北师大版七年级数学上册：多边形与圆的初步认识教学设计

北师大版七年级数学上册：多边形与圆的初步认识教学设计

一、课程整体分析

1.1课程内容定位与价值

本讲内容是北师大版七年级数学上册“基本平面图形”章节的核心组成部分，在初中几何学习中起着承前启后的关键作用。从知识脉络看，学生在小学阶段已经直观认识了三角形、四边形、圆等基本图形，积累了初步的图形感知经验；本讲则将认知从直观感知提升到抽象定义、要素分析和定量研究的层面，为后续学习三角形全等、四边形性质、圆的性质等系统性几何知识奠定坚实的定义基础、语言基础和思维基础。从数学思想方法看，本单元是学生系统接触“几何定义-性质-应用”研究范式的起点，蕴含了从具体到抽象、从特殊到一般、归纳猜想、数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法。

1.2学情分析

七年级学生（约12-13岁）的思维正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们的认知特点表现为：

1.优势：具备较强的直观观察能力和动手操作兴趣；对生活中的几何图形有丰富的感性认识；能够进行初步的归纳和类比推理。

2.挑战：抽象概括和严谨表述能力尚在发展中；对几何语言的规范性和精确性理解不深；从“数”形结合的角度定量分析图形性质的经验不足；对于“n边形”等一般化结论的归纳与理解可能存在困难。

因此，教学设计需充分创设从生活到数学、从直观到抽象、从特殊到一般的认知阶梯，通过丰富的操作、探究、讨论活动，引导学生在“做数学”中构建知识，发展思维。

1.3核心素养目标

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，本教学设计旨在发展学生以下核心素养：

1.抽象能力：能从具体实物中抽象出多边形和圆的几何图形，理解其数学定义（集合观点），并会用规范的几何语言进行描述。

2.推理意识：在探索多边形内角和、对角线公式、圆心角与扇形面积关系的过程中，经历观察、猜想、验证、归纳的推理过程，发展初步的逻辑推理能力。

3.几何直观与空间观念：通过画图、折叠、测量、构造等活动，增强对图形构成要素（顶点、边、角、对角线等）及其关系的直观感知与空间想象能力。

4.应用意识：理解多边形和圆的知识在建筑设计、艺术创作、工程制造等领域的广泛应用，能运用所学知识解决简单的实际问题。

5.创新意识：在探究和问题解决中鼓励多角度思考，尝试提出新的问题或解决方案。

1.4教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.多边形的定义、顶点、边、内角、对角线等概念。

2.3.多边形内角和公式的探索、证明与简单应用。

3.4.正多边形的概念与基本性质。

4.5.圆的定义（集合观点）及圆心、半径、直径、弧、扇形、圆心角等核心概念。

6.教学难点：

1.7.理解“多边形”定义中的“在同一平面内”、“不在同一直线上”、“首尾顺次相接”等关键条件。突破策略：通过反例辨析（如空间折线、未封闭图形、交叉图形）进行对比强化。

2.8.从具体多边形（三角形、四边形）的内角和归纳并理解n边形内角和公式(n-2)×180°

。突破策略：采用多种探究方法（如顶点分割法、一边上任一点分割法），将未知转化为已知（三角形），体验化归思想。

3.9.理解用“点的集合”定义圆的抽象性，以及扇形面积公式S=(nπr²)/360

（n为圆心角度数）与圆面积公式的内在联系。突破策略：通过动画演示点与圆的位置关系理解集合定义；通过将圆视为圆心角为360°的特殊扇形，实现公式的类比与推导。

1.5课时安排（共3课时）

1.第1课时：多边形的世界——概念、要素与内角和

2.第2课时：探究正多边形与奇妙的对角线

3.第3课时：走进圆的世界——核心概念与扇形

二、分课时教学设计

第1课时：多边形的世界——概念、要素与内角和

2.1.1教学目标

1.知识与技能：

1.2.能准确叙述多边形的定义，识别多边形的边、顶点、内角。

2.3.能根据多边形内角和公式(n-2)×180°

计算任意多边形的内角和，或已知内角和求边数。

4.过程与方法：

1.5.经历从实际背景中抽象出多边形概念的过程，发展几何抽象能力。

2.6.通过动手操作、小组合作，探索多边形内角和的规律，体验从特殊到一般、化归的数学思想方法。

7.情感态度与价值观：

1.8.感受多边形在自然与人文生活中的广泛应用，体会数学的实用价值与形式美。

2.9.在探究活动中培养合作交流意识和严谨求实的科学态度。

2.1.2教学准备

1.教师：多媒体课件（含生活图片、几何画板动态演示）、实物模型（蜂巢切片、地砖、多边形框）、探究学习单。

2.学生：三角板、量角器、剪刀、不同颜色的笔、若干三角形和四边形的纸片。

2.1.3教学过程

一、情境导入，抽象概念（约10分钟）

1.视觉感知：大屏幕展示一组图片：蜜蜂的蜂巢（正六边形）、足球表面（五边形和六边形拼接）、古建筑窗格（多边形图案）、家庭装修的地砖。

2.问题引导：

1.3.“这些图片中，有哪些你熟悉的图形？”

2.4.“除了三角形、四边形，还有哪些由线段构成的封闭图形？”

3.5.“你能用自己的语言描述一下这类图形的共同特征吗？”

6.定义建构：

1.7.学生尝试描述，教师引导关键词：“线段”、“封闭”、“在同一平面内”。

2.8.教师给出严谨的数学定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

3.9.概念辨析（关键环节）：利用几何画板动态演示以下图形，请学生判断是否为多边形，并说明理由。

1.4.10.图形A：未封闭的折线。（不是，未封闭）

2.5.11.图形B：有两条线段交叉的图形。（不是，非首尾顺次相接）

3.6.12.图形C：立体图形的一个面。（是，符合定义）

4.7.13.图形D：所有顶点都在一条直线上的图形。（不是，顶点需不在同一直线上）

8.14.介绍多边形的命名：通常以边数命名，如三角形、四边形、五边形……n边形。

9.15.认识多边形的基本要素：边、顶点、内角。以五边形为例，指认并规范表述（如“边AB”、“顶点C”、“内角∠DEF”）。

二、操作探究，发现规律（约20分钟）

1.任务驱动：分发探究学习单，提出核心问题：“多边形的内角和有什么规律？能否找到一个通用公式？”

2.探究活动一：从已知出发（三角形、四边形）

1.3.回忆：三角形的内角和是180°

。

2.4.验证与思考：请学生用量角器测量手中四边形纸片的四个内角并求和。猜想四边形内角和。教师引导：“如何将四边形转化为三角形来证明你的猜想？”学生可能想到连接一条对角线，将四边形分成两个三角形，从而得出内角和为2×180°=360°

。

5.探究活动二：探索五边形、六边形

1.6.小组合作：画出一个五边形和一个六边形。尝试用类似“分割为三角形”的方法，探索它们的内角和。

2.7.方法分享与汇总：教师巡视，收集不同的分割方法（如从一个顶点出发画对角线、在图形内部任取一点连接各顶点）。请小组代表上台展示并说明。

3.8.以“从同一顶点出发画对角线”这一普适性较强的方法为例进行引导：

1.4.9.五边形：从一个顶点可画5-3=2

条对角线，分成3

个三角形。内角和=3×180°

。

2.5.10.六边形：从一个顶点可画6-3=3

条对角线，分成4

个三角形。内角和=4×180°

。

11.归纳猜想，形成公式

1.12.引导学生填写表格：

多边形边数(n)

3

4

5

6

…

n

分割出的三角形个数

1

2

3

4

…

?

内角和

180°

360°

540°

720°

…

?

2.13.观察规律：三角形个数=n-2。内角和=(n-2)×180°。

3.14.得出公式：n边形内角和公式：(n-2)×180°

。

4.15.简要说明：从n边形的一个顶点出发，可以引出(n-3)条对角线，将原多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故得此公式。

三、深化理解，初步应用（约10分钟）

1.公式的直接应用（口答）：

1.2.八边形的内角和是多少？((8-2)×180°=1080°

)

2.3.一个多边形的内角和是1260°

，它是几边形？（解方程(n-2)×180=1260

，得n=9

）

4.辨析与巩固：

1.5.“一个四边形的四个内角能否都是锐角？为什么？”（不能，四边形内角和为360°

，若四个角都小于90°

，则和小于360°

。）

2.6.“一个多边形的每个内角都是150°

，求它的边数。”（先求每个外角为30°

，而多边形外角和恒为360°

，故边数为360÷30=12

。此处为后续外角和知识做铺垫。）

7.思维延伸（选讲）：

1.8.除了从一个顶点分割，还有其他方法推导内角和公式吗？（如在多边形一边上任取一点连接各顶点，分成n-1

个三角形，再减去一个平角180°

，同样得到(n-1)×180°-180°=(n-2)×180°

。）

四、课堂小结与作业布置（约5分钟）

1.小结：引导学生从“学到了什么知识”（多边形定义、要素、内角和公式）和“体会了什么方法”（从特殊到一般、化归、数形结合）两方面进行总结。

2.作业：

1.3.基础题：教材对应练习题，巩固多边形定义和内角和计算。

2.4.探究题：（1）寻找生活中三种不同的多边形应用实例，并拍照或画图记录。（2）尝试用不同于课堂的方法（如在多边形内任取一点），推导n边形内角和公式。

第2课时：探究正多边形与奇妙的对角线

2.2.1教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解正多边形的定义，知道正多边形的各边相等、各角相等。

2.3.掌握多边形对角线的概念，能推导并应用n边形对角线条数公式n(n-3)/2

。

3.4.能计算正多边形的每一个内角和外角的度数。

5.过程与方法：

1.6.通过测量、比较、归纳，从一般多边形中抽象出正多边形的本质特征。

2.7.在探究对角线公式的过程中，进一步强化从特殊到一般的归纳思维和有条理的计数能力。

8.情感态度与价值观：

1.9.欣赏正多边形蕴含的对称美、和谐美，感受数学与艺术、自然的深刻联系。

2.10.在公式推导中体会数学的严谨性与简洁性。

2.2.2教学准备

1.教师：正多边形地砖或图案模型、蜂巢结构图、几何画板（演示对角线连接）。

2.学生：圆规、直尺、量角器、画有不同多边形的作业纸。

2.2.3教学过程

一、复习引入，聚焦特殊（约8分钟）

1.复习提问：

1.2.多边形的定义和内角和公式是什么？

2.3.已知一个十二边形的内角和，求其每一个内角的度数？（预设：学生可能犹豫，引出需要更多条件。）

4.情境导入：

1.5.再次展示蜂巢图片和标准地砖图片。“观察这些图形中的多边形，它们在边和角上有什么特别之处？”（引导学生说出“边都一样长”、“角都一样大”）

2.6.引出课题：这种特殊而完美的多边形，就是正多边形。

二、概念建构，性质探究（约15分钟）

1.正多边形的定义：

1.2.学生尝试用自己的语言描述。

2.3.教师给出精确定义：各边都相等，各内角都相等的多边形叫做正多边形。

3.4.强调定义的双重条件，缺一不可。反例：菱形（各边相等，但角不一定相等）；矩形（各角相等，但边不一定相等）。

5.认识常见的正多边形：

1.6.展示正三角形（等边三角形）、正方形、正五边形、正六边形、正八边形的标准图形。

2.7.学生活动：用圆规和直尺尝试画一个正六边形（简单介绍利用圆周六等分的方法）。

8.正多边形内角与外角的计算：

1.9.结合上节课知识，推导公式：

1.2.10.正n边形每个内角的度数=[(n-2)×180°]/n

。

2.3.11.正n边形每个外角的度数=360°/n

。（解释外角和恒为360°

，为下一课铺垫）

4.12.应用计算：

1.5.13.正五边形的每个内角是多少？(108°

)

2.6.14.正十边形的每个外角是多少？(36°

)

3.7.15.一个正多边形的每个外角是45°

，它是正几边形？(360÷45=8

，正八边形)

三、探索“隐藏的线段”——对角线（约15分钟）

1.概念引入：

1.2.在四边形中，我们连接不相邻的顶点得到了对角线。那么在五边形、六边形中呢？

2.3.定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

3.4.教师用几何画板在五边形上演示所有对角线。

5.探究活动：n边形有多少条对角线？

1.6.任务：分组探究四边形、五边形、六边形、七边形的对角线的总条数。要求有条理地画出并计数，避免重复或遗漏。

2.7.方法与发现：

1.3.8.学生可能直接画图数数。

2.4.9.教师引导更有序的思考：从一个顶点出发，能画几条对角线？以五边形顶点A为例：不能与自己连，不能与相邻两点（B,E）连，所以能向5-3=2

个点（C,D）画对角线。一个顶点引出(n-3)

条。

3.5.10.n个顶点共引出n(n-3)

条。但每条对角线被计算了两次（例如AC，从A点计算了一次，从C点也计算了一次）。所以：

4.6.11.n边形对角线条数公式：D=n(n-3)/2

。

7.12.验证与应用：

1.8.13.代入n=4

(四边形)：4×(4-3)/2=2

，正确。

2.9.14.代入n=5

(五边形)：5×(5-3)/2=5

，正确。

3.10.15.计算十边形的对角线总数。(10×(10-3)/2=35

条)

四、综合应用，感受魅力（约10分钟）

1.数学与艺术：展示埃舍尔的镶嵌画、伊斯兰几何图案，分析其中正多边形（及其组合）的运用。

2.问题解决：

1.3.“一个多边形共有9条对角线，它是几边形？”（解方程n(n-3)/2=9

，得n=6

，六边形。）

2.4.“已知一个正多边形的每个内角比相邻外角大100°

，求这个正多边形的边数。”（设外角为x°，则内角为x+100

，内角+外角=180°

，解得x=40

。边数n=360/40=9

。）

5.思维挑战：

1.6.“正多边形一定是凸多边形吗？”（我们现阶段研究的正多边形默认是凸的。）

2.7.“五角星是多边形吗？它的边和角有什么特点？”（是星形多边形，为后续学习拓展视野。）

五、小结与作业（约2分钟）

1.小结：正多边形的“完美”特性（边等、角等）及其角度计算；对角线公式的推导中体现的有序计数思想。

2.作业：

1.3.基础题：完成正多边形角度计算和对角线条数计算的练习题。

2.4.实践题：（1）用正三角形、正方形、正六边形纸片尝试进行平面镶嵌（密铺），看看哪些可以单独密铺，并思考原因。（2）调查正多边形在一种标志设计（如汽车标志、机构徽章）中的应用。

第3课时：走进圆的世界——核心概念与扇形

2.3.1教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解圆的描述性定义和集合定义，识别圆心、半径、直径、弧、扇形、圆心角等核心概念。

2.3.能计算圆的周长和面积，并能推导并应用扇形面积公式S=(nπr²)/360

（n为圆心角度数）。

4.过程与方法：

1.5.通过对比小学所学，深化对圆的数学本质的理解，提升几何抽象水平。

2.6.在探索扇形面积公式的过程中，理解部分与整体的关系，掌握类比和比例的思想方法。

7.情感态度与价值观：

1.8.感受圆的完美与广泛应用，体会数学定义的力量。

2.9.激发探索曲线图形奥秘的兴趣。

2.3.2教学准备

1.教师：多媒体课件（含圆的形成动画、生活中的圆）、圆形纸片、剪刀、圆规。

2.学生：圆规、直尺、量角器、圆形纸片（最好不同颜色）、剪刀。

2.3.3教学过程

一、唤醒经验，再识圆（约10分钟）

1.无处不在的圆：播放短片或图片集，展示自然（太阳、车轮、涟漪）、科技（齿轮、镜头）、人文（圆桌、拱桥、圆窗）中的圆。

2.回顾与提问：

1.3.“小学我们是怎么认识圆的？”（用圆规画圆，圆心O，半径r，直径d=2r，周长C=2πr，面积S=πr²。）

2.4.“圆和之前学的多边形有什么本质区别？”（圆是曲线图形，多边形是直线段图形。）

5.揭示新视角——集合定义：

1.6.教师演示：一根绳子一端固定（圆心），另一端系粉笔并拉直旋转一周（半径），画出圆。

2.7.提问：这个作图过程揭示了圆的什么本质特征？

3.8.引导得出：圆上每一个点到固定点的距离都等于绳子的长度。

4.9.给出集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

5.10.介绍圆的内部、外部。用几何画板动态演示一个动点，当其到圆心距离=r

、<r

、>r

时，分别位于圆上、圆内、圆外。

二、解剖圆，认识新元素（约15分钟）

1.圆的“骨架”：复习圆心(O)、半径(OA)、直径(BC)及其关系d=2r

。

2.圆的“片段”——弧：

1.3.在圆上标出两点A、B。圆上A、B两点间的部分叫做圆弧，简称弧，记作“弧AB”或“\widehat{AB}

”。

2.4.介绍优弧（大于半圆）和劣弧（小于半圆），通常不加说明指的是劣弧。

3.5.介绍半圆是弧的特殊情况。

6.圆的“扇形”——扇形：

1.7.教师剪下圆形纸片的一个“扇子形”部分。

2.8.定义：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。

3.9.直观感知：扇形是圆的一部分。

10.扇形的“角度”——圆心角：

1.11.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2.12.指出：扇形中两条半径的夹角就是该扇形的圆心角。

3.13.学生活动：在自己准备的圆形纸片上，画一个圆心角为60°

、90°

、120°

的扇形，并剪下来。

三、探究扇形面积（约15分钟）

1.问题提出：我们已经知道圆的面积公式S_圆=πr²

。那么，如何求其中一部分——扇形的面积呢？

2.探究引导：

1.3.观察你剪下的圆心角为90°

的扇形，它占整个圆的几分之几？(90/360=1/4

)

2.4.那么它的面积应该是圆面积的几分之几？(S_扇形=(1/4)πr²

)

3.5.推广：如果圆心角是n°

，那么这个扇形占整个圆的n/360

。

6.公式推导：

1.7.师生共同得出：扇形的面积公式：S_扇形=(n/360)×πr²

。其中n

是圆心角的度数，r

是半径。

2.8.另一种理解：把圆看作一个圆心角为360°

的超级扇形，其面积是(360/360)πr²=πr²

。一般扇形与之成比例。

3.9.变形公式：如果已知扇形的弧长l

（下节课内容），因为l=(n/360)×2πr

，代入面积公式可得S_扇形=(1/2)lr

（此公式作为拓展了解）。

10.应用练习：

1.11.(1)半径为6cm

，圆心角为60°

的扇形面积是多少？((60/360)×π×6²=6πcm²

)

2.12.(2)一个扇形的面积是它所在圆面积的1/5

，这个扇形的圆心角是多少度？((n/360)=1/5

，n=72°

)

3.13.(3)已知扇形半径为10cm

，面积为25πcm²

，求圆心角度数。(解方程(n/360)×π×10²=25π

，得n=90

)

四、文化渗透与综合应用（约8分钟）

1.圆的文化：讲述“圆，一中同长也”（墨子）的古代定义，与集合定义对比，体会数学思想的传承与发展。

2.综合问题：

1.3.“一个钟面的分针长10cm

。从2:00

到2:15

，分针扫过的区域是什么图形？它的面积是多少？”（扇形，圆心角90°

，面积(90/360)×π×10²=25πcm²

）。

2.4.“一张圆形餐桌，半径为0.8米

，上面放着一个同样半径的圆形转盘。求餐桌上没有被转盘盖住的部分（一个圆环）的面积。”（S_环=π×0.8²-π×0.8²=0

？此题需调整数据，如转盘半径0.6米

，则为π(0.8²-0.6²)=0.28πm²

。此题为圆环面积，是圆面积的延伸。）

五、课堂总结与作业布置（约2分钟）

1.总结：从“一条封闭曲线”到“点的集合”，我们对圆的认识更加深刻。通过引入弧、扇形、圆心角等元素，我们学会了研究圆的一部分。

2.作业：

1.3.基础题：教材练习，识别圆的要素，计算扇形面积。

2.4.设计题：利用圆、扇形、正多边形等元素，设计一个简单的图案（如徽标、窗花草图），并注明其中用到的主要几何图形和尺寸关系。

3.5.预习任务：思考如何测量一条弧的长度？它和圆的周长有什么关系？

三、教学评价设计

3.1过程性评价

1.课堂观察：记录学生在概念辨析、探究活动、小组讨论中的参与度、思维逻辑和语言表达的严谨性。重点关注：能否准确描述定义的关键词；探究方法是否具有条理性；能否清晰地解释自己的推理过程。

2.探究学习单：通过检查学生填写的表格、画出的图形、归纳的公式，评价其观察、操作、归纳的能力。

3.思维导图/概念图：在单元学习结束后，让学生绘制关于“多边形与圆”的概念图，评估其知识结构化、网络化的水平。

3.2纸笔测试评价（示例）

设计分层练习题，涵盖识记、理解、应用、综合与探究各层次。

1.基础层次：识别图形要素、直接代入公式计算（内角和、对角线、扇形面积）。

2.理解层次：判断说理（