2026年高考数学一卷真题及答案解析

2026年高考数学一卷真题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。第1题样本数据6,8,4,5,12的中位数为（）A.5B.6C.8D.9【答案】B【解析】将数据从小到大排列为4,5,6,8,12，中间数为6，选B。第2题已知平面向量a⃗,b⃗不共线，且2a⃗+yb⃗=xa⃗−3b⃗，则（）A.x=2,y=−3B.x=−2,y=3C.x=2,y=3D.x=−2,y=−3【答案】A【解析】因为a⃗,b⃗不共线，所以对应系数相等，得x=2,y=−3，选A。第3题已知集合A={sin7π/6,cos5π/3,tan5π/4}，B={−√3/2,−1/2,1}，则A∩B=（）A.{−√3/2,−1/2}B.{−√3/2,1}C.{−1/2,1}D.{−√3/2,−1/2,1}【答案】C【解析】sin7π/6=−1/2，cos5π/3=1/2，tan5π/4=1，所以A={−1/2,1/2,1}，则A∩B={−1/2,1}，选C。第4题曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为（）A.y=3x+2B.y=5xC.y=8x−3D.y=13x−8【答案】D【解析】y'=5+8/x第5题已知抛物线C₁:y²=2p₁x(p₁>0)和C₂:x²=2p₂y(p₂>0)均经过点(4,8)，则C₁的焦点与C₂的焦点之间的距离为（）A.12B.4√5C.6D.√65/2【答案】D【解析】由64=8p₁得p₁=8，由16=16p₂得p₂=1。因为y²=2px的焦点为(p/2,0)，x²=2py的焦点为(0,p/2)，所以两焦点为(4,0)，(0,1/2)，距离为√(4²+(1/2)²)=√65/2，选D。第6题已知函数f(x)=(xA.1/2B.1C.3/2D.2【答案】B【解析】由选项知a>0，分母恒正。最大值为1，即x+2≤eˣ+a对一切x成立，且能取等。设h(x)=x+2-eˣ，则h'(x)=1-第7题一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为aᵢ(i=1,2,…,12)，其中a₁=1，a₂=a₃=3，a₄=a₅=5，且a₆，a₇,…,a₁₂是一个首项为7，公差为2的等差数列。将a₁,a₂,…,a₁₂分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等差数列，则d=（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】a₁=1，a₂=a₃=3，a₄=a₅=5，n≥6时，aₙ=7+(n-6)2=2n-5。设新数列为{bₙ}，{bₙ}为等差数列，6b₁+6×5/2d=108，∴2b₁+5d=36，b₁∈N，d∈N，b₁=8，d=4，选B。第8题设U={(x₁,x₂,x₃)|xᵢ∈{-2,-1,1,2},i=1,2,3}为空间中64个点构成的集合，点P(1,1,1)，记样本空间Ω=C_U{P}。从Ω中随机取一个点，定义随机变量X如下：对Ω中的每个点A(x₁,x₂,x₃)，令X(A)=x₁+x₂+x₃，则X的数学期望为（）A.-1/21B.-1/63C.0D.1/7【答案】A【解析】方法一：对U中所有点求和，每个坐标中-2,-1,1,2各出现16次，所以A∈UX(A)=3×16×(-2-1+1+2)=0。去掉P(1,1,1)后，少掉的值为X(P)=3，于是A∈ΩX(A)=0-3=-3。又|Ω|=63，故E(X)=−3/63方法二：U关于原点成中心对称，把点A与-A配对，两个点的X值相反，全部抵消。现在只删去P(1,1,1)，它的配对点-P(-1,-1,-1)留下，贡献为X(-P)=-3，因此平均值立刻是E(X)=−3/63=−1/21，选A。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。第9题设z=3+2i，则（）A.z【答案】ACD【解析】由z=3+2i，得z=3-2i，A正确；|z|=√(3²+2²)=√13第10题在空间中，A,B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1，若二面角C-AB-D为60°，则（）A.∠CAD≥60°B.CD≥√3C.当AB⊥CD时，CD⊥平面ABDD.当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD【答案】BC【解析】以直线AB为x轴，设A为原点，C=(x₁,u₁,u₂)，u₁²+u₂²=4，v₁²+v₂²=1，u₁v₁+u₂v₂=1。A:取(所以(∠CAD)可以小于(6B：CD²=(x₁-x₂)²+(u₁-v₁)²+(u₂-v₂)²=(x₁-x₂)²+4+1-2=(x₁-x₂)²+3≥3，所以CD≥√3，B正确；C：若AB⊥CD，则x₁=x₂，数量积为0，所以CD⊥平面ABD，C正确；D：若AB⊥平面ACD，则(u₁,u₂)·(v₁,v₂)=1≠0，所以AC⊥AD不成立，D错；故选BC。第11题已知圆C₁:(x+1)²+y²=1，圆C₂:(x-1)²+y²=1，圆C₃:x²+(y-√3)²=1。直线l:y=kx+b与C₁,C₂,C₃均有两个交点。记l被C₁,C₂,C₃截得弦长为s₁,s₂,s₃，则（）A.k可以取任意实数B.满足s₁=s₂=s₃的直线l共有3条C.满足s₁+s₂+s₃=3的直线l多于3条D.当b=0时，s₁+s₂+s₃的最大值为2√21/3【答案】BCD【解析】方法一：设q=√(1+k²)，圆心到直线l的有向距离分别为d₁=(b-k)/q，d₂=(b+k)/q，d₃=(b-√3)/q，所以sᵢ=2B：由s₁=s₂=s₃得|b-k|=|b+k|=|b-√3|。先由|b-k|=|b+k|得b=0或k=0。若k=0，则b=√3/2；若b=0，则k=±√3。三条直线都满足割线条件，故B正确。C：取b=0，记u=1/√(1+k²)，则s₁+s₂+s₃=4u+2√(1−3uD：当b=0时，由柯西不等式，S²≤((16/3)+4)(3u²+v²)=28/3，所以S_max=2√21/3，D正确。故选BCD。三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。第12题双曲线5x²-6y²=1的离心率为_______。【答案】√66/6【解析】由5x²-6y²=1，得a²=1/5，b²=1/6，所以c²=a²+b²=11/30，e²=c²/a²=11/6，故e=√66/6，应填：√66/6。第13题已知f(x)=2sin(ax+θ)(a∈Z,0≤θ<2π)是偶函数，f(x)在区间(0,π/2)单调递增。则θ=______，f(2π/3)=______。【答案】3π/2；1【解析】若a=0，则f(x)为常函数，不合题意。若a≠0，由f(-x)=f(x)，得sin(θ-ax)=sin(θ+ax)，所以2cosθsin(ax)=0，从而cosθ=0。又0≤θ<2π，故θ=π/2或θ=3π/2。当θ=π/2时，f(x)=2cosax，不合单调递增；当θ=3π/2时，f(x)=-2cosax。此时f'(x)=2asinx，要在(0,π/2)内恒为正，需|a|=1或|a|=2。于是f(2π/3)=-2cos2πa/3=1，应填：3π/2；1。第14题设实数q满足：存在数列{aₙ}，使得对于任意n∈N*，均有a₁+a₂+…+a₃ₙ=n²+n，且{aₙ}中有某连续9项aₖ,aₖ₊₁,…,aₖ₊₈是公比为q的等比数列。则q的最大值为______。【答案】³√(3/2)【解析】方法一：令Tₙ=a₃ₙ₋₂+a₃ₙ₋₁+a₃ₙ，由题意得Tₙ=(n²+n)-[(n-1)²+(n-1)]=2n，因此每个三项块Bₙ的和为2n。设这9项为x,xq,xq²,…,xq⁸，记C=1+q+q²。由于C>0，且完整三项块和均为正，下面按k除以3的余数讨论。若k=3m+1(m≥0)，这9项正好包含三个完整三项块，得xC=2(m+1)，xq³C=2(m+2)，xq⁶C=2(m+3)。于是q³=(m+2)/(m+1)且q³=(m+3)/(m+2)，矛盾，故这种起点不存在。若k=3m+2(m≥0)，其中两个完整三项块为第m+2、m+3块，得xq²C=2(m+2)，xq⁵C=2(m+3)，所以q³=(m+3)/(m+2)≤3/2。若k=3m(m≥1)，其中两个完整三项块为第m+1、m+2块，得xqC=2(m+1)，xq⁴C=2(m+2)，所以q³=(m+2)/(m+1)≤3/2。综上q³≤3/2，所以q≤³√(3/2)。等号可以取到：取(k=2)，(q=四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第15题（13分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC，D、E分别为AB、AC₁的中点。(1)证明：DE//平面BCC₁B₁；(2)设CC₁=2，直线DE与平面ACC₁A₁所成的角为45°，求直线DE到平面BCC₁B₁的距离。【解析】(1)设AC=BC=a，CC₁=h，以C为原点，分别以CA,CB,CC₁所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系。则A(a,0,0)，B(0,a,0)，C₁(0,0,h)。因为D,E分别为AB,AC₁的中点，所以D(a/2,a/2,0)，E(a/2,0,h/2)，从而DE=(0,-a/2,h/2)。平面BCC₁B₁为x=0，直线DE的方向中x分量为0，且D不在该平面内，所以DE//平面BCC₁B₁。(2)由CC₁=2，得DE=(0,-a/2,1)。平面ACC₁A₁为y=0，其法线方向可取n=(0,1,0)。设直线DE与平面ACC₁A₁所成的角为θ，则sinθ=（a/2）/√(a²/4+1)。由θ=45°，得(a/2)/√(a第16题（15分）已知在△ABC中，AB=3，BC=2√3，cosB=√3/3。(1)求cosA；(2)设D,E两点满足：D在BA的延长线上，DE//BC，AE⊥AC。若DE=√6，求CE。【解析】(1)由余弦定理，AC²=AB²+BC²-2AB·BC·cosB=9+12-12=9，所以AC=3，从而AB=AC=3。因此cosA=(AB²+AC²−BC(2)以A为原点，AC所在直线为x轴，过A且垂直于AC的直线为y轴。由(1)知C(3,0)，又B(3cosA,3sinA)=B(1,2√2)。设D=A+t(A-B)，t>0，则D(-t,−2√2t由DE=√6，BC=2√3，得λ=√6/(2√3)=√2/2。又AE⊥AC，所以点E的横坐标为0，即-t+2λ=0，得t=2λ=√2。于是E=(0,−2√2t−2√2λ)=(0,-6)，所以CE=√(3²+6²)第17题（15分）设整数N≥2，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为p(0<p<1)，各次投中与否相互独立，记X为停止练习时该同学的投篮次数。(1)当N=4，p=1/3时，求X的分布列；(2)设k,m均为自然数。(i)当k≤N-1时，求P(X>k)；(ii)当k+m≤N-1时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)【解析】(1)令q=1-p=2/3。当i=1,2,3时，P(X=i)=q^(i−1)·p；而P(X=4)=X=1时P=1/3；X=2时P=2/9；X=3时P=4/27；X=4时P=8/27。(2)记q=1-p。(i)当k≤N-1时，事件P(X>k)表示前k次都未投中，所以P(X>k)=qᵏ(ii)由k+m≤N-1，得m≤N-1。因此P(X>k+m|X>k)=P(X>k+m)/P(X>k)=q^(k+又由(i)知P(X>m)=qᵐ所以P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)。第18题（17分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0)，离心率为1/2。(1)求C的方程；(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P,Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R。(i)若△PQR的面积是△PFO的面积的3倍，求l的方程；(ii)求tan∠PQR的最小值。【解析】(1)椭圆左焦点为F(-1,0)，故c=1。离心率为e=c/a=1/2，所以a=2。又b²=a²-c²=4-1=3。因此x²/4+(2)设直线l的斜率为t>0。直线过F(-1,0)，故l:y=t(x+1)。代入椭圆得x²/4+t²(x+1)²/3=1，即(3+4(i)求l：P,Q,F共线，且R=-P。点O到直线l的距离为t/√(t²+1)，点R到直线因此S△题设该比值为3，故PQ/PF=3/2，PF=2FQ。用横坐标差表示同一直线上的长度，得xp代入上式化简：2√(t²+1)=3，故t=√5/2，所以l:y=(ii)求tan∠PQR的最小值。由计算可得直线QR的斜率为kQR=−3/(4t)，直线QP的斜率为t。两直线夹角的正切为由基本不等式，4t+3/t≥2√12=因此tan∠PQR的最小值=第19题（17分）已知函数f(x)的定义域为R，且当x<0时，f(x)=2ˣ。对任意x₀∈R，定义集合D(x₀)={d∈R|f(x₀(1)若当x≥0时，f(x)=1-x，求D(-1)；(2)若f(x)是奇函数，f(x₁)≤f(x₂)，且x₁x₂≠0，证明：D(x₂)⊆D(x₁)；(3)设f(x)满足：①若f(x₁)≤f(x₂)，则D(x₂)⊆D(x₁)；②当0<x<1时，f(x)<f(0)。(i)证明：f(0)≥1；(ii)证明：f(x)在区间(0,+∞)单调递增。【解析】求D(-1)。此时f(-1)=2^(−1)=1/2。令x=-1+d。当d<1时，x<0，f(-1+d)=2^(−1+d当d≥1时，x≥0，由题设f(x)=1-x，f(-1+d)=1-(-1+d)=2-d>1/2⇨d<3/2。得1≤d<3/2。综上D(-1)=(0,3/2)。奇函数情形。若f为奇函数，则f(x)={2ˣ,x<0;0,x=0;−2^(−x于是D(x)={(0,-x),x<0;(-∞,-x]∪(0,+∞),x>0。由f(x₁)≤f(x₂)且x₁x₂≠0分类讨论：若x₁,x₂<0，则x₁