北师大版小学数学五年级上册《因数探索》教学设计

北师大版小学数学五年级上册《因数探索》教学设计

一、设计理念与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，深刻践行以核心素养为导向的课程育人理念。教学聚焦于学生“数感”、“推理意识”、“几何直观”及“模型意识”的协同发展，超越单一的知识与技能传授，指向对整数性质这一数论基础的深度理解与结构化认知。

理论层面，本设计深度融合建构主义学习理论与深度学习框架。强调学生在已有“乘法”与“整除”认知基础上的主动建构，通过设计富有挑战性的操作活动与思维进阶任务，引导他们经历“具体操作—表象形成—抽象概括—迁移应用”的完整认知过程。教学过程遵循“问题情境—数学探究—解释应用—拓展反思”的探究循环，旨在将“找因数”这一具体知识点，置于“数与运算”主题的整体脉络中，帮助学生构建关于整数特性的网络化知识结构，体验数学探究的基本思想方法，如有序思考、数形结合、归纳推理等。

二、教材与学情分析

（一）教材分析

“找因数”是北师大版小学数学五年级上册第三单元“倍数与因数”中的关键内容。它上承“倍数”的认识，下启“质数与合数”、“奇偶性”以及后续的“最大公因数”、“约分”等核心概念，是整数性质研究大厦的基石。教材编排体现了从具体到抽象的认知规律：通常借助“用小正方形拼长方形”的操作活动，将抽象的因数概念可视化、几何化，引导学生在“形”与“数”的对应中，发现并理解因数与乘法的内在联系，进而掌握有序寻找一个数的全部因数的方法。本课的价值不仅在于掌握方法，更在于培养学生思维的条理性与严密性，初步渗透从有限到无限、从列举到归纳的数学思想。

（二）学情分析

五年级的学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期。他们具备以下认知基础：熟练掌握表内乘法和多位数乘法；初步理解了乘除法的互逆关系；对“整除”概念有直观感知。然而，潜在的认知挑战同样存在：首先，学生可能混淆“因数”与“倍数”的角色关系；其次，在寻找因数时，容易陷入无序状态，导致遗漏或重复；最后，对“因数”概念的理解可能停留在“乘法算式中的乘数”这一运算层面，难以抽象到“整数关系”的本质层面。因此，教学需在激活已有经验的同时，创设认知冲突，引导方法优化，促进概念的内化与升华。

三、教学目标

基于核心素养导向，设定以下三维整合的教学目标：

1.在具体的问题情境（如拼长方形）中，理解因数的意义，能建立因数与乘法的联系，能准确描述两个数之间的因数关系，发展数感和符号意识。

2.经历探索寻找一个数的全部因数的过程，掌握有序思考、成对寻找因数的方法，做到不重复、不遗漏，并能将此方法应用于解决简单实际问题，培养推理意识和有序思维的能力。

3.通过观察多个数的全部因数，能自主发现并归纳一个数因数的个数特征（有限性），及其与因数大小之间的关系规律，感受数学探索的乐趣和严谨性，初步形成模型意识。

四、教学重难点

教学重点：理解因数的意义，掌握有序、成对地寻找一个数的全部因数的方法。

教学难点：理解因数概念的数学本质；探索并内化有序、成对寻找因数的策略，理解因数个数的有限性。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件、交互式白板、若干写有不同数字（如12，18，24，36）的磁性卡片、不同颜色的长方形磁贴（代表不同摆法）。

学生准备：每人一套面积为1平方厘米的小正方形学具（至少20个）、方格纸、学习任务单。

六、教学过程

（一）情境导入，孕伏概念

活动一：队列设计中的数学

师：学校运动会即将举行，我们班需要选派12名同学组成一个长方形队列参加开幕式表演。如果你是队列设计师，你能设计出几种不同的长方形排队方案？（每行人数需大于1，且为整数）

学生独立思考后，可能会提出：排成1行，每行12人；排成2行，每行6人；排成3行，每行4人。教师将学生的方案用“行数×每行人数”的形式板书。

师：这些方案都保证总人数是12人。从数学角度看，“行数”和“每行人数”与“总人数12”有什么关系？

引导学生用乘法算式表示：1×12=12，2×6=12，3×4=12。

师：是的，行数和每行人数都是乘数，相乘的积是12。在数学上，对于这样的关系，我们有一种特定的表述。今天，我们就来深入研究这种关系。

设计意图：从真实的校园活动情境出发，将抽象的数学问题生活化、情境化。“排队方案”问题自然地引出了对12进行乘法分解的思考，为“因数”概念的引出提供了现实原型和认知起点。同时，该情境蕴含了“长方形”的几何意象，为后续的拼摆活动做好了无缝衔接的铺垫。

（二）操作探究，建构概念

活动二：拼摆中的“形”与“数”

师：刚才我们用“人”排队，现在我们用面积为1平方厘米的小正方形来“排队”——拼成长方形。请用你们手中的12个小正方形，在方格纸上拼出不同的长方形，并记录下长方形的长和宽各是多少个小正方形。

学生动手操作，合作探究。教师巡视，指导并收集典型拼法（即1×12，2×6，3×4，以及可能出现但需讨论的6×2，4×3等）。

师：谁来展示一下你的拼法？并说一说你拼出的长方形的长和宽。

学生展示。教师将相应的乘法算式（如3×4=12）板书，并同步用课件或磁贴展示长方形图形。

师：同学们发现了3种形状不同的长方形。老师看到有同学还拼出了长是4、宽是3的长方形，这和长是3、宽是4的长方形，从形状上看有什么区别和联系？

生：形状是一样的，只是摆放的方向不同。

师：对，在数学上，我们通常把较长的边称为长，较短的边称为宽。所以，长4宽3和长3宽4，我们看作是同一种长方形。那么，能拼成的所有可能的长方形，对应的算式就是：1×12=12，2×6=12，3×4=12。

师：请大家观察这些算式，这里所有的乘数（1，12，2，6，3，4）和积12有什么关系？

引导学生发现：这些数都能整除12（或12除以它们都没有余数）。

师揭示概念：像1，2，3，4，6，12这些乘数，它们不仅是乘法算式中的一部分，更与12有着特殊的整除关系。在数学上，我们称它们为12的“因数”。也就是说，如果a×b=c（a，b，c均为非零自然数），那么a和b就是c的因数。

板书核心概念：因数的定义。并请学生举例说明（如：因为3×4=12，所以3和4是12的因数）。

师：请根据定义，判断一下：5是12的因数吗？为什么？

生：因为找不到一个自然数与5相乘等于12，所以5不是12的因数。

设计意图：此环节是概念建构的核心。通过“拼长方形”这一经典的数形结合操作活动，将“找因数”这一抽象思维过程，转化为可见、可触的图形操作。学生在“做数学”的过程中，直观感知了“形”（长方形的长和宽）与“数”（乘法算式中的乘数）的对应关系。通过对“方向不同但形状相同”长方式的辨析，引导学生初步感知因数对的无序性（顺序可变）。在观察、比较、归纳中，自然引出因数的严谨数学定义，并即时通过反例进行辨析，加深理解。

（三）方法探索，优化策略

活动三：如何“一个不漏”地找到全部因数？

师：我们通过拼长方形，找到了12所有的因数。如果不允许你动手拼，只给你一个数字，比如18，你能找出它所有的因数吗？请在学习单上尝试。

学生独立尝试，可能出现无序寻找、有遗漏或重复的情况。教师选取具有代表性的作品进行展示。

作品1：无序列举，如1，2，3，6，9，18。

作品2：有遗漏，如只找到1，2，3，6，18。

作品3：按顺序找到一部分：1，2，3，6…但未完成。

师：同学们用了不同的方法。要确保找到“全部”因数，有什么好办法可以做到不重复、不遗漏呢？让我们回到12的例子来寻找规律。

课件动态展示拼长方形的过程，并同步呈现对应的算式：

拼出1×12长方形→发现因数1和12。

拼出2×6长方形→发现因数2和6。

拼出3×4长方形→发现因数3和4。

师：观察我们寻找因数的过程，你发现了什么顺序？因数是如何成对出现的？

引导学生总结：我们是从最小的因数1开始试的，1×12=12，找到了1和12这一对。然后试2，2×6=12，找到了2和6这一对。接着试3，3×4=12，找到了3和4这一对。试4时，我们发现4已经作为3的伙伴出现了，说明找完了。

师：这就像我们“握手”，1和12握手，2和6握手，3和4握手。每找到一个较小的因数，就能同时“牵出”一个较大的因数伙伴。我们从1开始，按顺序去试，直到“相遇”或“超过”为止。

提炼方法步骤：

第一步：从1开始，逐个尝试，看能否整除原数。

第二步：若能整除，则找到一对因数（商和除数）。

第三步：尝试到当商等于或小于除数时，停止。

以18为例，师生共同演示有序寻找的过程：

1×18=18→(1，18)

2×9=18→(2，9)

3×6=18→(3，6)

试4，不能整除；试5，不能整除；试6，6已经作为3的伙伴出现，停止。

师：所以18的因数有：1，2，3，6，9，18。我们可以用集合图或者这样列举的方式来表示。

板书示范有序的写法：可以按从小到大写：1，2，3，6，9，18；也可以成对写：(1，18)，(2，9)，(3，6)。

设计意图：从“能找”到“会找”（有序、全面），是学生思维从经验化走向数学化的关键飞跃。本环节通过呈现学生的原始思维困境（无序、遗漏），制造认知冲突，激发对方法优化的内在需求。借助“拼长方形”的动态回溯，将“有序思考”、“成对出现”的策略可视化，帮助学生形象地理解方法的原理。师生共同演示将方法程序化、可操作化，使学生不仅“知其然”，更“知其所以然”。

（四）巩固应用，深化理解

活动四：分层挑战，内化能力

1.基础巩固：请你找出下面各数的全部因数，并用你喜欢的方式表示出来。

（1）16（2）24（3）35

学生独立完成，教师巡视，关注书写规范（尤其是有序性）。完成后同桌互查，重点交流35的因数寻找过程（感受质数的因数特点）。

2.综合应用：小明的学号是一个两位数，它最大的因数是15，而且是9的倍数。小明的学号可能是多少？

引导学生分析：一个数最大的因数是它本身。所以这个数本身是15。但15是9的倍数吗？15÷9不能整除。所以题目条件“最大的因数是15”意味着这个数是15，“是9的倍数”意味着这个数必须是9的倍数。两个条件需同时满足，是否存在这样的数？此题旨在引导学生审题，理解条件间的逻辑关系，辨析概念。

3.拓展探究：观察下面各数的因数，你有什么发现？

提供数组：4的因数（1，2，4）；9的因数（1，3，9）；16的因数（1，2，4，8，16）；25的因数（1，5，25）。

引导学生发现：这些数都是“平方数”，它们的因数个数都是奇数个。并思考为什么（因为平方数有一对相同的因数，如4=2×2，导致因数成对出现时，中间那个因数“落单”）。

进一步提问：一个数的因数个数是有限的还是无限的？最小的是几？最大的是几？

设计意图：练习设计体现层次性、思维性和整合性。基础题巩固方法技能；综合题强调概念在复杂情境中的应用与辨析，提升分析能力；拓展题引导学有余力的学生走向更深层次的规律探索，感受数学的奇妙与严谨，实现差异发展。所有练习都服务于核心概念的深化与思维品质的提升。

（五）总结反思，拓展延伸

师：通过今天的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？

学生从知识（因数的意义、找因数的方法）、方法（有序思考、数形结合）、体验等方面进行总结。

教师梳理提升：

1.因数是表示整数之间乘积关系的一对“好朋友”。

2.找因数要讲究方法，有序思考、成对寻找是关键。

3.一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

4.我们通过“拼长方形”将数的问题转化为形的问题来解决，这是数学中非常重要的“数形结合”思想。

拓展延伸任务（课后完成）：

5.实践调查：你的家庭成员年龄、电话号码的区号、邮政编码等数字，分别有哪些因数？选择一个写一份简单的“数字因数报告”。

6.预学思考：一个数除了有因数，还有“倍数”。一个数的倍数有多少个？怎么找？因数和倍数之间有什么联系？

设计意图：引导学生进行系统性反思，将零散的知识点整合成结构化的认知网络。教师的梳理提升旨在强化核心概念、思想方法及学习策略。拓展延伸任务将数学与生活相连，并设置指向下一课时“倍数”的思考题，建立知识之间的桥梁，激发持续探究的兴趣。

七、教学反思（预设）

本节课的成功之处预计将体现在：第一，以“队列设计”和“拼长方形”为主线，构建了完整、生动、富有思维含量的探究情境，有效促进了学生对因数概念的深度理解。第二，充分尊重学生的认知起点，通过暴露问题、对比分析，引导学生自主建构“有序寻找因数”的策略，实现了思维的可视化与方法的优化。第三，练习设计兼具巩固性与挑战性，特别是拓展探究环节，为学生的思维打开了新的窗口，渗透了初步的数论思想。

可能面临的挑战及应对：首先，学生在理解“因数”概念时，可能会与