《机械工程测试技术》-第2章

第２章信号分析基础２.１信号的分类与描述２.２周期信号与离散频谱２.３非周期信号与连续频谱２.４随机信号返回２.１信号的分类与描述２.１.１信号的分类信号是反映被测对象状态或特性的某种物理量。根据信号所具有的时间函数特性分类，信号主要分为确定性信号与随机信号、连续信号与离散信号等。１.确定性信号与随机信号确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信号，根据确定性信号的波形是否有规律地重复又可进一步分为周期信号和非周期信号两种。下一页返回２.１信号的分类与描述(１)周期信号。定义在(－∞，＋∞)区间，每隔一定时间Ｔ(或整数Ｎ)，按相同规律重复变化的信号，它满足满足上述关系的最小时间Ｔ称为该信号的周期。最简单的周期信号即简谐周期信号，按正弦或余弦规律变化且具有单一的频率。正弦函数的时间函数表达式为当三个参数Ａ、Ｔ、φ均已知时，正弦信号ｘ(ｔ)在任意时刻的数值就可以完全确定。上一页下一页返回２.１信号的分类与描述两个周期信号ｘ(ｔ)、ｙ(ｔ)的周期分别为Ｔ１和Ｔ２，若其周期之比Ｔ１/Ｔ２为有理数，则其和信号ｘ(ｔ)＋ｙ(ｔ)仍然是周期信号，其周期为Ｔ１和Ｔ２的最小公倍数，否则为非周期信号。(２)非周期信号。不具有周期重复性的信号。非周期信号包括准周期信号和瞬态信号两类。①准周期信号是由有限个简谐周期信号合成的，但其中各简谐分量之间无法找到公共周期，因而不能按基本周期重复出现。②瞬态信号是指或者在一定时间区域内存在，或者随时间的增加而衰减至零的信号。它们的共同特点是过程突然发生、时间极短、能量很大。上一页下一页返回２.１信号的分类与描述随机信号是非确定信号，不具有重复性，任何一次测量的结果只代表可能结果之一，但其值变动仍需要服从某个统计规律，因此可以用概率统计的方法描述随机信号。对随机信号所做的各次长时间观测记录称为样本函数，全部样本函数的集合就是随机过程。判断一个信号是确定性信号还是随机信号，通常是以通过实验能否重复产生该信号为依据。在相同的条件下，如果一个实验重复多次，在一定的误差范围内得到的信号相同，则可以认为该信号是确定性信号，否则为随机信号。上一页下一页返回２.１信号的分类与描述２.连续信号与离散信号在信号的时间函数表达式中，按信号的取值时间是否连续，将信号分为连续信号和离散信号。(１)连续信号。在一定时间间隔内，对任意时间值，除若干个不连续点(第一类间断点)外，都可给出确定的函数值，即时间变量ｔ是连续的，此类信号称为连续信号。例如，正弦信号、直流信号、阶跃信号、锯齿波、矩形脉冲信号等都属于连续信号。连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，若时间变量和幅值均为连续的信号，则称为模拟信号。上一页下一页返回２.１信号的分类与描述(２)离散信号。在一定的时间间隔内，只在时间轴的某些离散点给出函数值，此类信号称为离散信号。离散信号又可分为采样信号和数字信号两种。时间离散而幅值连续的信号称为采样信号；时间离散且幅值离散(量化)的信号称为数字信号。２.１.２信号的描述信号分析就是采用各种物理的或数学的方法提取有用信息的过程，而信号的描述方法提供了对信号进行各种不同变量域的数学描述，表征了信号的数据特征，它是信号分析的基础。通常以四个变量域描述信号，即时间域(简称时域)、频率域(简称频域)、幅值域和时延域。上一页下一页返回２.１信号的分类与描述(１)以时间作为自变量的信号表达，称为信号的时域描述。时域描述是信号最直接的描述方法，它反映了信号的幅值随时间变化的过程，从时域描述图形中可以知道信号的时域特征参数，即周期、峰值、均值、方差、均方值等。它们反映了信号变化的快慢和波动情况，因此时域描述比较直观、形象、便于观察和记录。(２)以信号的频率作为自变量的信号表达，称为信号的频域描述。频域描述可以揭示信号的频率结构，即组成信号的各频率分量的幅值、相位与频率的对应关系，因此在动态测试技术中得到广泛应用。上一页下一页返回２.１信号的分类与描述(３)信号的幅值域描述是以信号幅值为自变量的信号表达方式，它反映了信号中不同强度幅值的分布情况，常用于随机信号的统计分析。由于随机信号的幅值具有随机性，所以通常用概率密度函数描述，概率密度函数反映信号幅值在某一个范围内出现的概率，提供了随机信号沿幅值域分布的信息，它是随机信号的主要特征参数之一。(４)以时间和频率的联合函数同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，称为信号的时延域描述。它是非平稳随机信号分析的有效工具，可以同时反映其时间和频率信息，揭示非平稳随机信号所代表的被测物理量的本质，常用于图像处理、语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。上一页下一页返回２.１信号的分类与描述信号的各种描述方法是从不同的角度观察和描述同一个信号，但不改变信号的实质。它们之间可通过一定的数学关系进行转换。例如，傅里叶变换可以将信号描述从时域转换到频域，而傅里叶反变换可以从频域转换到时域。上一页返回２.２周期信号与离散频谱２.２.１傅里叶级数与周期信号的分解１.傅里叶级数的三角函数展开式从数学分析已知，任意周期信号ｆ(ｔ)在有限区间(ｔ，ｔ＋Ｔ)上满足狄里赫利条件时，即信号在定义周期[０，Ｔ]内单调连续或只有有限个第一类间断点、在此定义周期内有有限个极值点、ｆ(ｔ)绝对可积，则信号ｆ(ｔ)可以展开成傅里叶级数，即下一页返回２.２周期信号与离散频谱将式(２－３)中同频率项合并，可写为由式(２－４)中Ａｎ与φｎ的定义可知，Ａｎ是ｎ的偶函数，φｎ是ｎ的奇函数。式(２－４)表明，周期信号可分解为直流分量和许多余弦分量。Ａ０/２为直流分量；

称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同；Ａ２ｃｏｓ(２Ωｔ＋φ２

)称为二次谐波，其频率是基波的２倍。一般地，Ａｎｃｏｓ(ｎΩｔ＋φｎ

)称为ｎ次谐波。上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱２.傅里叶级数的复指数函数展开式根据欧拉公式，有将式(２－５)带入式(２－４)，可得上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱将式(２－６)等号右边的第二项中的ｎ用－ｎ代换，并考虑到Ａｎ是ｎ的偶函数，即Ａ－ｎ＝Ａｎ；φｎ是ｎ的奇函数，即φ－ｎ＝－φｎ，则式(２－６)可写为如将式(２－７)中的Ａ０写成Ａ０ｅｊφ０ｅｊ０Ωｔ(其中φ０＝０)，则式(２－７)可写为上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱令复数量，称为复傅里叶系数，简称傅里叶系数，其模为Ｆｎ，相角为φｎ，则得傅里叶级数的指数形式为傅里叶系数为或上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱这就是求指数形式傅里叶级数的傅里叶系数Ｆｎ的公式。任意周期信号ｆ(ｔ)可分解为许多不同频率的虚指数信号(ｅｊｎΩｔ)之和，其各分量的复数幅度(或相量)为Ｆｎ。表２－１综合了三角函数形式傅里叶级数和指数形式傅里叶级数及其系数，以及各系数间的关系。２.２.２周期信号的频谱１.周期信号的频谱如上所述，周期信号可以分解成一系列正弦信号或虚指数信号之和，即上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱或式中:。为了直观地表现出信号所含各分量的振幅，以频率(或角频率)为横坐标，以各谐波的振幅Ａｎ或虚指数函数的幅度为纵坐标，可画出如图２－１(ａ)和(ｂ)所示的曲线图，称为幅度(振幅)频谱，简称为幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。连接各谱线顶点的曲线(如图中虚线所示)称为包络线，它反映了各分量幅度随频率变化的情况。类似地，也可画出各谐波初相角φｎ与频率(或角频率)的曲线图，如图２－１(ｃ)和(ｄ)所示，称为相位频谱，简称相位谱。由图２－１可见，周期信号的谱线只出现在频率为０、１Ω、２Ω、……等离散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。下面以周期性矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特点。上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱２.周期矩形脉冲的频谱设有一个幅度为１、脉冲宽度为τ的周期矩形脉冲，其周期为Ｔ，如图２－２所示。

根据式(２－１０)，可以求得其复傅里叶系数为考虑到，式(２－１３)也可以写为上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱令为取样函数，它是偶函数，当ｘ→０时，Ｓａ(ｘ)＝１。考虑到，式(２－１４)可以写为根据式(２－１２)可写出该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式，即上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱Ｔ＝５τ的周期性矩形脉冲的频谱如图２－３所示。由以上分析可知，周期性矩形脉冲信号的频谱具有一般周期信号频谱的共同特点，它们的频谱都是离散的。周期性矩形脉冲信号的频谱仅含有ω＝ｎΩ的各分量，其相邻两谱线的间隔是脉冲周期Ｔ越长，谱线间隔越小，频谱越稠密；反之，则越稀疏。对于周期性矩形脉冲而言，其各谱线的幅度按包络线的规律变化。在(ｍ＝±１，±２，……)各处，即各处，包络为零，其相应的谱线，即相应的频率分量也等于零。上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱周期性矩形脉冲信号包含无限条谱线，也就是说，它可分解为无限个频率分量。实际上，由于各分量的幅度随频率增高而减小，其信号能量主要集中在第一个零点以内。在允许一定失真的条件下，只需要传送频率较低的那些分量就够了。通常把这段频率范围称为周期性矩形脉冲信号的频带宽度或信号的带宽，用符号ΔＦ表示，即周期性矩形脉冲信号的频带宽度(带宽)为。３.周期信号频谱的特点(１)离散性。周期信号的频谱由不连续的谱线组成，每条谱线代表一个谐波分量。上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱(２)谐波性。频谱中每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是各分量频率的公约数。(３)收敛性。各频率分量的谱线高度表示各次谐波分量的幅值或相位角。工程上常见的周期信号其谐波幅值总的趋势是随着谐波次数的增高而减小的。２.２.３周期信号的功率周期信号是功率信号，为了方便起见，研究周期信号在１Ω电阻上消耗的平均功率，称为归一化平均功率。如果周期信号ｆ(ｔ)是实函数，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率都为上一页下一页返回２.２周期信号与离散频谱将ｆ(ｔ)的傅里叶级数展开式代入式(２－１７)，可得将式(２－１８)被积函数展开，在展开式中具有ｃｏｓ(ｎΩｔ＋φｎ

)形式的余弦项，其在一个周期内的积分等于零；具有Ａｎｃｏｓ(ｎΩｔ＋φｎ

)Ａｍｃｏｓ(ｍΩｔ＋φｍ

)形式的项，当ｍ≠ｎ时，其积分值为零；对于ｍ＝ｎ的项，其积分值为ＴＡ２ｎ/２，因此，式(２－１８)的积分为式(２－１９)和式(２－２０)称为帕斯瓦尔恒等式，它表明，对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。上一页返回２.３非周期信号与连续频谱非周期信号包括准周期信号和瞬态信号两种，其频谱各有独自的特点:周期信号的频谱具有离散性，各谐波分量的频率具有一个公约数———基频。但几个简谐具有离散频谱的信号不一定是周期信号。只有各简谐成分的频率比是有理数，它们才能在某个时间间隔后周而复始，合成的信号才是周期信号。若各简谐信号的频率比不是有理数，合成信号就不是周期信号，而是准周期信号。因此准周期信号具有离散频谱，例如，多个独立激振源激励起某对象的振动往往是这类信号。对于瞬态信号，不能直接用傅里叶级数展开，而必须应用傅里叶变换的数学方法进行分解(图２－５)。下一页返回２.３非周期信号与连续频谱２.３.１傅里叶变换当周期Ｔ趋于无穷大时(Ｔ→∞)，相邻谱线的间隔Ω趋于无穷小(Ω→－∞)，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。称Ｆ(ｊω)为频谱密度函数。上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱由周期信号ｆ(ｔ)的傅里叶级数的复指数函数展开式(其中Ｆｎ＝，可得和考虑到当周期Ｔ→∞时，Ω趋于无穷小，取其为ｄω，而２π(ｄω是变量)；当Ω≠０时，它是离散值；当Ω趋于无穷小时，它就成为连续变量，取为ω，同时求和符号应改写为积分。上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱于是当Ｔ→∞时，式(２－２２)和式(２－２３)可写为式(２－２４)称为函数ｆ(ｔ)的傅里叶变换(积分)；式(２－２５)称为函数Ｆ(ｊω)的傅里叶反变换(或逆变换)。Ｆ(ｊω)称为ｆ(ｔ)的频谱密度函数或频谱函数；ｆ(ｔ)称为Ｆ(ｊω)的原函数。ｆ(ｔ)与Ｆ(ｊω)的对应关系还可简记为上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱如果上述变换中的自变量不用角频率ω而用频率ｆ，则由于ω＝２πｆ，式(２－２４)和式(２－２５)可写为这时傅里叶变换与傅里叶反变换有很相似的形式。频谱密度函数Ｆ(ｊω)是一个复函数，可以写为上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱式(２－２５)也可写成三角函数形式:由于式(２－２９)等号右边的第二个积分中的被积函数是ω的奇函数，故积分值为零；而第一个积分中的被积函数是ω的偶函数，故有式(２－３０)表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦分量所组成的，它包含了频率０~∞的一切频率“分量”。上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱由式(２－３０)可见，相当于各“分量”的振幅，它是无穷小量。所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函数表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数Ｆ(ｊω)可看作是单位频率的振幅，函数Ｆ(ｊω)称为频谱密度函数。需要说明的是，前面在推导傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。数学证明指出，函数ｆ(ｔ)的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内ｆ(ｔ)绝对可积，即但它并非必要条件。当引入广义函数的概念后，许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱综上所述，非周期信号频谱有以下特点:(１)非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、余弦分量之和，但它包含了０~∞的所有频率分量。(２)非周期信号的频谱是连续的。(３)非周期信号的频谱由频谱密度函数描述，表示单位频宽上的幅值和相位(单位频宽内所包含的能量)。(４)非周期信号频域描述的数学基础是傅里叶变换。上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱２.３.２傅里叶变换的基本性质１.线性若ｆ１(ｔ)↔Ｆ１(ｊω)，ｆ２(ｔ)↔Ｆ２(ｊω)，则对应两个任意常数ａ１和ａ２，有ａ１ｆ１(ｔ)＋ａ２ｆ２(ｔ)↔ａ１Ｆ１(ｊω)＋ａ２Ｆ２(ｊω)。线性性质有两个含义:①齐次性:表明时域信号增大ａ倍时，其频域信号的频谱密度函数也增大ａ倍；②可加性:几个时域信号合成后的频谱密度函数，等于各个信号频谱密度函数之和。２.对称性若ｆ(ｔ)↔Ｆ(ｊω)，则Ｆ(ｊｔ)↔２πｆ(－ω)。对称性表明:若偶函数ｆ(ｔ)的频谱密度函数为Ｆ(ｊω)，则与Ｆ(ｊω)波形相同的时域函数的频谱密度函数与原信号Ｆ(ｊｔ)有相似的波形。上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱３.时移特性若ｆ(ｔ)↔Ｆ(ｊω)，且ｔ０为常数，则有ｆ(ｔ±ｔ０)↔ｅ±ｊωｔ０Ｆ(ｊω)时移特性表明:时域信号沿时间轴右平移(延迟)时间ｔ０，则在频域中所有频率分量相位落后相位ωｔ０，而其幅度保持不变。４.频移特性若ｆ(ｔ)↔Ｆ(ｊω)，且ω０为常数，则ｆ(ｔ)ｅ±ｊω０ｔ↔Ｆ[ｊ(ω∓ω０)]。频移特性表明:若时域信号ｆ(ｔ)乘以因子ｅｊω０ｔ，则对应在频域中将函数频谱沿ω轴右移ω０；若时域信号ｆ(ｔ)乘以因子ｅ－ｊω０ｔ，则对应在频域中将函数频谱沿ω轴左移ω０频谱。这种频移过程，在电子技术中就是调幅过程。上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱５.时间尺度特性若ｆ(ｔ)↔Ｆ(ｊω)，则对于实常数ａ(ａ≠０)，有时间尺度特性表明:信号ｆ(ｔ)在时域中沿时间轴压缩ａ倍(ａ>１)，则在频域中频谱密度函数的频带加宽ａ倍，而幅值压缩１/ａ倍；反之，信号在时域中扩展时(ａ<１)，在频域中将引起频带变窄，但幅值增高。６.积分和微分特性若ｆ(ｔ)↔Ｆ(ｊω)，微分特性:ｆ(ｎ)(ｔ)↔(ｊω)ｎＦ(ｊω)；积分特性:ｆ(－１)(ｔ)↔πＦ(０)δ(ω)＋Ｆ(ｊω)/ｊω。微分和积分特性表明:在频域中对频谱密度函数乘以ｊω或１/ｊω，相当于时域对原函数ｆ(ｔ)进行微分或积分运算。上一页下一页返回２.３非周期信号与连续频谱７.卷积特性若ｆ１(ｔ)↔Ｆ１(ｊω)，ｆ２(ｔ)↔Ｆ２(ｊω)，则ｆ１(ｔ)∗ｆ２(ｔ)↔Ｆ１(ｊω)·Ｆ２(ｊω)(时域卷积特性)，ｆ１(ｔ)

·ｆ２(ｔ)↔１/２πＦ１(ｊω)∗Ｆ２(ｊω)(频域卷积特性)，其中Ｆ１(ｊω)∗Ｆ２(ｊω)＝∫＋∞－∞Ｆ１(ｊη)

·Ｆ２(ｊω－ｊη)ｄη。时域和频域卷积特性表明:时域中两个信号卷积的频谱等于两个信号频谱的乘积；时域中两个信号乘积的频谱等于各自频谱进行卷积(再除以２π)。上一页返回２.４随机信号随机信号的各种统计值(均值、方差、均方差、均方根值和概率密度函数等)是按集合平均计算的。集合平均是指在集合{ｘ(ｔ)}中，在某一指定时刻ｔ０时，对所有样本函数的观测值(称为随机变量集合)取平均值。例如，由均值μｘ的计算公式可见，集合平均统计参数与观测时间有关。下一页返回２.４随机信号为了与集合平均相区别，把按单个样本时间历程进行平均的计算称为时间平均。以时