2027届高考数学一轮复习6.3等比数列及其前n项和（课件）

第三讲等比数列及其前n项和知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一等比数列的概念1．等比数列的定义如果一个数列__________________________________________________________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示．符号语言：__________(n∈N*，q为非零常数)．从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)公比q2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么______叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝_______.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个．Gab知识点二等比数列的有关公式1．通项公式：an＝________＝________.2．前n项和公式a1qn－1amqn－mna1知识点三等比数列的主要性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．4．当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．5．等比数列{an}的单调性归

纳

拓

展等比数列的概念的理解(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．如{an}为等比数列，a3＝－1，a11＝－4则a7＝－2.(3)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(

)(2){an}为等比数列，若a3＝1，a9＝4，则a6＝2.(

)(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(

)(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×[解析]

(1)若a＝b＝c＝0，则a，b，c不成等比．(3)an必须大于0.(4)讨论a＝0,1和a≠0,1.(5)q＝－1时S4＝S8＝S12＝0.题组二走进教材2．(选择性必修2P35例改编)已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，若a1＝1，公比q＝2，Sn＝31，则n＝(

)A．4

B．5C．6

D．7[答案]

B[答案]

D题组三走向考场4．(多选题)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则(

)[答案]

AD5．(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________.[答案]

2解法二：设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68，设{an}的公比为q(q>0)，所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4，S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4＝(a1＋a2＋a3＋a4)(1＋q4)＝68，所以4(1＋q4)＝68，则1＋q4＝17，所以q＝2，所以该等比数列公比为2.故答案为2.考点突破·互动探究等比数列的基本运算——自主练透A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1[答案]

BA．a4a8＝1 B．an≥a2C．Sn≤21 D．Sn≥16[答案]

ABD名师点拨：等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.等比数列性质的应用——多维探究角度1等比数列项的性质的应用[答案]

B[引申]在本例中若将a3，a15改为a2，a16，其他不变，该题应选(

)[答案]

D名师点拨：1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．角度2等比数列前n项和的性质[答案]

A[引申]本例中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？(

)[答案]

C[解析]

由本例解法一知q3＝2或－3，当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C.名师点拨：1．等比数列前n项和的性质主要是：若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列．2．利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口．【变式训练】1．(角度1)(2023·全国乙卷理)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.[答案]

－2A．4 B．6C．7 D．9[答案]

C等比数列的判定与证明——师生共研(2026·潍坊模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn.(1)证明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比数列；(2)求{anbn}的前n项和Sn.[解析]

(1)证明：因为an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn所以an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)，an＋1－bn＋1＝－(an－bn)，又由a1＝3，b1＝2得a1－b1＝1，a1＋b1＝5，所以数列{an＋bn}是首项为5，公比为3的等比数列，数列{an－bn}是首项为1，公比为－1的等比数列．名师点拨：等比数列的判定方法3．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．【变式训练】(2025·重庆期中)已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－1＝2an＋n.(1)求证：数列{an＋n＋2}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.(2)由(1)知，an＋n＋2＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－n－2，所以Sn＝(22－3)＋(23－4)＋…＋[2n＋1－(n＋2)]＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(3＋4＋…＋n＋2)名师讲坛·素养提升数列中的数学文化纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生受困于背景陌生，无处着手．本专题就数列中的数学文化试题通过典型分析，让学生提高审题能力，增强对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解．1．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块[答案]

C2．(2026·北京房山一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为(

)A．12里 B．24里C．48里 D．96里[答案]

C名师点拨：以数学文化为背景的等差(比)数列问题的求解关键是：①会脱去数学文化的背景，读懂题意；②构建模型，即由题意构建等差(比)数列的模型；③解模，即把文字语言转化为求等差(比)数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等．【变式训练】[答案]

A2．(2026·北京西城期中)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”这一问题中从下部算起第5节容量是________升．(结果保留分数)提能训练练案[36]A组基础巩固一、单选题1．(2025·广东湛江一模)在等比数列{an}中，a3·a5＝49，a4＋a6＝70，则a8＝(

)A．－567 B．567C．451 D．699[答案]

B2．(2025·湖南株洲一模)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a·2n－4，则a1＝(

)A．1 B．2C．4 D．8[答案]

C3．(2025·江西十校协作体第二次联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(

)A．－81 B．81C．50 D．61[答案]

D[解析]

由等比数列的性质得a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15是公比为－3的等比数列，所以a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝－27，a13＋a14＋a15＝81，又a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，所以S15＝1－3＋9－27＋81＝61.故选D.4．(2025·江苏南京一模)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(

)A．4 B．5C．6 D．7[答案]

B5．(2025·湖南益阳期末)已知公比为q的等比数列{an}的前n和为Sn，a3＝2，a2a6＝8，则S5－3q＝(

)A．5 B．6C．7 D．8[答案]

CA．33 B．31C．17 D．15[答案]

DA．5 B．9C．－9 D．－5[答案]

A8．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8等于(

)A．120 B．85C．－85 D．－120[答案]

C二、多选题9．(2026·太原模拟)已知数列{an}是等比数列，以下结论正确的是(

)B．若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8C．若a1<a2<a3，则数列{an}是递增数列D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则r＝－1[答案]

ACD10．(2026·北京昌平区模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝20,2a6＋a5－a4＝0，数列{an}的前n项积为Tn，则(

)A．数列{an}单调递增 B．数列{an}单调递减C．Tn的最大值为T5 D．Tn的最小值为T5[答案]

BC[答案]

BC三、填空题12．(2025·河北石家庄摸底)在等比数列{an}中，a1＝1，a2·a3·a4＝64，则a5＝________.[答案]

1613．(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________.14．(2026·江苏泰州靖江调研)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn是3an和－2的等差中项，则Sn＝________.[答案]

3n－1[解析]

由于Sn是3an和－2的等差中项，所以2Sn＝3an－2，当n＝1时，2a1＝3a1－2，a1＝2，当n≥2时，2Sn＝3an－2,2Sn－1＝3an－1－2，两式相减并化简得2an＝3an－3an－1，an＝3an－1，所以{an}是首项为a1＝2，公比为3的等比数列，所以an＝2·3n－1，a1也符合，所以an＝2·3n－1，所以2Sn＝3an－2＝2·3n－2，Sn＝3n－1.四、解答题15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2.(1)证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}落入区间(10,2023)的所有项的和．B组能力提升1．(2025·湖南益阳一模)已知等比数列{an}中，a1＋a3＝2，a4＋a6＝16，则a10＋a12＝(

)A．26 B．32C．512 D．1024[答案]

D2．(2026·福建莆田模拟)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(

)A．7 B．9C．15 D．20[答案]

C[答案]

BA．0<