高三数学好题03导数及其应用原卷版

2/4专题03导数及其应用题型概览题型01切线、单调性及最值问题题型02恒成立存在问题题型03证明不等式题型04双变量问题题型05函数零点问题题型06利用导数比较大小及构造解不等式题型01题型011．（2025·天津武清·一模）已知曲线在点处的切线为.(1)当时，求直线的方程；(2)证明:与曲线有一个异于点P的交点且；(3)在（2）的条件下，令求k的取值范围.2．（2025·福建泉州·一模）设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；(3)当时，，求的取值范围．+0-0+极大值极小值+0-0+极大值极小值3．（2025·山东泰安·一模）已知函数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（

）A． B． C． D．5．（2025·黑龙江·一模）设函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若为增函数，求的取值范围.6．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．7．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（

）A． B． C． D．8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中.(1)若的图象在处的切线经过点，求a的值；(2)讨论的单调性.9．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．210．（2025·湖北·一模）已知为自然对数的底数，函数满足：，，函数，(1)求函数的极值点和极值；(2)求解析式；(3)若在上单调递增，求实数的最大值；(4)求证：，.题型02题型021．（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系：(1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；(3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．2．（2025·江西·一模）已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为.

3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)设是的两个极值点，①求证：；②求证：.4．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是．5．（2025·山东淄博·一模）已知函数．(1)求的单调区间；(2)证明：时，；(3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值．6．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是.7．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若有2个零点，则B．当时，是增函数C．当时，恒成立D．当时，若是的零点，则8．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.9．（2025·江西上饶·一模）已知函数．(1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值；(2)若是的极小值点，求的取值范围．10．（2025·浙江·一模）已知函数，其中.(1)若函数是偶函数，求；(2)当时，讨论函数在上的零点个数；(3)若，，求的取值范围.题型03题型031．（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（

）A． B．C．数列的前项和为 D．2．（2025·四川巴中·一模）已知函数(1)求函数的极值；(2)求证：当时，；(3)若，其中，讨论函数的零点个数．3．（2025·安徽滁州·一模）已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（）A． B．C．是的极小值点 D．4．（2025·江西南昌·一模）已知．(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；(2)若有极大值m，求证：5．（2025·北京延庆·一模）已知函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)若，求的单调区间；(3)若，且，证明：.6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知.(1)求证：当时，；(2)设.（ⅰ）求证：数列为递减数列；（ⅱ）求证：.7．（2025·福建厦门·一模）设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若是增函数，求a的取值范围；(3)当时，设为的极小值点，证明：．8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中(1)讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，，证明：9．（2025·广东·一模）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题：(1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：；(2)是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（注：e为自然对数的底数）10．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：；(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．题型04题型041．（2025·山东聊城·一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围.2．（2025·陕西西安·一模）已知函数，.(1)记的导数为，求的值，其中；(2)若，恒有，求a的取值范围.3．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为(1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值;(2)讨论方程在上实数解的个数;(3)若，设函数，若，求的取值范围.题型05题型051．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是.2．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值.(1)求实数的值；(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.3．（2025·四川内江·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，在上是增函数B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为C．若在上为减函数，则D．当时，若函数有且只有一个零点，则4．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论：①，使得关于直线对称；②，使得存在最小值；③，在上单调递减；④，使得有三个零点；其中所有正确的结论的序号是.5．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2025·云南曲靖·一模）已知函数．(1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若有两个零点，求的取值范围．7．（2025·安徽滁州·一模）已知函数(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围;(2)若，求证：有且只有1个零点.题型06题型061．（2025·黑龙江·一模）已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．2