《机械可靠性设计》-第３ 章

第３章可靠性设计的概率运算基础３.１工程信息的不确定性３.２随机事件的概率运算规则３.３随机变量的概率分布及其数字特征３.４可靠性研究中常用连续型概率分布３.５可靠性研究中常用离散型概率分布３.６随机变量概率运算常用方法返回３.１工程信息的不确定性为了对工程中的许多现象进行描述和分析，需要定义一些基本变量（或称为设计参数），如机械设计中的载荷、应力、强度和产品寿命等。无论是传统设计还是现代设计都含蓄地或明确地承认这些变量具有不确定性，即在一定程度上这些变量的观测结果是分散的，这是客观存在的事实。以对某种材料的强度实验为例，即使在条件不变的情况下，各次实验结果也不尽相同，这种不确定性又称为随机性。在可靠性设计中，各种事件和参数存在着不同类型的不确定性。１.物理的不确定性下一页返回３.１工程信息的不确定性物理的不确定性指零件或机器中的物理量，如载荷、速度、材料性能等客观的真实变异，这种变异性可用随机变量和随机过程来描述。然而物理的变异性只能用观测的样本资料来定量，由于样本容量和样本数量受到实际情况的限制，其导致所谓的统计不确定性。２.统计的不确定性为了对工程中的设计变量进行定量计算，需要收集数据，被研究的对象的全部称为母体，所收集的部分数据叫样本或子样本，显然母体是无限的，而样本都是有限的，如何取得样本以及样本数据的多少都是随机的。上一页下一页返回３.１工程信息的不确定性另外，需要建立这些变异物理量的分布规律，估计分布参数和统计推断都依赖样本数量的多少和某种经验。这些不确定性称为统计的不确定性。３.模型的不确定性数学模型或模拟，例如各种应力、强度的计算公式与方程、算法、计算机模拟程序等，甚至实验模型都是实际问题的一个理想化代表。上一页下一页返回３.１工程信息的不确定性这种模型的建立或者根据力学原理或者根据经验，用它来提供信息或多或少有一定的误差，含有不确定的成分，它是由模型的简化假设和未知的边界条件、没有包含在模型中的其他变量和各变量间关系的未知效应等引起的，称为模型的不确定性。总之，上述各种不确定性不论由什么因素产生，都需要用概率论的概念和方法进行研究和处理，从而做出符合工程标准的设计与决策。上一页返回３.２随机事件的概率运算规则３.２.１随机事件的概念自然界和社会上发生的现象多种多样，其中，在一定条件下必然要发生的现象称为必然事件，一定不会发生的现象称为不可能事件。这两者都是确定性的。还有一类现象是不确定性的，即在相同条件下做一系列的试验或观察，可能出现的结果不止一个。但这类现象虽然就每次试验或观察结果来说，它具有不确定性，而在大量重复试验或观察下，其结果却呈现出某种规律性。这种在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性，称为统计规律性或频率稳定性。这类在个别试验或观察中呈现出不确定性，而在大量试验或观察中又具有统计规律性的现象，称为随机现象。下一页返回３.２随机事件的概率运算规则在数学中，通常将“随机现象”称为“随机事件”。这类事件称为随机事件，这种试验和观测通常称为随机试验。随机试验具有三个典型特点：可以在相同条件下重复进行；每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一种结果会出现。随机试验Ｅ所有可能结果组成的集合称为Ｅ的样本空间，记为Ω，样本空间中的元素，即试验的每个结果称为样本点。随机试验Ｅ的样本空间Ω的子集称为Ｅ的随机事件，简称事件。每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称为这一事件发生。上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则随机试验中最简单的、不能再分的随机事件，即只包含一个样本点的单点集，称为该随机试验的基本事件。３.２.２随机事件的概率概率是刻画事件发生可能性大小的数量指标，其反映了经过大量试验所得到的随机事件发生的频率大小。假定在相同条件下进行ｎ次重复试验，事件Ａ发生了ｍ次，则事件Ａ发生的频率为上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则大量随机试验表明，当试验次数逐渐增多时，频率逐渐趋于稳定，当试验次数很大时，随机事件发生的频率则近似等于某个常数，即随机事件的概率，可表示为它是与一定条件下一定事件相联系着的，是随机事件的函数，是客观存在的。频率与概率表示了随机事件发生可能性大小的统计规律，在可靠性技术中对产品设计参数的定量计算、零件的可靠性计算、寿命估算及设备的故障、产品的缺陷等评估中都十分有用。上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则在随机试验中，每一个可能出现的结果都是一个随机事件，其中包括了若干基本事件，此处把最基本的、独立的、不能再分的随机事件称为该随机试验的基本事件。在古典概率试验中，若基本事件总数为ｎ，一个事件Ａ包含ｋ个基本事件，则事件Ａ的概率规定为３.２.３概率运算的基本法则１.互补定理上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则掷骰子必然会掷出一个点来，所以每次投掷中“出现任意点（指１，２，３，…，６）”的概率必然为１，而“出现４点”的概率为１／６。这样一来，从１减去１／６剩下５／６就是“出现４点以外的点”的概率，也就是“不出现指定点”的概率。所以说，某事件发生的概率与不发生的概率之和必然是１；或者说，某事件发生的概率为Ｐ时，则其不发生的概率必然是１－Ｐ，此即概率的互补定理。２.加法定理上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则掷骰子“出现４点”的概率是１／６，“出现６点”的概率也是１／６，那么“出现４点或６点”的概率则是２／６，即１／３。此例子说明，当事件Ａ与事件Ｂ互不相容（互斥）时，则“发生事件Ａ或发生事件Ｂ”这一事件的概率，记作Ｐ（Ａ∪Ｂ），等于各自发生的概率之和，即这就是概率的加法定理。若Ａ与Ｂ是两个相容的事件，即存在相同部分，则有上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则如果有多个事件，则式（３－５）可以推广为３.乘法定理若某设备发生Ａ种故障的概率为Ｐ（Ａ）＞０，发生Ｂ种故障的概率为Ｐ（Ｂ）＞０，且Ａ、Ｂ两种故障相互独立，则该设备Ａ、Ｂ两种故障同时发生的概率是上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则即相互独立的事件同时发生的概率是这些事件各自发生的概率的积，这就是概率的乘法定理。它亦适用于两个以上的相互独立的事件，即有当事件Ａ与事件Ｂ不是相互独立的，而是相关的，则它们同时出现的概率为或上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则４.条件概率在工程中经常会遇到某事件是在另一个或另几个事件发生的条件下发生的一类事件，称为条件事件。当事件Ａ已经发生的条件下，事件Ｂ发生的概率称为条件概率，用Ｐ（Ｂ︱Ａ）表示。因此，在事件Ａ发生的条件下，事件Ｂ发生的概率称为事件Ｂ发生的条件概率，记为Ｐ（Ｂ︱Ａ）。条件概率实质上反映了两种情况；一是Ａ与Ｂ具有从属或包含关系，二是Ａ与Ｂ具有相交的集合关系。其运算方法为上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则５.全概率公式设Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ是Ω的一个划分，且Ｐ（Ａｉ）＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），且Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ两两互不相容（均是独立事件），则称事件组Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ为一完备事件组。对任何事件Ｂ∈Ω，有上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则该公式即全概率公式，其所表达含义为：因为事件组Ａ１，Ａ2，…，Ａｎ为一完备事件组，则Ｂ事件必定与事件组中的某些事件存在交集或包含隶属关系，因此Ｂ事件的概率可以基于完备事件组中任何一个事件发生条件下的概率的叠加获得。全概率公式及事件条件关系示意如图３－３所示。在具体应用中，如果一个事件的发生是受几种因素共同影响的，并且这几种因素构成了完备事件组，则可使用全概率公式计算该事件的概率。上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则这样可把复杂的问题进行分解、简化，只要知道各种因素Ａｉ的概率和各种因素发生条件下事件Ｂ发生的概率，根据式（３－１３）即可计算出事件Ｂ的概率。尤其适用于当直接计算Ｐ（Ｂ）较困难时，若求得其在各子事件的概率并进行叠加即可求出Ｐ（Ｂ）。６.贝叶斯公式设Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ是Ω的一个完备事件组，即样本空间Ω的一个划分。Ｂ为另一相关事件，Ｂ∈Ω且Ｐ（Ｂ）＞０，则这一结论即贝叶斯定理，它是根据条件概率及全概率公式推导出来的。上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则由条件概率公式得由全概率公式得可得贝叶斯公式：可见贝叶斯公式表达的是Ａｊ和Ｂ同时发生相对于Ｂ的占比数据，即贝叶斯公式表达的含义是全概率公式的逆概率，是已知事件Ｂ发生的概率，反推其是由事件Ａｊ影响的概率，并且修正原始的Ａｊ发生的概率，因此可称之为逆概率。上一页下一页返回３.２随机事件的概率运算规则在贝叶斯公式中，Ｐ（Ａｊ）是因素发生的先验概率，或者是完备样本空间Ω集合的一个样本，但该样本可能会引发事件Ｂ的发生，也就是说与事件Ｂ可能有交集；Ｐ（Ａｊ｜Ｂ）表示当事件Ｂ发生时，相关某一影响因素发生的概率（修正了该因素的初始发生概率，是当事件Ｂ发生时，对影响其的某因素发生的可能性大小的重新判断），因为是从结果反推原因，因此可称之为后验概率。贝叶斯提供了手段，可以通过先验概率获得后验概率，而显然先验概率由大量实验或经验数据的统计获得。上一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征３.３.１随机变量及其分布函数的概念为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，有必要引入随机变量的概念。设Ｅ为随机试验，其样本空间Ω＝｛ｅ｝是基本事件的集合，若对每一个基本事件或样本点ｅ⊆Ω有一个实数Ｘ（ｅ）与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的单值实函数Ｘ（ｅ），称Ｘ（ｅ）为随机变量，简记为Ｘ。引入随机变量后，任何随机事件均可通过随机变量来表示。随机变量可通过分布函数进行表达。下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征设Ｘ是一个随机变量，ｘ是任意实数，函数Ｆ（ｘ）＝Ｐ｛Ｘ≤ｘ｝称为Ｘ的分布函数。对于任意实数ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２），有Ｐ｛ｘ１＜Ｘ≤ｘ２｝＝Ｐ｛Ｘ≤ｘ２｝－Ｐ｛Ｘ≤ｘ１｝＝Ｆ（ｘ２）－Ｆ（ｘ１）。若已知Ｘ的分布函数，就可以知道Ｘ落在区间（ｘ１，ｘ２）上的概率，从这个意义上来说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。分布函数是普通函数，正是通过它我们才能用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数具有以下三点性质：（１）分布函数是不减函数，对任意上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征概率密度函数具有以下性质：（３）对任意实数（４）若ｆ（ｘ）在ｘ点连续，则有ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）。随机变量一般分为离散型和连续型两种。上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征３.３.２离散型随机变量的概率分布当随机变量只能取有限个离散的值ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ时，则称为离散型随机变量。常见机器的故障数、产品的合格数和信号的采集数等，一般都是离散型随机变量。若一个随机变量Ｘ的可能取值为ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，它们出现的相应概率为Ｐ（ｘｉ）＝ｐｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），其统计规律可用概率分布表（见表３－１）和概率分布图描述。概率分布表有以下性质：上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征图３－４所示为离散型随机变量ｘｉ的概率分布与累积概率分布Ｆ（ｘｉ）的对应关系。３.３.３连续型随机变量的概率分布一个随机变量如果在某一给定范围内可取任意实数值，则称为连续型随机变量。连续型随机变量Ｘ的分布规律可以用概率密度函数ｆ（ｘ）和累积分布函数Ｆ（ｘ）表示。二者之间有如下关系：上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征连续型随机变量的概率分布如图３－５所示。３.３.４随机变量的数字特征上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征随机变量Ｘ的统计规律可用概率密度函数和累积分布函数来描述，但在实际问题中，有时并不知道随机变量的概率分布，这时可以根据试验数据找出随机变量的数字特征，来近似地表达随机变量的性质，从而达到简化问题的目的。在可靠性工程中常用的数字特征是数学期望（平均值）与方差，数学期望反映了随机变量取值的平均值，而方差则反映了全部随机变量值分布的离散程度。１.数学期望Ｅ（Ｘ）数学期望又称为均值μ，其反映了随机变量取值集中趋势的尺度。上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征离散型随机变量有如果随机变量Ｘ仅为有限个值ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，且在各个位置点出现的概率值均相同，则有连续性随机变量有

上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征数学期望的代数运算有以下公式：对两个独立变量ｘ，ｙ，有２.方差Ｄ（Ｘ）与标准差σ方差Ｄ（Ｘ）或Ｖ（Ｘ）或ｖａｒ（Ｘ）与标准差σ是随机变量的取值相对于平均值μ的分散程度的衡量尺度。上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征离散型随机变量有连续型随机变量有不论Ｘ是离散型还是连续型随机变量，都有一较简便的计算方法：

上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征离散型随机变量Ｘ的标准差σ可表达为标准差σ与方差Ｄ（Ｘ）的关系有方差的代数运算有如下公式：上一页下一页返回３.３随机变量的概率分布及其数字特征对两个独立的随机变量Ｘ，Ｙ，有上一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布３.４.１指数分布在可靠性工程中，指数分布是一种常用的分布。当产品失效率λ等于常数时，产品寿命Ｔ服从指数分布。若,则称Ｘ服从参数为λ＞０的指数分布，其分布函数为F(ｘ)＝若产品的失效概率密度为指数分布，则λ即代表其失效率，其寿命（可靠度）的函数为Ｒ(ｔ)＝ｅ－λｔ。指数分布只有一个分布参数，即失效率λ，且它是与时间无关的常数。下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布只要给出了失效率λ，可靠度函数便可完全确定。这个性质可以条件可靠度来解释，即故障的指数分布类型是一个非常有名且其他故障分布函数不具备的性质，即无记忆性。也就是说，部件发生故障前的时间与它已经工作了多长时间是没有关系的。部件工作过程中没有老化或耗损效应。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布部件接下来１０００ｈ内能够正常工作的概率与这个部件是否全新、是否已经工作了几百个小时，甚至是否已经工作了几千个小时没有关系，这个性质与故障过程完全随机且独立的本质是一致的。指数分布的数学期望（寿命）与方差分别为上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布３.４.２正态分布正态分布也称为高斯（Ｇａｕｓｓ）分布。正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。１.正态分布的一般公式正态分布的概率密度函数和累积分布函数分别为上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布正态分布是一种对称分布，可用Ｎ（μ，σ）表示，其中参数μ、σ分别称为位置参数和尺度参数，如图３－６所示。位置参数μ决定正态分布曲线的对称轴线在ｘ轴上的位置；尺度参数σ决定正态分布曲线的形状，表征随机变量ｘ分布的离散程度。正态分布的累积概率曲线如图３－７所示。２.标准正态分布当正态分布参数μ＝０，σ＝１时，称随机变量Ｘ服从标准正态分布，如图３－６中曲线①，记为Ｎ（０，１），其概率密度函数和累积分布函数分别为上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布标准正态分布的累积概率数值已列成标准正态分布表，见附表１。对于正态分布的非标准式情况，为了能利用标准正态分布表，可将其参数μ、σ进行转换，使非标准正态分布转化为标准正态分布。如在图３－８中，曲线②是非标准正态分布，现令Ｚ＝（ｘ－μ）／σ，则将纵坐标轴ｆ（ｘ）沿水平方向移至曲线②的对称轴线位置ｆ（Ｚ），再将ｘ轴的单位长度除以σ＝１.５，可得到由曲线②转化成的标准正态分布曲线③和标准化后的自变量Ｚ值。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布通过令Ｚ＝（ｘ－μ）／σ，并将其代入式（３－３４），得式（３－３６），表示为或正态分布的基本区间为（－∞，Ｚ），因此有如下公式：该式的意义如图３－９所示。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布对于寿命服从正态分布Ｎ（μ，σ）的产品，其可靠性特征量包括以下几个。（１）可靠度函数。（２）失效率函数。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布（３）平均寿命。（４）寿命方差。很多工程问题都可以用正态分布来描述，如加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命等都可看成或近似看成正态分布。由概率论的中心极限定理可知，当研究对象的概率是由许多互相独立的随机因素之和产生的，而其中每一个随机因素对于总和影响极小时，都可以把它们认为服从正态分布。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布但是，正态分布也有局限性，其分布是对称性的，且取值范围从－∞到，对于某些不能取负值的情况，可考虑用截尾正态分布或其他适合的分布解决。３.４.３对数正态分布１.对数正态分布的定义如果故障时间Ｔ服从对数正态分布，那么Ｔ的对数服从正态分布。推而广之，如果随机变量Ｘ的自然对数Ｙ＝ｌｎＸ服从正态分布Ｎ（μ，σ），则称Ｘ＝ｅＹ服从对数正态分布，而转化后的随机变量Ｙ服从正态分布。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布由于随机变量的取值ｘ总是大于零，又概率密度函数ｆ（ｘ）曲线随ｘ值的增加而在水平方向伸长，所以其不是对称分布函数，而是描述不对称随机变量的一种偏态分布，如图３－１０所示。由于通过对数变换可将较大的数缩小为较小的数，且越大的数缩小得越甚，这一特性可使较为分散的数据通过对数变换相对地集中起来，所以常把跨ｎ个量级的数据用对数正态分布去拟合。在机械零件及材料的疲劳寿命的研究中，对数正态分布应用较多。对数正态分布的表达式为上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布２.对数正态分布的概率密度函数和累积分布函数对数正态分布的概率密度函数为对数正态分布的累积分布函数为上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布对数正态分布同样可以进行标准化处理，令则式（３－４６）转化为标准正态分布，即３.对数正态分布的可靠性特征量若随机变量ｘ为表达产品的可靠度（寿命）ｔ时，具有以下可靠性特征量。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布（１）可靠度函数。（２）失效率函数。（３）平均寿命。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布或者如果已知对数正态分布的均值μ和标准差σ时，可以反推随机变量Ｙ的均值μｙ。（４）寿命方差。或者如果已知对数正态分布的均值μ和标准差σ时，可以反推随机变量Ｙ的方差σ２ｙ.一般而言，需要式（３－５２）和式（３－５４）联立进行求解。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布３.４.４威布尔分布威布尔分布是由瑞典人Ｗｅｉｂｕｌｌ构造的分布函数。威布尔分布在可靠性工程中应用广泛，它具有形态种类丰富的曲线，能够拟合工程领域中的许多现象。若随机变量Ｘ在［０，∞）上取值，具有概率密度函数则称Ｘ服从参数为（β，η，γ）的威布尔分布，记为Ｘ～Ｗ（β，η，γ），其中β是形状参数，η是尺度参数，γ是位置参数。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布三参数威布尔分布的分布函数为１.威布尔分布中各参数对概率密度函数曲线的影响分析１）形状参数β决定ｆ（ｘ）的形状形状参数β对形状和失效率的影响如图３－１１所示。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布（１）当β＜１时，λ（ｔ）随时间下降，类似于产品的早期失效期。（２）当β＝１时，λ（ｔ）等于常数，此时威布尔分布变成指数分布，可用来描述偶然失效过程。（３）当β＞１时，λ（ｔ）随时间上升，与损耗失效相符。（４）随着β的增大，ｆ（ｘ）逐渐趋于对称，当β＝３.３１３时，已极为接近正态分布的失效概率密度函数形状。可见，根据试验数据求得β值后，就可以大致判断产品的失效类型。２）位置参数γ决定ｆ（ｘ）的左右位置上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布位置参数γ对形状的影响如图３－１２所示。（１）当γ＜０时，曲线ｆ（ｘ）向左移动－γ，如γ＝－１，则曲线ｆ（ｘ）向左移动１，此时将与横坐标轴相交于－１。表示部分产品在开始工作之前（ｘ＝０）就已经失效，如电子产品在存储期间失效。（２）当γ＞０时，曲线ｆ（ｘ）向左移动γ，表示开始工作一段时间后产品才发生失效，在ｘ＜γ之前的时间内产品没有失效。（３）当γ＝０时，表示没有使用前所有产品都是好的，失效发生在产品投入使用后。显然，大部分机械产品都具有这种属性。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布３）尺度参数η决定ｆ（ｘ）的起伏程度尺度参数η对形状的影响如图３－１３所示，其影响了威布尔分布函数的起伏程度。根据对威布尔分布中３个函数的分析可知，调整各参数，即可方便地改变ｆ（ｘ）的形状，从而用于不同的分布状态，因此它是最灵活的一种经验分布函数。实际使用中，γ＝０情况居多，此时三参数威布尔分布转化为二参数威布尔分布，具有概率密度函数上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布特别地，当β＝１时，此时威布尔分布变为指数分布。２.威布尔分布的有关可靠性特征量１）三参数威布尔分布的有关可靠性特征量（１）可靠度函数。（２）失效率函数。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布（３）平均寿命。（４）寿命方差。２）二参数威布尔分布的有关可靠性特征量（１）可靠度函数。上一页下一页返回３.４可靠性研究中常用连续型概率分布（２）失效率函数。（３）平均寿命。（４）寿命方差。上一页返回３.５可靠性研究中常用离散型概率分布３.５.１二项分布在相同条件下，某一随机事件独立重复ｎ次试验，而每次试验只有两种不同的结果Ａ和，且试验中事件发生的概率不变

,这种重复试验的结果呈二项分布。实际上，在ｎ次试验中，随机事件Ａ出现的次数是一随机变量Ｘ，现假设ｎ次试验中Ａ出现的次数为ｒ，则这样的组合数有Ｃｒｎ，而每个组合发生的概率是ｐｒｑｎ－ｒ，所以事件发生ｒ次的概率为下一页返回３.５可靠性研究中常用离散型概率分布称该随机事件发生的概率服从二项分布，其累积分布函数为由累积分布函数的性质可知根据式（３－６７）和式（３－６８）可推导出二项分布的均值和标准差分别为上一页下一页返回３.５可靠性研究中常用离散型概率分布二项分布是离散型随机事件的一种分布，其适用于随机事件的结果只可能是两种互斥情况之一，如产品合格或不合格、事情成功或失败、零件可靠或不可靠、表决通过或不通过等。工程问题中此类情况很多，所以二项分布不仅可用于产品的可靠性抽样检验，还可用于可靠性试验等其他方面。在可靠性抽样统计或试验检验中，如果某随机事件的可靠度为Ｒ（ｔ）＝ｐ，不可靠度为Ｆ（ｔ）＝１－Ｒ（ｔ）＝ｑ，则式（３－６８）的形式为上一页下一页返回３.５可靠性研究中常用离散型概率分布３.５.２泊松分布在某些呈二项分布的随机事件中，如果试验次数ｎ很大（ｎ≥２０），而每次试验中事件Ａ发生的概率ｐ很小（ｐ≤０.０５），且在ｎ次大量试验中，事件Ａ发生次数的均值趋于常量μ，即Ｅ（Ｘ）＝ｌｉｍ（ｎｐ）＝μ，则有近似公式泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）分布的表达式为上一页下一页返回３.５可靠性研究中常用离散型概率分布泊松分布的累积分布函数为泊松分布的累积分布函数式中各项之和也等于１，与二项累积分布式的差别是后者的项数是有限的，ｎ为正整数；而泊松分布中则是ｎ为无穷大且ｐ为很小时的极限，因而它可多至无穷多项。在此类问题中，如果用二项分布计算则很烦琐，而用泊松分布公式将简化计算。泊松分布的均值和标准差分别为上一页下一页返回３.５可靠性研究中常用离散型概率分布实际中具有泊松分布特征的随机变量很多，如废品率的统计、铸件上的砂眼数、纺纱机上线的断头数、电话总机接到的呼叫数、电子仪器受到外界的干扰数等，这类随机现象的共同点是事件发生的概率与时间的起点无关，而只与统计时间的长短有关。上一页返回３.６随机变量概率运算常用方法机械零件强度可靠度的计算要以应力、材料强度的概率分布为依据，而应力、强度的分布需根据实际零件的物理几何参数和工作条件等多项因素决定，这些影响因素也是随机变量，所以需要进行随机变量分布的相关数学运算。但要通过已知随机变量的分布求其函数的分布是比较困难的，为了简化问题，在工程问题计算中可以只求该函数的均值和标准差的近似值。设有一个含多个随机变量的函数ｙ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ），若已知其中每一个随机变量ｘｉ的均值μｉ及标准差σｉ，则可以把这一函数综合成为一个随机变量，求出这个综合随机变量的均值μｙ及标准差σｙ。下一页返回３.６随机变量概率运算常用方法根据中心极限定理，如果每一随机变量的变异系数ｖ＝σ/μ＜０.１０，则综合后的函数可认为是正态分布。３.６.１矩阵（Ｔａｙｌｏｒ展开法）１.一维随机变量设ｙ＝ｆ（ｘ），在ｘ＝μ处展开，得到Ｔａｙｌｏｒ级数对式（３－７５）取数学期望，略去Ｅ（Ｒ），则有上一页下一页