的发现报告。

3.6.预习提示：下节课我们将利用二次方程解决几何图形中的动点问题，请提前阅读教材相关章节，思考如何用方程表示线段的长度。

六、作业设计

基础性作业：

1.完成教材“随堂练习”和“习题”中与本课内容直接对应的全部题目。

2.整理课堂笔记，用不同颜色的笔标出两类问题的核心模型公式和解题步骤。

3.针对自己当堂巩固练习中的错题，进行订正并写出错因分析。

拓展性作业：

1.情境应用题：某网红奶茶店推出新品，已知每杯成本（含原料、包装）为8元。试营业期间定价15元，日销300杯。经市场调研，每杯价格每上调1元，日销量减少20杯；每下调1元，日销量增加20杯。现店长希望日利润达到3500元，请你为其设计两种定价方案（一种涨价、一种降价），并通过计算说明。

2.模型辨析题：收集或自编两道易混淆的题目（例如，表面看像变化率实际是营销问题，或反之），并附上详细的模型识别分析和解题过程。

探究性/创造性作业：

1.微项目：我的“小店”盈利计划。假设你获得一笔小额“创业资金”用于在校内销售一种商品（如文具、健康零食）。请你进行以下研究：①确定一种商品，调查其近似进货成本。②设计一个简单的问卷调查，了解同学对该商品在不同价格区间的购买意愿（销量预估）。③根据收集的数据，建立一个简化的盈利模型，分析定价在多少范围内可以保本，并预测一个可能获得最大利润的定价区间。形成一份包含数据、模型分析和建议的简易报告。

2.数学写作：以“一元二次方程——连接静态数学与动态世界的桥梁”为题，结合本课学习的两种模型，撰写一篇短文，谈谈你对数学建模在理解现实世界变化规律中作用的认识。

七、本节知识清单、考点及拓展

★营销利润问题核心模型：总利润=(售价-进价)×销量。当售价（或与之关联的涨价/降价量x）变动引起销量线性变动时，总利润W可表示为关于x的二次函数（方程）。考点常在于根据“每变动a元，销量变动b件”的条件，正确写出销量表达式M∓(b/a)*x

，这是列对方程的关键。中考中多作为中等难度应用题出现。

★平均变化率问题核心模型：终值=基数×(1±平均变化率)^期数

。其中“±”取“+”为增长，“-”为减少。极度易错点：误以为终值=基数×(1±平均变化率×期数)

。必须理解这是“指数增长/衰减”模型。考点在于准确理解“期数”，明确是从头到尾经历了几次变化，以及正确设未知数（通常直接设变化率为x）并列出方程。

★设元策略：两类问题通常都采用直接设元法，即求什么就设什么为x（如涨价金额、年平均增长率）。但要确保x的定义清晰。

★解的检验双重要求：求出方程的根后，必须进行数学检验（代入方程）和实际意义检验。对于营销问题，需检验售价、销量是否非负，是否满足整数等隐含条件；对于变化率问题，需检验增长率是否为合理正数，降低率是否在0到1之间。不合实际的根要舍去。

▲模型辨识能力：快速区分两类问题是解题第一步。抓住关键词：营销问题围绕“利润、售价、销量”的互动；变化率问题强调“连续、相同比率、经过若干期”。

▲列表分析法：对于数量关系复杂的营销问题，在草稿纸上列出“未知数(x)、售价、单利、销量、总利（表达式）”的表格，是理清思路、防止出错的有效可视化工具。

▲从方程到函数：营销问题中的总利润表达式W=ax^2+bx+c(a<0)

，实际上是一个二次函数。在目前学习阶段，我们是令W等于一个具体值来列方程求解。这为后续学习二次函数求最值奠定了坚实的基础，可以启发学有余力的学生思考：“如何不列方程，直接找到最大利润？”

▲跨学科联系：平均变化率模型是理解指数增长（如人口、细菌繁殖、复利）和指数衰减（如放射性物质衰变、药物浓度）的数学基础，在生物、化学、经济等学科中广泛应用。

★通用解题步骤（口诀）：一审二设三列四解五验。养成按步骤解题的习惯，能有效提高解题的准确性和规范性，是应对考试的重要策略。

八、教学反思

本课设计试图在结构性、差异化和素养导向三者间寻求平衡。从假设的实施角度看，预计导入环节的“店长困境”能有效激发九年级学生的兴趣，将抽象的数学问题植根于可感知的情境中。“列表法”在任务一中的运用，如同为思维搭建了可视化脚手架，预计能帮助大部分学生突破“动态关系”的理解障碍，这一点在以往教学中被证实是有效的。

各核心任务的设计环环相扣，从具体感知（任务一）到代数抽象（任务二），再到归纳迁移（任务三、四）和对比内化（任务五），符合学生的认知建构规律。其中，任务三中刻意设计的“方程无解”情境，是预设的亮点，旨在打破学生“列出方程就一定能解出答案”的思维定势，深化对数学模型“解释力”和“局限性”的理解，预计能引发有价值的课堂讨论。分层巩固训练和作业设计，照顾了从巩固基础到拓展探究的不同需求，特别是探究