《机械可靠性设计》-第５ 章

第５章机械可靠度计算方法５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算５.３可靠性安全系数设计方法返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析在计算随机变量是函数的均值及方差时，必须拥有各基本随机变量的可靠性数据。一般获得有关可靠性数据的方法有两种：直接从可靠性试验得到；对机械设计长期积累的经验数据进行统计处理得到。一般情况下，从试验得到的往往只是少数主要参数，而大部分数据的获得是来自后一种方法。５.１.１载荷数据的分类及计算方法在常规机械设计中，通常把载荷值视为一个确定的常量，但事实上，各种机械所受载荷的大小都是在一定范围内呈分布状态的，是一个随机变量。下一页返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析在机械设计中，载荷通常用力和力矩形式表示，也可以用压力、应变及加速度等形式表示。载荷按照随时间变化的情况可分为两大类，即静载荷和动载荷，其中动载荷又可分为确定性载荷和随机载荷两种。确定性载荷是按一定规律变化的、可以重复的载荷，其可用一定的数学公式来描述；随机载荷是一种无规则的载荷，对其只能用试验统计的方法来描述。表５－１所示为几种主要类型的载荷，以确定单值和呈分布式随机变量的两种情况为例。从表中可见，在可靠性设计中，用以计算的载荷是一个分布式变量，传统方法中使用的确定单值ａ１可作为其均值μＦ＝ａ１，其还具有分布的标准差σＦ，其载荷值表示为Ｆ（μＦ，σＦ）、Ｆ（，σＦ）或Ｆ（ａ１，σａ）。上一页下一页返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析５.１.２几何尺寸的统计方法机械应力一般是载荷和几何尺寸的函数，故应力的随机性不仅取决于载荷的随机性，也取决于几何尺寸的随机性。由于加工制造设备的精度、量具的精度和操作人员的技术水平等的差异，使得同一批零件可能在技工完成后会存在尺寸的差异，也就是说加工不能保证几何尺寸绝对准确，而只能将其限制在允许的范围内，故几何尺寸也是一个随机变量。表５－２所示为采用不同加工方法时尺寸的误差，可作为设计时的参考。上一页下一页返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析几何尺寸的变化一般服从正态分布，这种差异存在的范围就是零件尺寸作为一个随机变量的分布范围。通常用极差Ｒ来表示小批量产品的离散程度，极差表达的是产品尺寸分布范围的最大和最小尺寸之差。极差与作为正态分布的标准差的比例关系如表５－３所示。机械加工的产品一般用公差标准来表示极差。通常按照表５－３中样本容量为７００的情况计算，即即σｘ与Δｘ的关系如图５－１所示。上一页下一页返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析一般，对有较严公差限制的尺寸误差，它对应力数值的影响较小，常可假定为确定从而使计算大为简便。５.１.３材料的力学特性参数材料的力学特性直接决定了机械零件的强度数值，由于金属材料的冶炼、零件的加工和热处理等各个环节的随机因素影响，使零件材料的各项力学特性参数发生随机变化，其中多数是正态分布，少数是指数分布或威布尔分布。设计标准或规范所提供的材料性能数据一般是根据一定数量的样本统计得到的，并且经过长期实践的检验，因而是可以信赖的。上一页下一页返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析在缺少直接试验数据的情况下，将手册、规范所提供的数据按常用的分布规律进行处理，可以得到供实际计算用的可靠性数据。１.材料的弹性模量材料的弹性模量Ｅ、剪切模量Ｇ和泊松比μ都可认为服从正态分布，这些指标一般是比较稳定的指标，它们的标准差和变异系数都比较小。材料的剪切模量Ｇ和弹性模量Ｅ、泊松比μ有如下关系：因此，剪切模量Ｇ的参数特征值可通过弹性模量Ｅ和泊松比μ求得。上一页下一页返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析表５－４和表５－５为典型金属材料的统计数据，可供使用参考。２.材料的静强度材料的静强度指标包括抗拉、抗剪切、抗扭、抗弯的强度及相应的屈服极限，它们一般呈正态分布，具体指标及量级关系如表５－６所示。表５－７所示为几种国产钢材静强度的统计数据，可供参考。３.材料的疲劳强度当机械零件承受交变载荷时，其所能达到的强度就称为疲劳强度。上一页下一页返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析疲劳失效时零件经历过的应力循环次数称为疲劳寿命，常用Ｎ（如旋转轴的转数）表示。疲劳寿命的长短取决于所施加的循环应力的水平。通常情况下，同种材料的循环应力水平越低，则疲劳寿命就越长。但当循环应力低到一定程度时，寿命可以无限延长，叫作无限寿命，通常金属材料的无限寿命定义为循环次数达１０６～１０７次以上。由此可知，与静强度只是一个独立的物理量不同，疲劳强度值要取决于零件的应力循环次数多少（即疲劳寿命），不同疲劳寿命条件下会有不同的疲劳极限值（参见Ｓ－Ｎ曲线）。上一页下一页返回５.１常用可靠性设计物理量统计数据分析这里的疲劳极限值即相应的循环应力水平，该数值等于交变应力的应力幅，如表５－１中ａ１。表５－８所示为几种典型钢材的疲劳强度统计分析，表５－９所示为一些材料疲劳强度的标准差，供计算时参考。上一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算５.２.１应力和强度均为正态分布时的可靠度计算当应力和强度均为正态分布时，根据干涉模型和可靠度公式，可通过以下导出的联结方程而求得可靠度系数ＺＲ，然后使用标准正态分布表（附表１）求出可靠度。应力ｓ和强度ｒ为正态分布时，其概率密度函数为下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算前已述及，干涉随机变量Ｙ＝ｒ－ｓ（又称功能密度函数）也服从正态分布，其概率密度函数为由于强度ｒ和应力ｓ均为正态分布，根据正态分布加法定理可知，Ｙ＝ｒ－ｓ也是正态分布，其均值μＹ和标准差σＹ分别为因此，零件的可靠度为（只有在（０，∞）内积分才有意义）上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算将式（５－８）进行标准化处理，令则当Ｙ＝０时，上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算当Ｙ→∞时，因此，可靠度可写为由于正态分布的对称性，式（５－１３）可靠度积分值可写成式（５－１４）的积分上限ＺＲ即称为联结方程：上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算式（５－１５）把应力分布参数、强度分布参数和可靠度三者联系起来，称为“联结方程”，是可靠性分析与设计中一个重要表达式。ＺＲ的值称为联结系数，通常又称为可靠度系数，是零件或系统可靠性分析的安全指标。当已知ＺＲ时，从标准正态分布表可查出可靠度Ｒ的值。上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算联结方程的用途是：在进行可靠性设计时，当正态分布的应力和强度的分布参数已知后，可利用联结方程求得可靠度系数ＺＲ，按标准正态分布表查出相应的可靠度Ｒ，使之大于或等于规定的目标可靠度［Ｒ］（又称为许用可靠度）；当工程中实现规定目标可靠度［Ｒ］时，可按标准正态分布表查出可靠度系数，再由联结方程求得所需的设计参数，如零件的断面尺寸、材料强度参数等。这就实现了将可靠度直接引入零件的设计中，定量地回答了零件在运行中的安全与可靠的程度。上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算图５－２所示为联结方程推导过程的概率与几何意义，图５－２（ａ）所示为函数Ｙ＝ｒ－ｓ的分布，图中阴影部分面积是可靠度Ｒ值（ｒ－ｓ＞０）；图５－２（ｂ）所示为将函数Ｙ标准化Ｚ＝Ｙ－μＹ/σＹ，则成为标准正态分布曲线Φ（Ｚ），图中阴影部分面积是可靠度Ｒ值，该阴影面积相应的横坐标最小值为－ＺＲ，此ＺＲ值就是联结系数。结合附表１进行查表计算时，需要明确Ｚ和ＺＲ的关系，对于可靠度而言，可以表达为上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算５.２.２应力和强度均为对数正态分布时的可靠度计算当Ｘ是一个随机变量，且ｌｎＸ服从正态分布，即ｌｎＸ～Ｎ（μｌｎＸ，σｌｎＸ）时，称Ｘ是一个对数正态随机变量，服从对数正态分布。μｌｎＸ和σｌｎＸ既不是对数正态分布的位置参数和尺度参数，也不是其均值和标准差，而是它的“对数均值”和“对数标准差”。应力ｓ和强度ｒ均为对数正态分布时，其对数值ｌｎｓ和ｌｎｒ服从正态分布，即上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算因Ｙ＝ｒ／ｓ，即Ｒ（ｔ）＝Ｐ（ｙ＞１），可靠度函数为对Ｙ＝ｒ／ｓ两边取对数，则Ｙ′＝ｌｎＹ为正态分布的随机变量（相当于两个正态分布随机变量相加），其均值μｌｎＹ、标准差σｌｎＹ以及可靠度为分别为上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算根据正态分布的标准化公式为根据Ｙ′＝ｌｎＹ＝ｌｎ（ｒ／ｓ）＝ｌｎｒ－ｌｎｓ＞０的要求，即Ｙ＝ｒ／ｓ＝１时，联结方程为上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算可靠度Ｒ表达式为应力和强度都是对数正态分布时的可靠度曲线如图５－３所示。５.２.３应力和强度均为指数分布时的可靠度计算当应力ｓ和强度ｒ均为指数分布时，其概率密度函数为上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算代入得对于指数分布，有代入可得上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算５.２.４强度为正态分布、应力为指数分布时的可靠度计算强度为正态分布、应力为指数分布的概率密度函数为代入任一可靠度一般方程上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算推导并简化得５.２.５强度为指数分布、应力为正态分布时的可靠度计算强度为指数分布、应力为对数分布的概率密度函数为上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算代入任一可靠度一般方程推导并简化得上一页下一页返回５.２已知应力和强度分布时的可靠度计算５.２.６强度和应力为其他分布时的可靠度计算强度和应力为其他分布时的可靠度计算一般都需要通过可靠度计算的一般方程进行推导。可靠度计算的一般方程为应力和强度为其他分布时的可靠度计算公式参考如表５－10所示。上一页返回５.３可靠性安全系数设计方法在传统的设计中，一个零件是否安全可用计算安全系数ｎ大于或等于许用安全系数［ｎ］来判断，即许用安全系数［ｎ］根据零件的重要性、材料性能数据的准确性及计算的精确性等确定。上述传统的安全系数计算一直沿用至今，积累了大量数据。其特点是：当强度和应力的离散性很小时，它给出了零件安全性的确切定义，且表达方式直观明确。但是，这种设计方法把安全系数、强度和应力等参数都处理成单值确定的变量，并取参数的平均值来计算，并不符合客观情况。下一页返回５.３可靠性安全系数设计方法实际上有些零件虽然计算获得的安全系数大于１，但往往有少数零件仍在规定的使用期内发生破坏。这是因为零件的强度、应力和尺寸等都是随机变量，有较大的离散性。为了追求安全，传统设计中有时盲目取用优质材料或加大零件尺寸，造成不必要的浪费。在安全系数计算中，若把所涉及的设计参数处理成随机变量，则可将安全系数的概念与可靠性的概念联系起来，建立相应的概率模型，以定量地回答零件在运行中的安全程度与可靠度，这是符合实际的先进方法。当应力ｓ、强度ｒ是随机变量时，则安全系数ｎ定义为强度与应力之比，即ｎ也是随机变量。上一页下一页返回５.３可靠性安全系数设计方法当已知强度ｒ和应力ｓ的概率密度函数ｇ（ｒ）和ｆ（ｓ），由二维随机变量的概率知识可算出ｎ的概率密度函数。安全系数可表达为在ｒ和ｓ均为随机变量的情况下，ｎ也为随机变量，因此也具有自己的可靠度和概率密度函数。一般进行零件可靠度计算的边界条件是ｎ＝ｒ、ｓ＞１，可靠度为上一页下一页返回５.３可靠性安全系数设计方法安全系数ｎ的概率密度函数如图５－４所示。当安全系数呈某一分布状态时，可靠度Ｒ（ｎ）为安全系数的概率密度函数在区间（１，）内的积分。定义于可靠度之下的安全系数，称为可靠性安全系数或可靠度系数，强度与应力之比为ｎ＝ｒ／ｓ。可靠度系数